Название: Функції та способи їх задання
Вид работы: реферат
Рубрика: Астрономия
Размер файла: 82.54 Kb
Скачать файл: referat.me-890.docx
Краткое описание работы: Реферат з предмету „Вища математика” на тему: Функції та способи їх задання” План 1. Деякі властивості функції. 2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.
Функції та способи їх задання
Реферат
з предмету „Вища математика”
на тему:
„Функції та способи їх задання”
План
1. Деякі властивості функції.
2. Області визначення та значення функції заданої аналітично.
3. Основні елементарні функції.
4. Складні та елементарні функції.
ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
ФУНКЦІЯ
Поняття функціональної залежності
Величина називається змінною (сталою), якщо в умовах даної задачі набуває різних (тільки одне) значень.
Розглянемо дві змінні величини .
Означення : Функцією у = f ( x ) називається така відповідність між множинами D і Е , при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у .
При цьому вважають, що:
х — незалежна змінна або аргумент;
у — залежна змінна або функція;
f — символ закону відповідності;
D — область визначення функції;
Е — множина значень функції.
Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.
Означення : Функція у = F ( u ) , де и = (х) , називається складною функцією, або суперпозицією функцій F ( u ) та (х) і позначається у = F ( (х)) .
Приклад : — складна функція, вона буде суперпозицією трьох функцій: у = 2 u , и = v 2 , v = sin x .
Означен н я : Нехай функція у = f ( х) встановлює відповідність між множинами D та Е . Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f ( x ) і її позначають
За означенням, для взаємно обернених функцій маємо
Приклад : - взаємно обернені функції:
Графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х (рис. 3.1).
Означення : Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається
неявною, якщо задана рівнянням F ( x , у) = 0 , яке не розв'язане відносно змінноїy .
Приклад : Рівняння у+х+2у =0 визначає неявну функцію у від х .
Загальні властивості функцій
Означення : Множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції, називається природною областю визначення функції. Область визначення може бути заданою; у цьому випадку вона залежитьтакож від умови задачі.
Приклад: Знайти область визначення функції
D ( y )=(-1; 0) (0; 1] - природна область визначення. Якщо за умовою задачі х — відстань, а це означає, що х 0 , тоді D ( y ) ==(0; 1] — задана область визначення.
Означення : Функція у = f ( x ) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х D виконується умова f (- x ) = f ( x ) ( f (- x ) = - f (х)) .
Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D , f (- x ) f ( x ) .
Приклад: у = cos х — парна функція (графік функції симетричний відносно осі ординат (рис. 3.2)), бо у(х)= cos (- х)= cosx =у(х);у= arctgx — непарна функція (графік функції симетричний відносно початку координат (рис. 3.3)), бо у(- х)= = arctg (- х)= - arctgx = - у(х); у = arccosx — ні парна, ні непарна (рис. 3.4), бо у(-x)= arccos (- х)= - arccosx * ± у(х ).
Означення : Функція у = f ( x ) називається періодичною, якщо для х D виконується умова f ( x +Т) = f ( x - T ) = f ( x ) , де число Т — період функції.
Приклад : у = tgx — періодична функція з мінімальним періодом Т =
(див. рис. 3.5), бо tg ( x +) = tg ( х -) = tgx .
Означення : Функція у - f ( x ) називається обмеженою на множині D , якщо для всіх х D виконується умова де М > 0 — деяке скінченне число.
Приклад : y = arcsinx — обмежена функція для всіх х [- 1; 1] (рис. 3.6), бо
Означення : Функція у - f ( x ) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D , якщо для всіх х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто
Приклад : у = loga х — монотонно спадна функція при 0 < а <1 , а при а > 1 — монотонно зростаюча (рис. 3.7).
3.1.3. Елементарні функції
Основні з них:
1) степенева у = ха ;
1) степенева у = х а ;
2) показникова у = ах , а > 0, а 1 (рис. 3.8);
3) логарифмічна у = log а х, а > 0, а 1 (рис. 3.7);
4) тригонометричні: у = cosx (рис. 3.2); у = sinx (рис. 3.9); у = tgx (рис. 3.5); у = ctgx (рис. 3.10);
5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); y = arccosx (рис. 3.4); у = arctgx (рис. 3.5); у = arcctgx (рис. 3.11).
