Referat.me

Название: Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 122.48 Kb

Скачать файл: referat.me-217652.docx

Краткое описание работы: Понятие собственных векторов и собственных значений, их свойства и характеристики, порядок нахождения собственных векторов оператора. Критерии определения независимости и ортогональности собственных векторов. Факторы и теоремы положительных матриц.

Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

РЕФЕРАТ

"Собственные вектора и собственные значения линейного оператора"


Понятие собственные векторы и собственные значения

Перед тем как определить понятие собственные вектора, покажем его на наглядном примере. На рисунке 1, красным цветом обозначен собственный вектор. Он, в отличие от синего, при деформации не изменил направление и длину, поэтому является собственным вектором, соответствующим собственному значению λ = 1. Любой вектор, параллельный красному вектору, также будет собственным, соответствующим тому же собственному значению. Множество всех таких векторов (вместе с нулевым) образует собственное подпространство.

Рис. 1


Определение. Ненулевой вектор x называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число λ, называемое собственным значением линейного оператора, что

(x) = λ· x (1)

Равенство (1) означает, что вектор x, подвергнутый действию линейного оператора, умножается на число λ. Появляется коллинеарный вектор. Среди векторов линейного векторного пространства могут существовать такие, воздействие оператора на которые переводит эти векторы в коллинеарные самим себе. Если на таких векторах построить базис, преобразования линейной алгебры значительно упростятся.

Не всякий линейный оператор обладает собственными векторами. Например, в геометрической плоскости R2 оператор поворота на угол, не кратный π, не имеет ни одного собственного вектора, поскольку ни один ненулевой вектор после поворота не останется коллинеарным самому себе.

Решим задачу нахождения собственных векторов оператора. Запишем равенство (1) в матричной форме:

P · X = λ· X

Преобразуем матричное уравнение:

P·X – λ ·X = 0 или (P – λ ·E) X =0

Матричное уравнение всегда имеет нулевое решение:


X=0=

Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов должен быть меньше числа переменных r<n, т.е. число линейно независимых уравнений должно быть меньше числа переменных. В этом случае должно быть выполнено условие

|P – λ· E |=0 (2)

Расписав уравнение (2) относительно λ подробнее, получим

|P – λ· E | =

Раскрыв определитель, получим уравнение n-й степени относительно λ:

Которое называется характеристическим уравнением оператора . Корни уравнения называются характеристическими или собственными числами оператора. Множество всех собственных чисел оператора называется спектром этого оператора. Многочлен левой части уравнения называется характеристическим многочленом.

Решив характеристическое уравнение, получаем собственные числа λ1 , λ2 , …, λn . Для каждого найденного собственного значения λi найдем ненулевые векторы ядра оператора P – λi E . Именно они будут собственными векторами, соответствующими собственному значению λi . Другими словами, необходимо решить однородную систему уравнений (P – λi E ) X =0. Ее общее решение дает всю совокупность собственных векторов, отвечающих λ i .

Общее решение однородной системы, как известно, структурировано. Оно представляет собой линейную комбинацию фундаментального набора линейно независимых решений (векторов). Число линейно независимых векторов в фундаментальном наборе называется геометрической кратностью собственного значения λ i . Вводиться также алгебраическая кратность – кратность λ i как корня характеристического многочлена.

Независимость собственных векторов

Существование линейно независимых векторов среди собственных, отвечающих различным собственным числам λ1 , λ2 , …, λ n , определяется следующей теоремой.

Собственные векторы x1 , x 2 , …, xn оператора, отвечающие различным собственным значениям λ1 , λ2 , …, λ n , линейно независимы.

На n линейно независимых собственных векторах можно построить базис n-мерного линейного векторного пространства.

Замечание. Определитель матрицы P – λ E (соответственно характеристический многочлен) не зависит от выбора базиса.

|P’ – λ E | =|T-1 PT – λ E | =|T-1 PT- λ T-1 E T| =|T-1 P- λ E T| =|T-1 ||P- λ E T| |T|=|P- λ E T|

Следовательно, при переходе к новому базису собственные числа сохраняются.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей P= в пространстве R2 .

