Название: Вычисление определенного интеграла
Вид работы: учебное пособие
Рубрика: Математика
Размер файла: 137.65 Kb
Скачать файл: referat.me-217702.docx
Краткое описание работы: Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
Вычисление определенного интеграла
Вычисление определенного интеграла
Екатеринбург
2006
Вычисление определенного интеграла
Введение
Задача численного интегрирования функций заключается в вычислении приближенного значения определенного интеграла:
, (1)
на основе ряда значений подынтегральной функции .{ f(x) |x=xk = f(xk ) = yk }.
Формулы численного вычисления однократного интеграла называются квадратурными формулами, двойного и более кратного – кубатурными.
Обычный прием построения квадратурных формул состоит в замене подынтегральной функции f(x) на отрезке [a,b] интерполирующей или аппроксимирующей функцией g(x) сравнительно простого вида, например, полиномом, с последующим аналитическим интегрированием. Это приводит к представлению
В пренебрежении остаточным членом R[f] получаем приближенную формулу
.
Обозначим через yi
= f(xi
) значение подинтегральной функции в различных точках на [a,b]. Квадратурные формулы являются формулами замкнутого типа, если x0
=a , xn
=b.
В качестве приближенной функции g(x) рассмотрим интерполяционный полином на в форме полинома Лагранжа:
,
где
, при этом
, где
- остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.
Формула (1) дает
, (2)
где
. (3)
В формуле (2) величины {} называются узлами, {
} – весами,
- погрешностью квадратурной формулы. Если веса {
} квадратурной формулы вычислены по формуле (3), то соответствующую квадратурную формулу называют квадратурной формулой интерполяционного типа.
Подведем итог.
1. Веса {} квадратурной формулы (2) при заданном расположении узлов
не зависят от вида подынтегральной функции.
2. В квадратурных формулах интерполяционного типа остаточный член Rn
[f] может быть представлен в виде значения конкретного дифференциального оператора на функции f(x). Для
.
3. Для полиномов до порядка n включительно квадратурная формула (2) точна, т.е. . Наивысшая степень полинома, для которого квадратурная формула точна, называется степенью квадратурной формулы.
Рассмотрим частные случаи формул (2) и (3): метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Названия этих методов обусловлены геометрической интерпретацией соответствующих формул.
Метод прямоугольников
Определенный интеграл функции от функции f(x): численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми у=0, x=a, x=b, y=f(x) (рисунок. 1).
Сумма площадей всех прямоугольников вычисляется по формуле
(4)
Метод, представленный формулой (4), называется методом левых прямоугольников, а метод, представленный формулой(5) – методом правых прямоугольников:
(5)


Метод средних прямоугольников
Для нахождения определенного интеграла методом средних прямоугольников площадь, ограниченная прямыми a и b, разбивается на n прямоугольников с одинаковыми основаниями h, высотами прямоугольников будут точки пересечения функции f(x) с серединами прямоугольников (h/2). Интеграл будет численно равен сумме площадей n прямоугольников (рисунок 3).
,
n – количество разбиений отрезка [a,b].
Метод трапеций
Для нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у1 , у2 , у3 ,..уn , где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4).
n – количество разбиений
(6)
Погрешность формулы трапеций оценивается числом
Погрешность формулы трапеций с ростом уменьшается быстрее, чем погрешность формулы прямоугольников. Следовательно, формула трапеций позволяет получить большую точность, чем метод прямоугольников.
Формула Симпсона
Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его на отрезке
и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

Рассмотрим подынтегральную функцию
на отрезке
. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с y=
в точках
:
Проинтегрируем на отрезке
.:
Введем замену переменных:
Учитывая формулы замены,
Выполнив интегрирование, получим формулу Симпсона:
Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью
, прямыми
,
и параболой, проходящей через точки
На отрезке
формула Симпсона будет иметь вид:
В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х1 , х3 , ..., х2 n -1 имеет коэффициент 4, в четных точках х2 , х4 , ..., х2 n -2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х0 =а, хn =b - коэффициент 1.
Геометрический смысл формулы Симпсона: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке [a, b] приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами.
Если функция f(x) имеет на [a, b] непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем
где М - наибольшее значение на отрезке [a, b]. Так как n4
растет быстрее, чем n2
, то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций.
Пример
Вычислим интеграл
Этот интеграл легко вычисляется:
Возьмем n равным 10, h=0.1, рассчитаем значения подынтегральной функции в точках разбиения
, а также полуцелых точках
.
