Название: Умова перпендикулярності прямих
Вид работы: реферат
Рубрика: Астрономия
Размер файла: 318.61 Kb
Скачать файл: referat.me-2037.docx
Краткое описание работы: : к/= 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1,у1): у-у1=к(х-х1) 9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1,у1) і (х2,у2): 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
Умова перпендикулярності прямих
: к / =.
8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1 ,у1 ) :
у-у1 =к(х-х1 )
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1 ,у1 ) і (х2 ,у2 ) :
10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а і в на осях координат:
11. Загальне рівняння прямої:
Ах+Ву+С=0, (А2 +В2 ¹ 0).
12. Відстань від точки (х1 ,у1 ) до прямої Ах+Ву+С=0:
d =
13. Рівняння кола з центром (х0 ,у0 ) і радіусом R :
(х-х0 )2 +(у-у0 )2 = R2
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а і в :
(1)
Фокуси еліпса F(c;0) i F/ (-c;0) , де с2 =а2 -в2
15. Фокальні радіуси точки (х,у) еліпса (1):
r=a-Ex; r/ =a+Ex,
де Е= - ексцентриситет еліпса.
16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а і в :
(2)
2
нерівностями a £ x £ b, y1 (x) £ y £ y2 (x), z1 (x, y) £ z £ z2 (x, y)
де yi (x) , zі (x, y), (і=1, 2) – неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z) можна обчислити за формулою:
.
Для заміток.
І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат:
х ' =х-а, у ' =у-в,
де О ' (а;в) - новий початок, (х;у) - старі координати точки, [ х ' ;у ' ] - її нові координати.
2. Поворот системи координат (при нерухомому початку):
х= х ' cos a - у ' sin a ; y= x ' sin a + y ' cоs a ,
де (х,у) - старі координати точки, [х' ,у' ] - її нові координати, a - кут повороту.
3. Відстань між точками (х1 ,у1 ) і (х2 ,у2 ) :
d=
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1 ,у1 ) і (х2 ,у2 ) в даному відношенні l:
x= y= .
При l=1, маємо координати середини відрізка:
х =у =.
5. Площа трикутника з вершинами (х1 ,у1 ), (х2 ,у2 ) і (х3 ,у3 ) :
S =.
6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
у=кх+в,
де к= tg j (кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох ,
в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу .
7. tg q = - тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к і к/ .
Умова паралельності прямих: к/ =к .
1
24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а і в :
x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди:
x=a(t-sin t), y=a(1-cos t) .
II. Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
1. Основні теореми про границі:
а)
б)
Зокрема,
в)
2. Чудові границі:
а) б)
3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами:
lg x= М ln x, де М= lg e=0,43429…
4. Приріст функції у= f(x), що відповідає приросту аргументу х :
5. Умова неперервності функції у= f(x) :
Основна властивість неперервної функції:
6. Похідна
Геометрично y / = f / (x) - кутовий коефіцієнт дотичної до
4
XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y) , розповсюдженим на область S , називається число:
, (1)
де (хі , уі ) є D Si ( і=1, 2,… n) і d – найбільший діаметр комірок D Si .
Якщо f(x, y) ³ 0 , то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y) .
2. Якщо область інтегрування S стандартна відносно осі Оу і визначається нерівностями a £ x £ b , y1 (x) £ y £ y2 (x) ,
де y1 (x),y2 (x) – неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y) виражається формулою:
.
3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j і r ,
де x=r cos j , y=rsin j має вигляд:
Якщо область інтегрування S визначається нерівностями:a £ j £ b , r1 ( j ) £ r £ r2 ( j ), то
4. Якщо r = r (х, у) – поверхнева густина пластини S , то її
маса є (2)
25
(фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r =1 отримуємо формулу площі пластинки
5. Статистичні моменти пластинки S відносно координатних осей Ох,Оу виражаються інтегралами:
,
де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S визначаються за
формулами: , , (3)
де m – маса пластинки.
Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r =1 .
7. Моменти інерції пластинки S відносно координатних осей Ох і Оу виражається інтегралами:
, ,
де r = r (х, у) – поверхнева густина пластинки.
8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z), розповсюдженим на область V , називається число:
, (4)
де ( xi , yi , zi ) є D Vi (i=1, 2, 3,…n) , d – найбільший діаметр комірок D Vi .