Рис. 3.10 Рис. 3.11
Функція вважається елементарною, якщо вона може бути побудована з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій та суперпозицій, наприклад
- елементарна функція.
Означення : Функція у=у(х) називається алгебраїчною, якщо у(х) — розв'язок рівняння
де Рі (х), i = ( О , n ) — многочлени.
Приклад : Функція буде алгебраїчною, бо вона є розв'язком рівняння
Усі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними.
Алгебраїчні функції поділяються на раціональні (цілі й дробові) та ірраціональні.
Цілою раціональною функцією буде упорядкований многочлен
Дробово-раціональною функцією буде відношення многочленів
або
План практичних занять
1. Функції, їх властивості та області визначення.
Термінологічний словник ключових понять:
Функція — це така відповідність між множинами Dта Е, при якій кожному значенню змінної xD відповідає одне й тільки одне значення.
Область визначення функції — це множина всіх значень аргумента, для яких можна обчислити значення функції.
Навчальні завдання
1. Приклад : Знайти область визначення функції
Функція визначена, якщо х - 1 та 1+х > 0.Таким чином, областю визначення функції є: .
2. Приклад : Знайти область визначення функції
.
Перший доданок приймає дійсні значення при , а другий при . Розв'язавши одержану систему нерівностей, знайдемо область означення функції: .
3. Приклад : Визначити, яка з заданих функцій парна чи непарна: а) ; б) ; в)
а) Так як, то функція непарна.
б) Маємо
Функція парна
в) Тут Таким чином, функція не є ні парною, ні непарною.
Похожие работы
-
Поняття множини Змінні та постійні величини Функція область визначення Лінії та поверхні рів
Пошукова робота на тему: Поняття множини. Змінні та постійні величини. Функція, область визначення. Лінії та поверхні рівня. Способи задання. Графіки, їх перетворення. Основні елементарні функції та їх графіки. Поняття неявної, складної та оберненої функції.
-
Степеневі ряди Теорема Абеля Область збіжності степеневого ряду
Міністерство освіти і науки України Київський державний торговельно-економічний університет Коломийський економіко-правовий коледж Реферат З дисципліни „Вища математика”
-
Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами Поняття про стійкість розв яз
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТОРГОВЕЛЬНО-ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ КОЛОМИЙСЬКИЙ ЕКОНОМІКО ПРАВОВИЙ КОЛЕДЖ Реферат
-
Опуклість та гнучкість функції Екстремуми функції Необхідна та достатні умови екстремуму Мето
Міністерство освіти і науки України Київський державний торговельно-економічний університет Коломийський економіко-правовий коледж Реферат З дисципліни „Вища математика”
-
Функція границя функції
Реферат на тему: Функція, границя функції Означення. Якщо кожному елементу x з області визначення D за деяким правилом поставлено у відповідність один і тільки один елемент y з області значень E , то говорять, що задано функцію y=f
-
Диференціальне числення функції Область визначення Елементарні функції Означення функції
Реферат з дисципліни „Вища математика” Диференціальне числення Функції. Область визначення. Елементарні функції Означення функції План Область визначення.
-
Первісна функція і неозначений інтеграл Основні властивості неозначеного інтеграла Таблиця осно
Пошукова робота на тему: Первісна функція і неозначений інтеграл. Основні властивості неозначеного інтеграла.Таблиця основних інтегралів. План Первісна функція
-
Диференціал 5
Диференціал План Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Лінеаризація функції. Диференціал складної функції. Повний диференціал функції декількох змінних.
-
Поняття функції 5
Поняття функції Вивчаючи те чи інше явище, ми, як правило, оперуємо кількома величинами, які пов'язані між собою так, що зміна деяких з них приводить до зміни інших.
-
Похідна за напрямком і градієнт функції основні властивості
Пошукова робота на тему: Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості. План Похідна за напрямком Градієнт функції Основні властивості