Referat.me

Название: Вычисление вероятности

Вид работы: контрольная работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 388.96 Kb

Скачать файл: referat.me-218202.docx

Краткое описание работы: 1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Вычисление вероятности

1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Решение.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.

Вероятность события А найдем используя условную вероятность.

= 0,278

– вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.

Ответ: 0,278.

2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.


Решение.

Пусть событие состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.

,

где – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.

Т.к. события - независимые совместные события.

Ответ: 0,994.

3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.

Гипотезы Н1 , Н2 , Н3 .

– деталь изготовлена на первом станке;

– деталь изготовлена на втором станке;

– деталь изготовлена на третьем станке;

Гипотезы Нi образуют полную группу событий.

Воспользуемся формулой полной вероятности:

– полная вероятность.

=; =;

=; =;

=0,45; =;

Тогда

. = 0,015.

Ответ: 0,0,015.

4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?

Решение.

Найдем – наиболее вероятное число выпадений 6.

Наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства:

;


– вероятность появления события в каждом из независимых испытаний. – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). . – по условию.

;

Так как – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно .

Ответ: 2.

5. Задача 5. Дискретная случайная величина может принимать одно из пяти фиксированных значений , , , , с вероятностями , , , , соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины . Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение.

Таблица 1.

1

4

5

7

8

0,3

0,3

0,1

0,15

0,15

Найдем числовые характеристики данного распределения.


Математическое ожидание

= 4,25

Дисперсию определим по формуле: .

= 24,55.

Тогда

Найдем функцию распределения случайной величины.

.

Построим график этой функции


6. Задача 6. Случайная величина задана плотностью вероятности

Определить константу , математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины , а также вероятность ее попадания в интервал [0;]

Решение.

Коэффициент найдем используя свойство функции плотности распределения: . Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале , то .

Вычислим определенный интеграл:

.

Следовательно, , .


Математическое ожидание найдем по формуле:

.

Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, ], то

= =

= = .

Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.

Найдем дисперсию , т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке

[0, ], то .

=.

Найдем .

Воспользуемся формулой =.

=

Найдем функцию распределения СВ Х.

При

.

При

.

При

.


7. Задача 7. Случайная величина распределена равномерно на интервале . Построить график случайной величины и определить плотность вероятности .

Решение.

Найдем плотность распределения случайной величины . Случайная величина распределена равномерно на интервале , поэтому на этом интервале , вне этого интервала .

Построим график функции на интервале и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:

;

;

Так как на интервалах и обратная функция не существует, то для этих интервалов .


На интервале одна обратная функция , следовательно

На интервале две обратных функции и , следовательно .

Найдем производные обратных функций

; .

Учитывая, что , получим

; .

В результате получим:

.

Таким образом, плотность вероятности величины равна:


8. Задача 8. Двумерный случайный вектор равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности о любой точке этой области В:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами и .

Решение.

Построим область

Найдем значение константы . Воспользуемся свойством функции

Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим


= .

Следовательно, . Значит,

Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле

Корреляционный момент вычислим по формуле

.

.

.

.

Определим корреляционный момент

Ответ:

9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины

1. Получить вариационный ряд;

2. Построить гистограмму равноинтервальным способом;

3. Построить гистограмму равновероятностным способом;

4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;

5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова ()

0,22

0,42

0,07

1,69

0,42

0,94

1,81

2,24

0,74

0,75

0,80

2,59

0,55

0,43

0,51

0,38

1,41

0,73

0,03

0,96

0,63

0,17

0,10

0,09

1,09

1,52

2,97

0,91

1,53

0,55

1,23

1,27

0,75

1,55

0,88

0,57

0,31

1,04

1,71

1,39

1,16

0,86

1,13

0,82

2,02

1,17

0,25

0,64

0,07

0,11

1,99

0,71

2,17

0,23

2,68

1,82

1,19

0,05

1,23

4,70

0,37

0,40

1,31

0,20

0,50

2,48

0,32

1,41

0,23

1,27

0,33

1,48

0,52

0,68

0,30

0,40

0,24

1,52

0,17

0,17

0,83

1,20

0,65

0,05

1,45

0,23

0,37

0,09

3,66

0,28

0,77

0,11

1,95

0,10

0,95

0,65

4,06

3,16

0,51

2,02

Решение.

Найдем размах вариации . 0,03; 4,70;

4,70–0,03 = 4,67.

Вариационный ряд распределения имеет вид:


0,03

1

0,86

1

0,05

2

0,88

1

0,07

2

0,91

1

0,09

2

0,94

1

0,1

2

0,95

1

0,11

2

0,96

1

0,17

3

1,04

1

0,2

1

1,09

1

0,22

1

1,13

1

0,23

3

1,16

1

0,24

1

1,17

1

0,25

1

1,19

1

0,28

1

1,2

1

0,3

1

1,23

2

0,31

1

1,27

2

0,32

1

1,31

1

0,33

1

1,39

1

0,37

2

1,41

2

0,38

1

1,45

1

0,4

2

1,48

1

0,42

2

1,52

2

0,43

1

1,53

1

0,5

1

1,55

1

0,51

2

1,69

1

0,52

1

1,71

1

0,55

2

1,81

1

0,57

1

1,82

1

0,63

1

1,95

1

0,64

1

1,99

1

0,65

2

2,02

2

0,68

1

2,17

1

0,71

1

2,24

1

0,73

1

2,48

1

0,74

1

2,59

1

0,75

2

2,68

1

0,77

1

2,97

1

0,8

1

3,16

1

0,82

1

3,66

1

0,83

1

4,06

1

4,7

1

Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле . Длина частичного интервала вычисляется по формуле

.