Якщо f(x, y z) є густиною в точці (x, y z), то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V .
9. Об¢єм тіла V дорівнює: .
10. Якщо область інтегрування V визначається
26
Фокуси гіперболи F(c;0) і F/ (-c;0) , де с2 =а2 +в2
17. Фокальні радіуси точки (х,у) гіперболи (2):
r= ± (Ex-a), r/ = ± (Ex+a),
де Е= - ексцентриситет гіперболи.
18. Асимптоти гіперболи (2):
у= .
19. Графік оберненої пропорційності
ху=с (с ¹ 0)
- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р :
у2 =2рх
Фокус параболи: F(p/2, 0) :рівняння директриси: х=-(р/2) ; фокальний радіус точки (х,у) параболи: r=x+(p/2) .
21. Графік квадратного тричлена
у=Ах2 +Вх+С
- вертикальна парабола з вершиною
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х і у :
r tg j =
Прямокутні координати точки з полярними координатами
r і j .
x= r cos j , y= r sin j .
23. Параметричні рівняння кола радіуса R з центром в початку координат:
x=R cos t, y=R sin t. (t - параметр)
3
f ¢ / (x0 )=0 або f ¢ / (x0 ) не існує.
б) Достатні умови екструмуму функції f(x) в точці x0 :
1) f ¢ / (x0 )=0, f ¢ / (x0 -h1 )f ¢ / (x0 +h2 )<0 при довільних досить малихh1 >0 і h2 >0 , або
2) f ¢ / (x0 )=0, f ¢¢ / (x0 ) ¹ 0
12. - Графік функції y=f(x) вгнутий (або випуклий вниз) якщо f ¢¢ / (x)>0 i випуклий (випуклий вверх), якщо f ¢¢ / (x)<0.
- Необхідна умова точки перегинy графіка функції
y=f(x) при x=x0 : f ¢¢ / (x0 )=0 або f ¢¢ / (x0 ) не існує.
- Достатня умова точки перегину при х=х0 :
f ¢¢ (x0 )=0, f ¢¢ / (x0 -h1 )f '' (x0 +h2 )<0 при будь-яких досить малих h1 >0, h2 >0.
13. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [ a , b ] і f( a )f( b )<0, то корінь x рівняння f(x)=0 наближено можна обчислити за формулами:
а) (метод хорд)
б) , де f ¢ ( a ) ¹ 0; f( a )-f ¢ ( a )>0 (метод дотичних).
14. Диференціал незалежної змінної х : dx= ∆ x . Диференціал функції у= f(x):dy=y ¢ dx . Зв’язок приросту ∆ y функції з диференціалом dy функції:
∆ y=dy+ a ∆ x , де a →0 при ∆ х→0 .
Таблиця диференціалів функцій .
1) dun =nun-1 du ; 7) d(ctg u)=-
2) dau =au ln a du (a>0); deu =eu du ; 8) d(arcsin u) =
3)d(loga u)= ; 9) d(arccos u)= -
6
№ п/п | Характер коренів k1 i k2 характеристичного рівняння | Вигляд загального розв ¢ язку |
1 | Корені k1 i k2 дійсні і різні | |
2 | Корені рівні k1 = k2 | |
3 | Корені комплексні k1 = a +і b k2 = a -і b |
9. Таблиця 2 .
Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=f(x) (p i q - сталі) в залежності від правої частини f(x).
№ п/п | Права частина f(x) | Випадки | Частинний розв ¢ язок |
1 |
f (x)=aemx (a,m - сталі) |
1) m2 +pm+q ¹ 0 , 2) m2 +pm+q=0 : a) p2 -4q>0 , b) p2 -4q<0 . |
z=Aemx , --------- z=Axemx , z=Ax2 emx . |
2 | f(x)=Mcos w x+Nsin w x (M,N, w - сталі, w ¹ 0 ) | 1) p2 +(q- w 2 )2 ¹ 0 , 2) p=0, q= w 2 . |
z=Acos w x+Bsin w x, z=x(Acos w x+Bsin w x) |
3 | f(x)=ax2 +bx+c (a,b,c – сталі) |
1) q ¹ 0, 2) q=0, p ¹ 0 . |
z=Ax2 +Bx+C, z=x(Ax2 +Bx+C). |
A, B, C – сталі невизначенні коефіцієнти.
