Referat.me

Название: О вычислении коэффициентов и узлов одной квадратурной формулы

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 45.74 Kb

Скачать файл: referat.me-218784.docx

Краткое описание работы: Статья посвящена одному квадратурному процессу, построенному Д.Г. Саникидзе в 1965 г. для вычисления некоторых несобственных интегралов. Вычислены коэффициенты, узлы для конкретных значений.

О вычислении коэффициентов и узлов одной квадратурной формулы

О вычислении коэффициентов и узлов одной квадратурной формулы

Асп. Плиева Л.Ю.

Кафедра математического анализа.

Северо-Осетинский государственный университет

Статья посвящена одному квадратурному процессу, построенному Д.Г. Саникидзе в 1965 г. для вычисления некоторых несобственных интегралов. Вычислены коэффициенты, узлы для конкретных значений .

В приближенных вычислениях особое место занимают квадратурные формулы с наивысшей степенью точности. Их преимущество перед другими обычными квадратурными формулами заключается в том, что в них применяется минимальное количество узлов, коэффициентов и результаты получаются с наименьшей погрешностью. Квадратурные формулы указанного типа были построены еще в XIX в. Гауссом. Поэтому такие квадратурные формулы получили название квадратурных формул Гаусса. В дальнейшем в развитие этой теории значительный вклад внесли А.Крылов и В.Крылов [1].

Здесь же мы рассмотрим квадратурную формулу, которая была построена в 1965 г. грузинским математиком Саникидзе Д.Г. [2]. Он построил ее для вычисления несобственных интегралов вида:

, (1)

где – весовая функция и , а – дифференцируемая до определенного порядка функция.

Итак, квадратурная формула для (1) имеет вид:

,

где ,

, ,

,

.

Здесь являются узлами квадратурной формулы, , – коэффициентами, а – остаточным членом.

В статье Д.Г.Саникидзе [2] приведена таблица узлов и коэффициентов для случая , которые не позволяют вычислить интеграл с более высокой степенью точности из-за отсутствия дальнейших значений узлов и коэффициентов.

Наша задача заключалась в том, чтобы построить указанную квадратурную формулу для конкретных значений .

В [2] вычисляют из следующей системы нелинейных уравнений:

(). (2)

Используя свойства ортогональности многочленов, можно (2) заменить следующей эквивалентной системой:

. (3)

Отсюда для любого мы будем получать формулы Вьета, т. е. наша задача свелась к решению обыкновенного алгебраического уравнения -ой степени:

(4)

где . Для его решения и вычисления коэффициентов была составлена программа на языке Паскаль для значений:

.

Ниже мы приводим полученные результаты для и :

, 1,072244199477261880,

0,505492653760114758, 0,421908758347199805,

0,888813304815261389, 0,153346705375644365,

16,705000673599787900,

0,021010252334716897, 1,018984571918536970,

0,103866983666919520, 0,481159060055772372,

0,239874720072333520, 0,304701660614504889,

0,410803984491100701, 0,210697676646705469,

0,593708243717703457, 0,148242465067985048,

0,764030577337008023, 0,100794530327821750,

0,898906161681775344, 0,061185532509305821,

0,980260135888473404, 0,025642390273945643,

15,297184223170844100;

0,011538570831164812, 0,992093361560775528

0,057797996308034946, 0,475206996405231443,

0,136691350037226988, 0,309481687628868688,

0,242410221548385496, 0,224182021687137567,

0,367149993172128210, 0,170025942566687891,

0,501699747781751390, 0,131105212017457282,

0,636123814574765828, 0,100675698014444633,

0,760495808704081177, 0,075350705067579744,

0,865631994733214915, 0,053206548788294829,

0,943770905120913118, 0,033031548416791457,

0,989161252517134264, 0,014001581712479520,

14,843217392368502800.

Замечание. При проверке достоверности полученных результатов на многочисленных примерах оказалось, что при погрешность округления значительно влияет на точность результатов. Следовательно, желательно использовать полученные результаты при .

Список литературы

1. Крылов В. И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Физ. мат. изд., 1959.

2. Саникидзе Д. Г. О приближенном вычислении некоторых несобственных интегралов // Труды Тбилисского мат. университета, 1965. Т.110.

Похожие работы

  • Интерполирование функций

    В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций. Формула Лагранжа. Интерполирование по схеме Эйткена. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов. Формула Ньютона с разделенными разностями. Интерполяция сплайнами.

  • Приближенное вычисление интеграла

    Содержание Введение 2 1. Различные методы вычисления определенных интегралов 3 1.1. Метод Симпсона для интегрирования функций заданному промежутку и его реализация на языке Pascal 4

  • Численные методы

    Интерполяционная схема Эйткина. Связь конечных разностей и производных. Распространение ошибки исходных данных при вычислении конечные разности. Свойства разделенной разности. Интерполяционная формула Ньютона для не равноотстоящих узлов. Полином Лагранжа.

  • Вычисление определенных интегралов. Квадратурные формулы

    Решение задачи по вычислению определенного интеграла с помощью квадратурных формул и основная идея их построения. Количество параметров квадратурного выражения, степень подынтегральной функции. Построение квадратурных формул с плавающими узлами.

  • Вычисление определенного интеграла

    Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.

  • Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла

    Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми.

  • Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

    Лабораторная работа № 4. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых). Гребенникова Марина 12-А класс Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида

  • Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева

    Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа. Формула трапеций и средних прямоугольников. Общая формула Симпсона (параболическая формула). Квадратурная формула Чебышева.

  • Численные методы вычисления интегралов

    Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.

  • Несобственные интегралы

    Дисциплина: «Высшая математика» Тема: «Несобственные интегралы» 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами При введении понятия определенного интеграла, а также при рассмотрении задач, связанных с ним, все время делалось предположение, что область интегрирования конечна, а интегрируемая функция на нем непрерывна.