Решение. Составим характеристическое уравнение:

|P – λ· E | == λ2 -5 λ+4=0

Из квадратного уравнения найдем собственные значения линейного оператора λ1 =1, λ2 =4. Чтобы найти собственные векторы, решим матричные уравнения:

(P – λ1 E ) X =0 и (P – λ2 E ) X =0

В развернутом виде

и

Соответствующие однородные системы:

Общие решения систем:

и , где с1 , с2 є R

Таким образом, множество собственных векторов, отвечающих собственным значениям λ1 =1, λ2 =4, имеет вид ; , где с1 , с2 є R. Векторы a1 =(1, 1), a2 =(-2, 1), например, являются линейно независимыми. Они могут быть приняты в качестве нового базиса в пространстве R2 .

Пусть e1 , e2 , …, en – собственные векторы линейного оператора в пространстве Rn , которые примем в качестве базиса. Тогда разложение векторов (e1 ), (e2 ), …, (en ) по базису e1 , e2 , …, en примет вид

Отсюда следует, что aij = λ i , если i=j и aij =0, если i≠j. Поэтому в базисе, составленном из собственных векторов, матрица оператора будет иметь диагональный вид:

Симметричный оператор

Определение. Линейный оператор в евклидовом пространстве Rn называется симметричным, если для любых векторов x и y из пространства Rn выполняется равенство

((x), y)= (x, (y))

Для того чтобы линейный оператор был симметричен, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была симметрична.

Рассмотрим для простоты евклидово пространство R2 . Пусть в ортобазисе e1 , e2 заданы векторы x=(x1 , x2 ), y=(y1 , y2 ). Линейные операторы 1 и 2 определены своими матрицами:

и .

Вычислим векторы 1 (x) и 2 (y):

,

.

Найдем скалярные произведения ((x), y) и (x, (y)):

( (x), y)=(a11 x1 +a12 x2 ) y1 +(a21 x1 +a22 x2 ) y2 =a11 y1 x1 +a12 y1 x2 +a21 y2 x1 +a22 y2 x2 ,

(x, (y))= (b11 y1 +b12 y2 ) x1 +(b21 y1 +b22 y2 ) x2 =b11 x1 y1 +b12 x1 y2 +b21 x2 y1 +b22 x2 y2 .

Найдем разность скалярных произведений:

(( x ), y ) – ( x , ( y )) = ( a 11 - b 11 ) x 1 y 1 +( a 21 - b 12 ) x 1 y 2 +( a 12 - b 21 ) x 2 y 1 +( a 22 - b 22 ) x 2 y 2 .

Если для любых векторов x и y из пространства R2 равенство

(( x ), y ) – ( x , ( y ))=0 (3)


Выполнено (необходимость), то верна система

a11 =b11 ,

a21 =b12 ,

a12 =b21 , (4)

a22 =b22 ,

и обратно: если условия (4) соблюдены для любых векторов x и y, то равенство (3) выполнено (достаточность). Система равенств (4) означает, что 1 =2 =.

Ортогональность собственных векторов

Собственные векторы симметричного линейного оператора, соответствующие различным собственным числам, взаимо ортогональны.

Пусть x и y – собственные векторы оператора , соответствующие собственным числам λ1 и λ2 , причем λ1 λ2 . По определению симметричного оператора:

((x), y)= (x, (y))

Подставив сюда правые части равенства ((x))= λ1 x , ((y))= λ1 y , получим

(λ1 x , y)=( x , λ2 y ) . Вынесем числа λ1 и λ2 , за знак скалярного произведения, перенесем слагаемые влево и разложим на множители: (λ1 λ2 ) (x, y)=0

Поскольку λ1 λ2 , получаем (x, y)=0, что и означает взаимную ортогональность векторов x и y.