По формуле средних прямоугольников получим Iпрям =0.785606 (погрешность равна 0.027%), по формуле трапеций Iтрап =0.784981 (погрешность около 0,054. При использовании метода правых и левых прямоугольников погрешность составляет более 3%.
Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл
,
но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части точками х0 =0, х1 =1/4, х2 =1/2, х3 =3/4, х4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках: у0 =1,0000, у1 =0,8000, у2 =0,6667, у3 =0,5714, у4 =0,5000.
По формуле Симпсона получаем
Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f(4)
(x)=24/(1+x)5
, откуда следует, что на отрезке [0, 1] . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880× 44
)=0.0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.
Сравнение методов по точности
Сравним методы по точности, для этого произведем вычисления интеграла функций y=x, y=x+2, y=x2 , при n=10 и n=60, a=0, b=10. Точное значение интегралов составляет соответственно: 50, 70, 333.(3)
таблица 1
метод |
n |
x |
x+2 |
x2 |
Метод средних прямоугольников |
10 |
50 |
70 |
332.5 |
Метод правых прямоугольников |
10 |
45 |
65 |
285 |
Метод трапеции |
10 |
50 |
70 |
335 |
Формула Симпсона |
10 |
50 |
70 |
333.333 |
Метод средних прямоугольников |
60 |
50 |
70 |
333.310 |
Метод правых прямоугольников |
60 |
49.1667 |
69.1667 |
325.046 |
Метод трапеции |
60 |
50 |
70 |
333.379 |
Формула Симпсона |
60 |
50 |
70 |
333.333 |
Из таблицы 1 видно, что наиболее точным является интеграл, найденный по формуле Симпсона, при вычислении линейных функций y=x, y=x+2 также достигается точность методами средних прямоугольников и методом трапеций, метод правых прямоугольников является менее точным. Из таблицы 1 видно, что при увеличении количества разбиений n (увеличения числа интеграций) повышается точность приближенного вычисления интегралов
Задание на лабораторную работу
1) Написать программы вычисления определенного интеграла методами: средних, правых прямоугольников, трапеции и методом Симпсона. Выполнить интегрирование следующих функций:
1. f(x)=x
f(x)=x2
f(x)= x3
f(x)= x4
на отрезке [0, 1] с шагом ,
,
2. f(x)=
f(x)=
f(x)=
3. Выполнить вариант индивидуального задания (таблица 2)
Таблица 2 Индивидуальные варианты задания
№ |
Функция f(x) |
Отрезок интегрирования [a,b] |
1 |
|
[1;3] |
2 |
|
[1;3] |
3 |
|
[0;2] |
4 |
|
[2;4] |
5 |
|
[1;3] |
6 |
|
[0;2] |
7 |
|
[0;2] |
8 |
|
[1;3] |
9 |
|
[0;2] |
10 |
|
[0;2] |
11 |
|
[1;3] |
12 |
|
[1;3] |
13 |
|
[0;2] |
14 |
|
[2;4] |
15 |
|
[1;3] |
16 |
|
[0;2] |
17 |
|
[0;2] |
18 |
|
[1;3] |
19 |
|
[0;2] |
20 |
|
[0;2] |
21 |
|
[1;3] |
22 |
|
[1;3] |
23 |
|
[0;2] |
24 |
|
[2;4] |
25 |
|
[1;3] |
26 |
|
[0;2] |
27 |
|
[0;2] |
28 |
|
[1;3] |
29 |
|
[0;2] |
30 |
|
[0;2] |
2) Провести сравнительный анализ методов.
Вычисление определенного интеграла: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Вычислительная математика» / сост. И.А.Селиванова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 14 с.
Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 230101 – «Вычислительные машины, комплексы, системы и сети» и бакалавров направления 230100 – «Информатика и вычислительная техника». Составитель Селиванова Ирина Анатольевна
Похожие работы
-
Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми.
-
Приближенное вычисление определенных интегралов
Приближенное вычисление определенных интегралов; формула трапеций и формула парабол.
-
Численное интегрирование определённых интегралов
АННОТАЦИЯ В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона. Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них. Для более полного восприятия материала в работу помещён раздел, в котором подробно расписано решение, всеми тремя методами, определённого интеграла.
-
Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
Лабораторная работа № 4. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых). Гребенникова Марина 12-А класс Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида
-
Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа. Формула трапеций и средних прямоугольников. Общая формула Симпсона (параболическая формула). Квадратурная формула Чебышева.
-
Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
БЕЛОРУССКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА на тему “вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников”
-
Методы прямоугольников и трапеций
Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.20). В качестве точек
-
Интегрирование и производная функций
Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
-
Численное интегрирование функций
Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
-
Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.