Х.Криволінійні інтеграли.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y) , взятий по кусково гладкій кривій К :x=x(t) , y=y(t) (t є [ a , b ]) , дорівнює
(1)
Якщо крива К задана рівнянням у=у(х) ( a £ x £ b ) , то
23
Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К .
Якщо f(x, y ) є лінійна густина лінії К , то інтеграл (1) являє собою масу лінії К .
2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у) , взятий по кусково гладкому шляху К :x=x(t), y=y(t) (t є [ a , b ]) , визначається за формулою:
(2)
Якщо шлях К задано рівнянням у=у(х) (х є [ a , b ] ) , то
.
Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К .
Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили
F={X(x, y), Y(x, y)} вздовж шляху К .
3. Якщо виконується умова Х(х, у) dx+Y(x, y)dy=dU(x, y) , то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К і
, (3)
де (х1 ,у1 ) – початкова точка шляху і (х2 ,у2 ) – кінцева точка шляху.
Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y) .
24
графіка функції у= f(x) в точці з абсцисою х .
Правила і формули диференціювання:
а) C ¢ =0; б) (U+V-W) ¢ =U ¢ +V ¢ -W ¢ ;
в) (CU) ¢ =CU ¢ ; г) (UV) ¢ =U ¢ V+V ¢ U;
д) е)
є) ; и) (х n ) ¢ = n xn-1 , x ¢ =1;
і) ( sin x ) ¢ =cos x; ї) ( cos x ) ¢ =-sin x;
й) ( tg x ) ¢ =sec2 x; к) ( с tg х ) ¢ =-cosec2 x;
л)м) (а x ) ¢ =ax ln a, (ex ) ¢ =ex .
н) (а rcsin x ) ¢ = o) (arccos x) ¢ = ;
п) ( arctg x ) ¢ = р) (arcctg x) ¢ =
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції:
f(x2 )-f(x1 )=(x2 -x1 )f ¢ / ( x ), де x є (х1 ,х2 ).
8. Функія у= f(x) зростає, якщо f ¢ / (x)>0 ,і спадає, якщо f ¢ (x)<0 .
9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду або :
якщо границя з права існує.
10. Локальна формула Тейлора:
f(x)=f(x0 )+f ¢ / (x0 )(x-x0 )+…+
де f(n) (x) існує в деякому повному околі точки х0 .
11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x) в точці x0 :
5
6) .
7)
8)
9) .
10) .
11) .
12) де a ¹ 0 .
13)
14)
3. Основні методи інтегрування.
а) метод розкладу:
, де f(x)=f1 (x)+f2 (x)
б) метод підстановки: якщо x= j (t) , то
в) метод інтегрування частинами:
4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x) - неперервна і F ¢ (x)=f(x) , то
.
5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми:
8
де , ( n=1, 2,… ) .
IX. Диференціальні рівняння.
1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.
X(x)Y(y)dx+X1 (x)Y1 (y)dy=0
має загальний інтеграл: (1)
Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1 (х)=0 і У1 (у)=0.
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку:
P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 ,
де P(x, y) і Q(x, y) – щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u * x (u – нова функція).
3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку:
a(x)y ¢ +b(x)y+c(x)=0
можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u * v ,
де u – не нульовий розв¢язок однорідного рівняння
a(x)y ¢ +b(x)y=0 , а v – нова функція.
4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо y ¢¢ =f(x) , то загальний розв¢язок:
;
б) якщо y ¢¢ =f(у) , то загальний інтеграл:
;
в) якщо y ¢¢ =f(у ¢ ) , то загальний інтеграл рівняння можна
21
знайти з співвідношення: , де у ¢ =р .
5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку:
а) якщо у ¢¢ = f(x, y ¢ ) , то приймаючи у ¢ =р(х) , отримуємо:
;
б) якщо у ¢¢ = f(у, y ¢ ) , то приймаючи у ¢ =р(у) , отримуємо:
.
6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=0 має вигляд
у=С1 у1 +С2 у2 ,
де у1 і у2 – лінійно незалежні частинні розв¢язки.
7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку:
у ¢¢ +р(х)у ¢ + q(x)y=f(x) має вигляд ,
де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z – частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння.
