Название: Вычисление емкости
Вид работы: статья
Рубрика: Математика
Размер файла: 57.87 Kb
Скачать файл: referat.me-215288.docx
Краткое описание работы: Для расчета емкости можно ввести разность потенциалов между обкладками, решить уравнение Пуассона, найти D на обкладках, а затем плотность поверхностного заряда обкладок σ = ± Dn (Dn - это Dx или Dr у обкладки).
Вычисление емкости
.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Для расчета емкости можно ввести разность потенциалов между обкладками, решить уравнение Пуассона, найти D на обкладках, а затем плотность поверхностного заряда обкладок σ = ± Dn (Dn - это Dx или Dr у обкладки). При этом принимается, что поле вне конденсатора отсутствует (иначе неверна связь σ и Dx(r)).
Рассмотрим для примера симметричный (ε = ε(r)) цилиндрический конденсатор. В нем
![]() |
(39) |
![]() |
(40) |
|σ (R1(2))| = |Dr(R1(2))| = ε0ε(R1(2))|Er(R1(2))| | (41) |
Заряд обкладки равен
|Q| = |σ1(2)|· 2π R1(2)L = |Dr(R1(2))|· 2π R1(2)L | (42) |
где L - длина конденсатора вдоль оси z. Как видно, R1 или R2 cокращается, после чего можно найти емкость как
![]() |
(43) |
Аналогичное рассмотрение для декартового и сферического случаев приводит к выражениям:
![]() |
(44) |
![]() |
Если имеет место зависимость проницаемости от других координат типа ε(r, z, φ) = f1(r)· f2(z, φ), то приведенные выше формулы верны для малого элемента площади обкладок dzR1dφ, а для нахождения емкости всего конденсатора необходимо произвести интегрирование:
![]() |
(45) |
Краевыми эффектами во всех случаях пренебрегается.
Задача: Найти емкость цилиндрического конденсатора, а также абсолютную величину заряда обкладок при подаче напряжения U. Радиусы обкладок R1 и R2, а длина L. Диэлектрик, заполняющий конденсатор, однороден, его проницаемость равна ε.
Решение: По формулам для емкости цилиндрического конденсатора
![]() |
получаем заряд:
![]() |
Задача. Часть сферического конденсатора (область θ<π/3) заполнена диэлектриком с проницаемостью ε(r) = α/r2, а остальная часть имеет ε(r) = β/r2. Найти емкость, если радиусы обкладок R1 и R2.
Решение: Описанное в задаче изменение проницаемости диэлектрика может быть представлено как (
является при этом кусочной функцией, принимающей значения α и β). Поэтому емкость можно вычислить как:
С | = | ![]() |
+ | ![]() |
Задача. В диэлектрике проницаемости ε на расстоянии l от бесконечной проводящей плоскости расположен небольшой металлический шарик радиуса a<< l. Найти емкость системы.
![]() |
Решение: Для нахождения емкости необходимо, задавшись зарядом шарика q, найти разность потенциалов между шариком и плоскостью.
Так как шарик очень маленький (a<< l), заряд на его поверхности можно считать равномерно распределенным (искажения его поля, вносимые плоскостью, заметны лишь на большом расстоянии от шарика).
Разность потенциалов можно найти как
![]() |
где интеграл берется по любой траектории, соединяющей шарик и плоскость. Разумеется, удобнее взять простейшую траекторию: перпендикуляр, опущенный из шарика на плоскость. Введем ось x по этому перпендикуляру так, что центр шарика имеет координату 0, а плоскость x = l.
Для нахождения поля системы применяется метод изображений. На оси x получается:
![]() |
Теперь записываем разность потенциалов:
![]() |
Последнее приближенное равенство получено с учетом условия a<< l. Теперь емкость
![]() |
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Похожие работы
-
Утечка заряда в конденсаторах
Диэлектрик в конденсаторе обладает конечным удельным (Ом•см) сопротивлением , которое может зависеть от координат.
-
Анализ стробоскопического преобразователя частоты
Стробоскопическое преобразование сигналов широко применяется в экспериментальной физике, осциллографии для исследования переходных процессов в полупроводниковых приборах.
-
Потенциал поля
Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряжённости электрического поля. Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов. Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Эквипотенциальные поверхности.
-
Простейшие элементы радиосхем
Резисторы, конденсаторы и диоды.
-
Шаг к структуре пространства
Как часто мы ошибочно полагаем, что в экспериментах вправе сами задавать координаты системы отсчета измеряемых параметров. Иногда это приводит к печальным последствиям.
-
Опыты Эйхенвальда и Вильсона
Экспериментальные основания теории относительности.
-
Расчет поля между эквипотенциальными поверхностями в неоднородной среде в отсутствие объемного заряда
Это типичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнение Пуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1, φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2) = &
-
Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.
Уравнения Максвелла и уравнение Пуассона применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что ε может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div.
-
Граничные условия на стыке двух диэлектриков. Теорема о циркуляции
Любая граница раздела двух сред может считаться плоской на достаточно малом участке. Кроме того, в пределах достаточно малого участка поле векторов можно считать однородным на каждой из сторон.
-
Расчет поляризованности и плотности связанного заряда
Такие задачи могут быть решены как с привлечением теоремы Гаусса, так и посредством интегрирования уравнения Пуассона. Уравнение Пуассона более удобно, если где-либо требуется обеспечить наперед заданные величины потенциала.