Полученные значения запишем в таблицу

1

0,03

0,497

0,467

34

0,34

0,73

2

0,497

0,964

0,467

27

0,27

0,58

3

0,964

1,431

0,467

15

0,15

0,32

4

1,431

1,898

0,467

10

0,1

0,21

5

1,898

2,365

0,467

6

0,06

0,13

6

2,365

2,832

0,467

3

0,03

0,06

7

2,832

3,299

0,467

2

0,02

0,04

8

3,299

3,766

0,467

1

0,01

0,02

9

3,766

4,233

0,467

1

0,01

0,02

10

4,233

4,7

0,467

1

0,01

0,02

Равноинтервальная гистограмма имеет вид:


Построим гистограмму равновероятностным способом.

1

0,03

0,17

0,14

10

0,1

0,7143

2

0,17

0,25

0,08

10

0,1

1,2500

3

0,25

0,42

0,17

10

0,1

0,5882

4

0,42

0,57

0,15

10

0,1

0,6667

5

0,57

0,77

0,2

10

0,1

0,5000

6

0,77

0,96

0,19

10

0,1

0,5263

7

0,96

1,27

0,31

10

0,1

0,3226

8

1,27

1,53

0,26

10

0,1

0,3846

9

1,53

2,17

0,64

10

0,1

0,1563

10

2,17

4,7

2,53

10

0,1

0,0395

Равновероятностная гистограмма имеет вид:


Оценку математического ожидания вычислим по формуле

1,00.

Оценку дисперсии вычислим по формуле:

, 0,82,

Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:

В нашем случае

1,00, 0,82, , , .

;

Доверительный интервал для математического ожидания .

Доверительный интервал для дисперсии

, =1,96 ().

По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:

H0 :

H1 :

Определим оценку неизвестного параметра

Предполагаемый закон распределения . Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов

Теоретические частоты найдем по формуле

Интервалы

[xi ; xi+1 )

1

0,03

0,497

0,36

36,00

-2,00

4,00

0,1111

2

0,497

0,964

0,23

23,00

4,00

16,00

0,6957

3

0,964

1,431

0,14

14,00

1,00

1,00

0,0714

4

1,431

1,898

0,09

9,00

1,00

1,00

0,1111

5

1,898

2,365

0,06

6,00

0,00

0,00

0,0000

6

2,365

2,832

0,04

4,00

-1,00

1,00

0,2500

7

2,832

3,299

0,02

2,00

0,00

0,00

0,0000

8

3,299

3,766

0,01

1,00

0,00

0,00

0,0000

9

3,766

4,233

0,01

1,00

0,00

0,00

0,0000

10

4,233

4,7

0,01

1,00

0,00

0,00

0,0000

НАБЛ =

1,24

Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F0 (x) показательного закона равна

Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.

Интервалы

[xi ; xi+1 )

частота в интервале

1

-2,951

7

34

0,34

0,36

0,02

2

-2,513

10

27

0,61

0,59

0,02

3

-2,075

8

15

0,76

0,73

0,03

4

-1,637

12

10

0,86

0,82

0,04

5

-1,199

14

6

0,92

0,88

0,04

6

-0,761

11

3

0,95

0,91

0,04

7

-0,323

9

2

0,97

0,93

0,04

8

0,115

4

1

0,98

0,95

0,03

9

0,553

16

1

0,99

0,96

0,03

10

0,991

9

1

1,00

0,97

0,03


; .

То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение .

Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.


10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины

1. Вычислить оценку коэффициента корреляции;

2. Вычислить параметры линии регрессии и ;

3. Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;

Решение

Найдем числовые характеристики величин и .

0,88; 0,10.

1,59; .

1,76; .

Корреляционный момент равен:

–0,23

Найдем уравнения регрессии

где ;

Уравнение регрессии имеет вид:

.


Коэффициент корреляции равен:

.

Найдем интервальную оценку.

.

,

Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости .

Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе .


.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критической области. .

Так как – нулевую гипотезу принимаем.

Похожие работы

  • Типовой расчет

    Анализ решений заданий по теории вероятности: определить вероятность того, что на верхних гранях двоих костей сумма очков не превосходит 12, определить среди лотерейных билетов вероятное количество выигрышных и количество бракованного товара в партии.

  • Определение вероятности событий

    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 11 ВАРИАНТ 3 1. Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того: что герб появится два раза Применяя классическое определение вероятности, находим:

  • Задачи и примеры их решения по теории вероятности

    Вариант 3. 1. Решите уравнение Решение По определению Тогда и уравнение принимает вид откуда получаем Так как m может быть только натуральным числом, то значение

  • Основы математики

    Задание № 1 В урне 5 белых и 4 черных шара. Из нее вынимают подряд два ряда шара. Найти вероятность того, что оба шара белые. Решение: Всего возможно . (это общее количество возможных элементарных исходов испытания). Интересующая нас событие заключается в том, что данная выборка содержит 2 белых шара, подсчитаем число благоприятствующих этому событию вариантов:

  • Формулы сложения вероятностей

    Формулы сложения вероятностей.

  • Формула полной вероятности

    Анализ формулы. Примеры задач.

  • Теория вероятности

    Способы определения вероятности происхождения события с помощью формулы Бейеса на примере задач о вынимании шарика определенного цвета из урны, попадании стрелком в мишень, о выпадении герба монеты, передачи сообщения по средствам связи без помех.

  • Теория вероятности и математическая статистика. Задачи

    Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.

  • Задачи по теории вероятности 2

    Работа №1 Случайные события 6 вариант. Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''. Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб.

  • Основы теории вероятностей

    Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.