8. Таблиця 1 .
Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у ¢¢ +ру ¢ + qy=0 (p i q - сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2 +pk+q=0 .
22
(a>0,a ¹ 1); d(ln u)=
4) d(sin u)=cos u du ; 10) d(arctg u)= ;
5) d(cos u)= -sin u du ; 11) d(arcctg u)=
6) d(tg u)= 12) df(u)=f ¢ (u)du .
15.Малий приріст диференційованої функції:
f(x+ ∆ x)-f(x) » f ¢ (x) ∆ x
16. Диференціал другого порядку функції у= f(x) , де х - незалежна змінна ( d2 x )=0 :
d2 y=у '' dx2 .
III. Інтегральне числення.
1. Якщо dy=f(x)dx , то y= (незвичайний інтеграл).
2. Основні властивості незвичайного інтеграла:
а)
б) в) (А¹0)
г)
Таблиця найпростіших невизначених інтегралів .
1) ( m ¹ -1 ) .
2) , (при х < 0 i при x >0 ).
3) ;
4) (a >0, a ¹ 1 ) .
5) .
7
де h=(b-a)/n, x0 =a, xn =b, y=f(x), yi =f(x0 +ih), (i=0,1,2,…,n) .
11. Формула Сімпсона:
де h=(b-a)/2.
12. Невласний інтеграл:
13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у= f(x) (f(x) ³ 0) , віссю Ох і двома вертикалями х=а , х= b (a<b) : .
14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r = f( j ) (r i j - полярні координати) і двома промінями j = a , j = b ( a < b ): .
15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x) в прямокутних координатах х і у від точки х=а до точки х= b (a<b) :
.
16. Довжина дуги гладкої кривої r =f( j ) в полярних координатах j і r від точки j = a до точки j = b ( a < b ) :
,
17. Довжина дуги гладкої кривої х= j (t) y = y (t) , задано параметрично(t0 <T) :
18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x) :
10
9. Ряд Маклорена.
10. Розклад в степеневі ряди функцій:
а) , при ê x ú < 1 ;
б) ln(1+x) = , при –1 <x £ 1 ;
в) , при ê x ú £ 1 ;
г) , при ê x ú < + ¥ ;
д) ,
при ê x ú < + ¥ ;
е) , при ê x ú < + ¥ ;
ж) ,
при ê x ú < 1 .
11. Ряд Тейлора .
12. Ряди в комплексній області: .
13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд
19
також збігається (абсолютно).
14. Формули Ейлера: , .
15. Тригонометричний ряд Фур ¢ є кусково-гладкої функції f(x) періоду 2 l має вигляд:
, (1)
де , ( n=0, 1, 2,… ) ;
, ( n=1, 2,… ) .
(коефіцієнти Фур¢є функції f(x) ). Для функції f(x) періоду 2 p маємо ,
де , ( n=0, 1, 2,… ) .
В точках розриву функцій f(x) сума ряду (1) дорівнює
16. Якщо 2l – періодична функція f(x) парна, то
,
де , ( n=0,1, 2,… ) .
Якщо 2l – періодична функція f(x) непарна, то
,
20
де і
6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні):
а) ; б)
в) г)
д)
е)
ж)
7. Теорема про середнє: якщо f(x) - неперервна на [a,b] , то
, де а <c<b .
8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі:
9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі:
де а= j ( a ), b = j ( b ) .
10. Формула трапецій: ,
9
z=r(cos j +isin j ) , де r= ê z ú ; j =Arg z
5. Теореми про модуль та аргумент:
а) ê z1 +z2 ÷ £ ê z1 ú + ê z2 ú ; б) ê z1 z2 ÷ £ ê z1 ú ê z2 ú ,
Arg z1 z2 =Arg z1 +Arg z2 ;
в) Arg =Arg z1 -Arg z2 ; (z2 ¹ 0) ;
г) ê zn ÷ = ê z ú n ; Arg zn =n Arg z (n - ціле).
6. Корінь з комплексного числа:
, (k =0,1,2,…, n-1 )
7. Показникова формула комплексного числа:
z = r ei j , деz = ê z ú , j = Arg z .
8. Визначник другого порядку:
.
9. Розв’язок системи знаходяться за формулами: х= D х/ D ; у= D у/ D (правило Крамера), де
.
