Название: Граничные условия на стыке двух диэлектриков. Теорема о циркуляции
Вид работы: статья
Рубрика: Математика
Размер файла: 78.42 Kb
Скачать файл: referat.me-215291.docx
Краткое описание работы: Любая граница раздела двух сред может считаться плоской на достаточно малом участке. Кроме того, в пределах достаточно малого участка поле векторов можно считать однородным на каждой из сторон.
Граничные условия на стыке двух диэлектриков. Теорема о циркуляции
.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Любая граница раздела двух сред может считаться плоской на достаточно малом участке. Кроме того, в пределах достаточно малого участка поле векторов ,
,
можно считать однородным на каждой из сторон. Составляющие указанных векторов Dn, En, Pn, перпендикулярные к границе, называются нормальными, а
,
,
, параллельные границе, - тангенциальными компонентами.
На незаряженной границе двух диэлектриков нормальные и тангенциальные компоненты преобразуются следующим образом:
![]() |
(36) |
Левое соотношение получается из теоремы Гаусса, примененной к области в форме очень тонкого параллелепипеда, серединной плоскостью которого является граница раздела диэлектриков. Для получения второго соотношения привлекается теорема о циркуляции
![]() |
(37) |
Контуром служит узкая прямоугольная рамка, плоскость которой перпендикулярна к границе раздела, рассекающей рамку пополам. Левая часть равенства есть , а правая равна нулю из электростатического уравнения Максвелла (
). Эаметим, что теорема о циркуляции - это математический закон, применимый к любому векторному полю, как и теорема Гаусса.
![]() |
Задача. Плоскость xy представляет собой границу раздела диэлектрик с проницаемостью ε1 (z<0) - воздух (z>0). Напряженность электрического поля в воздухе составляет E2, а вектор составляет угол θ с осью z и не имеет y-компоненты. Найти
,
в обеих средах и поверхностный связанный заряд. Вычислить также циркуляцию вектора
по прямоугольному контуру длины L, лежащему в плоскости xz.
Решение: По условию,
![]() |
откуда сразу
![]() |
По правилам преобразования нормальных и тангенциальных компонент,
Dn1 | = | Dn2 = ε0E2cosθ |
![]() |
= | ![]() |
С учетом общего соотношения , получаем:
En1 | = | ![]() |
![]() |
= | ![]() |
Теперь можно полностью выписать в диэлектрике:
![]() |
Поляризованность в воздухе отсутствует, а в диэлектрике:
![]() |
= | ![]() |
= | ![]() |
При вычислении поверхностного связанного заряда нужна только нормальная компонента, а именно:
![]() |
Вычисление циркуляции вектора даст
![]() |
Знак выбирается в зависимости от напрaвления обхода контура. Заметим, что если бы мы считали циркуляцию , то получили бы ноль. Так как мы знаем
с обеих сторон плоскости xy, (в области z<0
) можно записать окончательный ответ для циркуляции:
![]() |
Проверка выполнения законов преобразования компонент и
на границе служит в некоторых случаях дополнительным "тестом" на корректность того или иного решения.
![]() |
Задача. Часть площади плоского конденсатора заполнена диэлектриком ε1, другая часть ε2. Найти ,
в обеих частях конденсатора при приложении напряжения U. Расстояние между обкладками d.
Ответ: всюду;
и
в 1-й и 2-й частях, соответственно. Направление полей - всюду перпеидикулярно плоскостям обкладок.
Комментарий: граница раздела диэлектриков перпендикулярна обкладкам. По обе стороны этой границы поле параллельно границе и одинаково по величине: нормальная к данной границе составляющая при этом вообще отсутствует. Таким образом, выполнено условие для тангенциальных компонент вектора .
Обобщение данной задачи: пусть в плоском конденсаторе с обкладками x1 и x2, проницаемость изменяется как . Тогда эквипотенциалями являются плоскости x = const. Плотность заряда обкладки такого конденсатора зависит от координат; cуммарный же заряд равен
![]() |
(38) |
Частный случай - ε меняется только в направлении, перпендикулярном полю (например, кусочно). Аналогичную ситуацию можно рассмотреть в сферическом и цилиндрическом конденсаторах ( или
).
Задача. В вакууме на расстоянии l от плоской границы с диэлектриком проницаемости ε расположен небольшой шарик, заряженный зарядом q. Найти поверхностную плотность связанного заряда на границе раздела как функцию расстояния r от проекции центра шарика на плоскость.
![]() |
Решение Вводим систему координат таким образом, что ось z перпендикулярна плоскости раздела сред xy. Тогда заряд q имеет координаты (0, 0, z).
Будем искать решение в виде
φ1 | = | ![]() |
φ2 | = | ![]() |
Значок 1 отвечает полупространству, в котором находится заряд.
Потенциал указанного вида подчиняется уравнению Пуассона. Действительно, для полупространства без заряда Δφ2 = 0, так как особенность функции φ2(z, r) находится вообще вне этого полупространства. Что касается φ1(z, r), то , поскольку первый член в точности соответствует потенциалу точечного заряда, а второй дает ноль, так как его особенность не попадает в полупространство содержащее заряд. Заметим, что, если бы полупространство с зарядом было заполнено диэлектриком (ε1), то это ε1 следовало бы поместить в знаменатель первого члена выражения для φ1.
Найдем z-компоненту поля, соответствущую введенному потенциалу:
Ez1 | = | ![]() |
Ez2 | = | ![]() |
Поскольку z-компонента является нормальной компонентой к границе раздела, для нее должно быть выполнено условие Dz1 = Dz2, то есть
![]() |
Помимо этого требования, необходимо обеспечить непрерывность потенциала, а именно
φ1(0, r) = φ2(0, r) |
Два вышеуказанных условия приводят к соотношениям
–l+B1l | = | –ε A2 l |
1+B1 | = | A2 |
из которых имеем
![]() |
Поверхностный связанный заряд найдется как
![]() |
Проинтегрировав σ' по площади, получаем полный связанный заряд
![]() |
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Похожие работы
-
Метод изображений в электростатике
Задачи о нахождении электрического поля системы нескольких точечных зарядов или системы зарядов, равномерно распределенным по каким-либо поверхностям, решаются в электростатике без особых сложностей.
-
Интеграл по поверхности первого рода
Содержание 1) Интеграл по поверхности первого рода 2) Специальные векторные поля 3) Теорема Стокса 4) Потенциальное поле Литература векторное потенциальное поле интеграл
-
Расчет поля между эквипотенциальными поверхностями в неоднородной среде в отсутствие объемного заряда
Это типичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнение Пуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1, φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2) = &
-
Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.
Уравнения Максвелла и уравнение Пуассона применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что ε может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div.
-
Уравнение Пуассона. Его применение для расчета полей в вакууме
В задачах, решаемых аналитически, φ и ρ обычно зависят только от одной координаты. При интегрировании можно вычислять интегралы как неопределенные, не забывая выписывать +const, а затем отдельно находить эти константы.
-
Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда
Cлучаи c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они "появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность поля и потенциала.
-
Использование расчетных формул в задачах
Определение центра тяжести сечения. Вычисление, при каком значении момента Х угол поворота правого концевого сечения вала равно нулю, построение эпюры крутящих моментов. Расчет значений осевых и центробежных моментов инерции, построение схемы сечения.
-
Гидравлические потери
Решение типовой задачи.
-
Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса
Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре.
-
Проверка закона Ома для участка цепи и всей цепи. Проверка закона Кирхгофа
Лабораторная работа. Практически убедится в физических сущности закона Ома для участка цепи. Проверить опытным путем законы Кирхгофа.