Referat.me

Название: Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Вид работы: контрольная работа

Рубрика: Информатика и программирование

Размер файла: 1.79 Mb

Скачать файл: referat.me-136262.docx

Краткое описание работы: Чисельне інтегрування, формула Сімпсона, значення інтегралу від функцій та формули трапецій. Знаходження коренів рівняння методом Ньютона. Наближення функцій поліномами вищого порядку. Метод Ейлера та його модифікації. Визначення похибок розрахунків.

Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку

Міністерство освіти і науки України

Житомирський державний технологічний університет

Кафедра ТМ та КТС

Група ЗІМ 03-1т

Курсова робота

з інформатики

на тему: «Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ»

Житомир


Зміст

Завдання № 1. – Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона

Завдання № 2. – Знаходження коренів рівняння методом Ньютона

Завдання № 3,4. – Наближення функцій поліномами вищого порядку

Завдання № 5. – Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера


Завдання № 1

Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона

Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0 +a1 x+a2 x2 +a3 x3 +a 4 x4 +a5 x5 з точністю до п’ятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n – e8 та e4

Вихідні дані:

Варіант a0 a1 a2 a3 a4 a5
2 1 0.9 0.8 0.7 0.5 2.3

Реалізація у MS Excel:

Хід виконання:


Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розв’язку інтеграла є визначення відповідної площі.

Розіб’ємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули

Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд

де cj = 1,2,2,2,….2,1.

Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою

Елементарна площа визначається інтегралом

Враховуючи, що

Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)


де cj = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.

У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.

Завдання № 2

Знаходження коренів рівняння методом Ньютона

Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0 +a1 x+a2 x2 +a3x3 за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.

Вихідні дані:

Варіант a0 a1 a2 a3
2 1,3 -7 -4 -4

Реалізація у MS Excel:


Хід виконання:

1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ≈ 0,17

2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5 .

В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:

При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:

Чергове k-е наближення:

В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:

При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:

Для першого наближення:


Для подальших наближень:

Завдання № 3,4

Наближення функцій поліномами вищого порядку

Функція y=f(x) задана таблицею значень у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.

Вихідні дані:

Варіант 2
x 0 0,375 0,563 0,75 1,125 1,313 1,5 1,690 1,875 2,063 2,25 2,438 2,625 2,813 3
y 4.568 3,365 2,810 2,624 0,674 0,557 0,384 -0,556 -1,44 -1,696 -1,91 -2,819 -3,625 -3,941 -4,367

Хід виконання:

1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.

2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .

3. Будуємо гістограму залежності від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.

4. На одному графіку будуємо многочлени Pm , m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.

Реалізація у MS Excel:

Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі у відповідних степенях та уіі j

За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:


Визначаємо обернені матриці Х-1 до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).

Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1 та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).

Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі , визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі .


Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані – точковий графік, розрахункові дані – лініями різного типу.

Визначаємо величину для кожного полінома та будуємо гістограму:


Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції

Завдання № 5

Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера

Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y' = f (x, y), що задовольняє початковим умовам (x0 , y0 ), вибираючи крок інтегрування h, де

y(xi +h)=y(xi )+h·y'(xi )


Розв’язати попереднє диференційне рівняння y' =f(x, y) вдосконаленим методом ломаних та вдосконаленим методом Ейлера-Коші.

Вихідні дані:

Варіант h [a, b] (x0 , y0 )
2 0,2 [0;1] (0;1)

Реалізація у MS Excel:

Графіки розрахованих даних:


Похожие работы

  • Дослідження чисельних методів інтегрування

    Дослідження методів чисельного інтегрування Чебишева та Трапеції, порівняння їх точності. Способи розробки програми на компіляторі Turbo C++, яка знаходить чисельне значення вказаного інтегралу. Обґрунтування вибору інструментальних засобів програми.

  • Дослідження методів чисельного інтегрування

    Аналіз методу чисельного інтегрування, з використанням методу Гауса при обчисленні інтегралу третього, четвертого та п’ятого порядків. Алгоритм та лістинг програми, що розв’язує інтеграл методом Гауса, знаходить похибку, виводить і порівнює результати.

  • Дослідження методів чисельного інтегрування

    Характеристика основних методів чисельного інтегрування та розв’язання інтегралу методом Чебишева третього, четвертого та п’ятого порядків. Оцінка похибок та порівняння їх з точним обчисленнями отриманими в математичному пакеті Mathcad 2001 Professional.

  • Числові методи

    Розв’язання системи рівняння методом Гауса за схемою з частковим вибором головного елементу. Рішення задачі Коші методом Рунге-Кутта. Знаходження моментів кубічних сплайнів методом прогонки. Розв’язування системи нелінійних рівнянь методом Ньютона.

  • Наближені методи розв’язку нелінійних рівнянь

    В роботі розглянуто наближені методи розв’язку нелінійних рівнянь. Для вказаних методів складено блок-схеми та написано програму, за якою розв’язується задане рівняння. Аналіз як самого рівняння і методів його розв’язання так і результатів обрахунку.

  • Розробка математичної програми в середовищі С++

    Розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь методом хорд. Опис структури програмного проекту та алгоритмів розв’язання задачі. Розробка та виконання тестового прикладу. Інші математичні способи знаходження коренів рівнянь, та опис виконаної програми.

  • Програма розв’язання звичайних диференціальних рівнянь однокроковими методами

    Стандартний спосіб розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку чисельними однокроковими методами. Геометричний зміст методу Ейлера. Побудова графіку інтегральної кривої. Особливість оцінки похибки за методом Рунге.

  • Знаходження значення функції за допомогою інтерполяційної формули Бесселя

    Основні теоретичні відомості про метод знаходження значення функції у міжвузловій точці за допомогою інтерполяційної формули Бесселя та приклад його застосування. Розробка алгоритму за даним методом. Опис програми, лістинг та результати тестування.

  • Інженерні розрахунки в MathCad

    Розв’язання системи лінійних та нелінійних рівнянь у програмі MathCAD. Матричний метод розв'язання системи рівнянь. Користування панеллю інструментів Математика (Math) для реалізації розрахунків в системі MathCAD. Обчислення ітераційним методом.

  • Визначення площі між функціями інтегралом за методом трапеції на мові Pascal

    Складання програми на мові Pascal розрахунку за методом трапецій площі між графіками функцій. Розрахунок за методом трапецій площі між графіками функцій. Алгоритм програми. Кількість відрізків, на які розбивається дільниця інтегрування. Межа інтегрування.