10. Розв’язок однорідної системи: визначається за формулами: х= D 1 t, y=- D 2 t, z= D 3 t; (- ¥ <t< ¥ ),
де -
мінори матриці .
12
3. Повний диференціал функції z = f(x, y) від незалежних змінних х, у :
де dx= D x, dy= D y .
Якщо U = f(x, y, z) , то .
4. Малий приріст диференційованої функції:
5. Похідна функції U = f(x, y) по напряму l , заданому одиничним вектором {cos a , cos b } дорівнює:
.
Аналогічно, якщо U = f(x, y, z) і{cos a , cos b , cos g } – одиничний вектор напряму l, то
6. Точки можливого екстремуму диференціальної функції U = f(x, y, z) визначаються з рівнянь:
f ¢ х ( x, y, z )=0; f ¢ y ( x, y, z )=0; f ¢ z ( x, y, z )=0
7. Градієнтом скалярного поля U = f(x, y, z) є вектор
Звідси .
8. Якщо P(x, y)dx + Q(x, y)dy є повним диференціалом в області G , то
17
(( x, y) є G) .
(ознака повного диференціалу.).
VIII. Ряди.
1.Основне означення: .
2. Необхідна ознака збіжності ряду:
якщо ряд збігається, то .
3. Геометрична прогресія: , якщо ê q ú < 1 .
4. Гармонічний ряд 1 + 1/2 + 1/3 + … (розбігається).
5. Ознака Даламбера . Нехай для ряду ( Un >0 ) існує
Тоді: а) Якщо l < 1 , то ряд збігається;
б) Якщо l > 1 , то ряд розбігається, Un непрямує до 0 .
6. Абсолютна збіжність . Якщо ряд збігається, то ряд також збігається (абсолютно).
7. Ознака Лейбніца . Якщо і при , то знакозмінний ряд V1 -V2 +V3 -V4 +… - збігається.
8. Радіус збіжності степеневого ряду а0 +а1 х+а2 х2 +… визначається за формулою:, якщо остання має зміст.
18
.
19. Об’єм тіла обертання:
а) навколо осі Ох : ( a<b )
б) навколо осі Оу : ( c<d )
20. Робота змінної сили F=F(x) на ділянці [a,b] :
ІV. Комплексні числа, визначники та системи рівнянь.
1. Комплексне число z=x+iy , де х= Re z, y=Im z - дійсні числа, і2 =-1.
Модуль комплексного числа:
Рівність комплексних чисел :
z1 =z2 Û Re z1 =Re z2 , Im z1 =Im z2
2. Спряжене число для комплексного числа z=x+iy:
3. Арифметичні дії над комплексними числами z1 =x1 +iy1 , z2 =x2 +iy2 :
a)
б)
в) ( z2 ¹ 0 )
Зокрема Re z =1/2 (z+), Im z= (z-)/2і , ú z ê 2 =z .
4. Тригонометрична форма комплексного числа:
11
V. Елементи векторної алгебри.
1. Сумою векторів , , є вектор .
2. Різницею векторів і є вектор , де
- - вектор, протилежний вектору .
3. Добутком вектора на скаляр є вектор такий що , де і , причому напрям вектора співпадає з напрямком вектора , якщо k > 0 , і протилежний до нього, якщо k < 0 .
4. Вектор і колінеарні, якщо (k - скаляр).
Вектори , , компланарні, якщо ,(k,l -скаляри)
5. Скалярним добутком векторів і є число
, де j = <( , ) .
Вектори і ортогональні, якщо * = 0 .
Якщо і , то .
6. Векторним добутком векторів і є вектор ,
де , , ( j = <(a,b) ) ,
причому а, b, с - права трійк.
Якщо і , то , де
i, j, k - одиничні вектори (орти), напрямлені згідно з відповідними осями координатами.
7. Мішаний добуток являє собою об’єм (зі знаком) паралелепіпеда, побудованого на векторах а, b, с .
Якщо , , , то
14
.
VI. Аналітична геометрія в просторі.
1. Декартові прямокутні координати точки М(х, у, z ) простору Оху z є:
x=rx , y=ry , z=rz , деr= - радіус-вектор точки М .