Отметим другие важные свойства симметричного оператора.

1) Характеристическое уравнение симметричного оператора имеет только действительные корни.

2) Если в евклидовом пространстве Rn задан симметричный оператор , то в Rn существует ортонормированный базис e1 , e2 , …, en , составленный из собственных векторов .

3) Если все собственные числа λ1 , λ2 , …, λ n симметричного оператора положительны, то ((x), x) > 0 для любого ненулевого вектора x.

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица A = (aij ) называется положительной, если все её элементы положительны: aij > 0.

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица A имеет положительное собственное значение r, которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению r соответствует собственный вектор er , все координаты которого строго положительны. Вектор er – единственный собственный вектор A (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.


Список литературы

1. Арутюнов Ю.C. и др. Высшая.математика: Методические указания и контрольные задания (с программой) для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. 3-е изд. М.: Высш. шк., 2005. 144 с.

2. Высшая математика: Программа, методические указания и контрольные задания для студентов-заочников иижеиерио-техиических специальностей сельскохозяйственных вузов. 4-е изд., перераб. М.: Высш.шк., 2005. 110 с.

3. Мироненко Е.С. Высшая математика: методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерных специальностей вузов. М.: Высш. шк., 2008. 110 с.

4. Зимина О.В. и др. Высшая математика. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2009. 368 с. (Решебиик).

Похожие работы

  • Задачи по Математике 2

    Часть 1. Системы координат. Коэффициент Ламэ. Элементы векторной алгебры. (х0, у0) равно: Ответ: 0 [z0, y0] равно: Ответ: - х0 [z0, x0] равно: Ответ: y0

  • Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа

    Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение: l - комплексный параметр, в области D, ограниченный при кривой с концами в точках B (1, 0) и K (0, 1/4), лежащей в первом квадранте, отрезком AK оси OY, где A=(0, 0), и характеристиками AC (

  • Линейные системы уравнений

    Форма записи и методы решения системы алгебраических уравнений с n неизвестными. Умножение и нормы векторов и матриц. Свойства определителей матрицы. Собственные значения и собственные векторы. Примеры использования числовых характеристик матриц.

  • Канонический вид произвольных линейных преобразований

    Особенности нормальной формы линейного преобразования. Изучение собственных и присоединенных векторов линейного преобразования. Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение. Анализ инвариантных множителей.

  • Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси

    Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси Абзалимов Р.Р. В настоящей работе предлагается метод расчета приближенных собственных чисел и собственных функций краевой задачи на полуоси для дифференциального уравнения второго порядка. Для численного расчета собственных чисел интервал

  • Численное решение алгебраических проблем собственных значений

    : степенной метод. Екатеринбург 2006 Введение Выбор наиболее эффективного метода определения собственных значений и собственных векторов для конкретной инженерной задачи зависит от ряда факторов, таких, как тип уравнений, число искомых собственных значений и их характер. Различают полную (алгебраическую) проблему собственных значений, предполагающую нахождение всех собственных пар {λ, v} матрицы А, и частичную проблему собственных значений, состоящую как правило, в нахождении одного или нескольких собственных чисел λ и, соответствующих им собственных векторов v.

  • Вычисление характеристических многочленов собственных значений и собственных векторов

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ Курсовая работа по дисциплине «Численные методы»

  • Эрмитовы операторы

    Рассмотрение понятия тождественного (единичного) оператора. Анализ методов решения линейных однородного и неоднородного уравнений. Ознакомление с определением эрмитовости оператора. Доказательство теоремы о свойствах ортогональности собственных функций.

  • Показатели Ляпунова некоторой линейной стационарной системы

    Понятие и поиск спектра как множества всех собственных характеристических показателей решений дифференциальной системы. Характеристические показатели Ляпунова заданной линейной стационарной системы. Теорема Ляпунова о нормальности фундаментальной системы.

  • Квадратные формы

    Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.