2. Довжина та напрям вектора а= {ax ,ay ,az } визначаються формулами: ;
cos a =ax /a; cos b =ay /a; cos g =az /a,
(cos2 a +cos2 b +cos2 g =1),
де cos a , cos b , cos g - напрямні косинуси вектора а .
3. Відстань між двома точками M1 (x1 ,y1 ,z1 ) i M2 (x2 ,y2 ,z2 ) :
.
4. Рівняння площини з нормальним вектором N={A,B,C} ¹ 0 , що проходить через точку M0 (x0 ,y0 ,z0 ) є N * (r-r0 )=0, …(1)
де r - радіус-вектор текучої точки площини M(x,y,z) і r0 - радіус-вектор точки М0 .
В координатах рівняння (1) має вид:
А(х-х0 )+В(у-у0 )+С( z-z0 )=0 абоAx+By+Cz+D=0 (2)
де D= -Ax0 -By0 -Cz0 (згальне рівняння площини).
5. Відстань від точки M1 (x1 ,y1 ,z1 ) до площини (2) дорівнює:
6. Векторне рівняння прямої лінії в просторі:
r=r0 +st (3)
15
де r{x,y,z} - текучий радіус-вектор прямої; r0 {x0 ,y0 ,z0 } - радіус-вектор фіксованої точки прямої, s{m,n,p} ¹ 0 - напрямний вектор прямої і t - параметр (- ¥ <t<+ ¥ ) .
В координатній формі рівняння прямої (3) має вигляд:
.
7. Пряма лінія як перетин площин визначається рівняннями: (4)
Напрямним вектором прямої (4) є S=N * N ¢ , де N={A,B,C} , N ¢ ={A ¢ ,B ¢ ,C ¢ } .
8. Рівняння сфери радіуса R з центром ( x0 ,y0 ,z0 ) :
.
9. Рівняння трьохосьового еліпса з півосями a,b,c :
.
10. Рівняння параболоїда обертання навколо осі О z :
x2 +y2 =2pz .
VII. Диференціальне числення функції
декількох змінних.
1. Умова некперервності функції z=f(x,y) :
,
або
Аналогічно визначається неперервність функції f ( x, y, z ) .
2. Частинні похідні функції z = f(x, y) по змінних х, у :
16
11. Визначник третього порядку:
де - алгебраїчні
доповнення відповідних елементів визначника.
12. Розв’язок системи визначається за формулою Крамера х= D х/ D ; у= D у/ D ; z= D z/ D ,
де
.
13. Розв’язок однорідної системи , якщо
знаходяться з підсистеми: .
13
Похожие работы
-
Інтегруючий множник
Реферат на тему: 1.Рівняння в повних диференціалах Якщо ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції , тобто і, таким чином, рівняння приймає вигляд
-
Еліпсоїд
1) ом називається поверхня, яка в деякій прямокутній системі координат визначається рівнянням. Рівняння (1) називається канонічним рівнянням еліпсоїда. Дослідження форми еліпсоїда проведемо методом паралельних перерізів. Для цього розглянемо перерізи даного еліпсоїда площинами, паралельними площині Оху.
-
Власні числа та власні вектори матриці
Реферат на тему: Власні числа та власні вектори матриці План Власні числа і власні вектори лінійного перетворення. Характеристичне рівняння. Властивості власних векторів і власних значень.
-
Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями Пряма на
Пошукова робота на тему: Приклади складання рівняння лінії на площині за даними її геометричними властивостями. Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі. Пряма і площина.
-
Канонічні рівняння кривих другого порядку
Пошукова робота на тему: Канонічні рівняння кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола). План Канонічні рівняння кривих другого порядку
-
Аналітична геометрія на площині
Реферат на тему: Аналітична геометрія на площині Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння y = kx + b (2.3) де k=tg ‑ нахил цієї прямої до осі OX (рис 2.3,а).
-
Поверхні обертання Циліндричні та конічні поверхні Канонічні рівняння поверхонь другого порядку
Пошукова робота на тему: Поверхні обертання.Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди).
-
Диференціал 5
Диференціал План Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних.
-
Застосування векторів до розв язування простих задач на площині та в просторі Рівняння та нерів
Пошукова робота на тему: Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.
-
Опуклі множини
У курсі “Математичне програмування” та в деяких економічних дослідження використовуються поняття опуклої лінійної комбінації векторів та опуклої множини.