Название: Построение математической модели оптимального управления обеспечивающего мягкую посадку при
Вид работы: курсовая работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 258.87 Kb
Скачать файл: referat.me-215451.docx
Краткое описание работы: Исходные данные к курсовому проекту Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:
Построение математической модели оптимального управления обеспечивающего мягкую посадку при
Исходные данные к курсовому проекту
Рассматривается последний этап посадки космического аппарата (КА) на планету. При построении математической модели предположим:
1) посадка осуществляется по нормали к поверхности планеты, планета неподвижна и в районе посадки плоская;
2) на КА действуют сила тяжести G=mg, причем g=const и сила тяги , где с=const, а β – секундный расход массы m,
;
3) аэродинамические силы отсутствуют.
Уравнения движения КА могут быть представлены в виде:
;
;
, где h – текущая высота;
или в нормальной форме:
;
;
;
.
Здесь введены обозначения:
;
;
;
;
.
Граничные условия имеют вид:
;
;
;
;
,
причем Т заранее неизвестно. Требуется найти программу управления u*(t), обеспечивающую мягкую посадку при минимальном расходе топлива, то есть .
Исходные данные для расчетов
Начальная масса КА
|
Начальная высота
|
Начальная скорость
|
Отношение силы тяги к начальной массе |
500 |
190 |
2,65 |
42,5 |
|
|
Ускорение силы тяжести для планеты g=1,62 м/с2 , величина с=3000 м/с.
Задание к курсовому проекту
1.) Составить гамильтониан Н, воспользовавшись необходимыми условиями оптимальности для задачи Майера.
2.) Из условия максимизации Н по u найти оптимальное управление.
3.) Получить каноническую систему уравнений и в результате прийти к краевой задаче, для которой в момент t=0 заданы компоненты x0 , x1 , x2 , а в момент t=T‑компоненты x1 , x2 , ψ0 .
4.) Из условия Н(Т)=0 получить соотношение для определения неизвестного времени Т.
5.) Произвести анализ необходимых условий оптимальности, начав с исследования возможности существования особого вырожденного управления, то есть случая, когда функция переключения
.
Доказать, что Кu не может обратиться в нуль на конечном интервале времени и, следовательно, особого управления в данной задаче не существует.
Показать, что Кu есть монотонная функция t.
Рассмотреть четыре возможных случая:
а) Ku
>0 для всех ;
б) Ku
<0 для всех ;
в) Ku
>0 для , Ku
<0 для
;
г) Ku
<0 для , Ku
>0 для
.
Показать, в каких случаях (из физических соображений) мягкая посадка невозможна, в каком из реализуемых случаев расход топлива меньше.
Получить программу оптимального управления, когда до некоторого момента t1 управление отсутствует u*=0, а начиная с t=t1 , управление равно своему максимальному значению u*=umax , что соответствует минимальному расходу топлива.
6.) Решить каноническую систему уравнений, рассматривая ее для случаев, когда и управление u*=0, и когда
, u*=umax
.
Приравнивая х1 (Т) и х2 (Т) нулю, получить два уравнения относительно t1 и Т. Таким образом, краевую задачу свести к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t1 , Т. Составить программу расчета. Получив решение этой системы, решить полностью исходную задачу программирования оптимального управления мягкой посадкой КА на планету. В заключение следует построить фазовую траекторию спуска КА и определить конечную массу m(Т).
Выполнение задания курсового проекта
Нам известно, что
, где с – сила тяги двигателя,
m – масса космического аппарата;
– ускорение аппарата.
То есть, масса · ускорение = сумме сил, действующих на аппарат.
β – секундный расход массы m: .
Расход массы обеспечивает силу тяги двигателя (P=c·β), ее можно менять в пределах .
можно найти из исходных данных – выразив из отношения силы тяги к начальной массе Pmax
/m(0):
;
;
кг/с.
Наш критерий оптимизации . Введем принятые в исходных данных обозначения:
;
.
Начальный момент времени t=0, конечный момент времени – момент посадки КА (момент столкновения с планетой) t=T.
;
Тогда критерий оптимизации:
;
. (Здесь
.)
Теперь необходимо написать уравнение состояния системы. Для этого нужно ввести переменные состояния и входную переменную.
Порядок дифференциального уравнения n=3, отсюда 3 уравнения состояния:
;
;
.
Выберем управление:
;
Подставляем уравнения состояния, получим:
так как и
, отсюда
;
;
.
Критерий оптимизации:
.
Введем переменные х0 и хn+1 (то есть х4 ).
, где t – текущее время.
.
Тогда основные уравнения состояния:
Составим гамильтониан Н:
;
.
Оптимальному управлению соответствует максимум функции Гамильтона в заданной области возможных управлений. Причем этот максимум равен нулю.
То есть нужно добиться максимума этой функции, меняя u1 . Это и будет оптимальное управление.
Для функций ψi
тоже получим сопряженные уравнения, которые имеют вид :
![]() |
– так как функция не зависит от х0
,
следовательно производная равна нулю;
– аналогично, так как функция не зависит от х1
.
Итак, нужно найти максимум гамильтониана:
![]() |
Функция переключения:
Используя для вычислений Mathcad, получим оптимальное управление:
Таким образом оказалось, что оптимальное управление должно осуществляться на предельных ресурсах. То есть либо двигатель должен быть совсем выключен (при Ku <0), либо включен на максимальную мощность (при Ku >0).
Посмотрим, как меняется функция переключения Кu во времени:
;
Для определения ψ1 и ψ2 решаем сопряженные уравнения:
, следовательно, ψ1
= const, обозначим ψ1
=с1
.
, следовательно,
, где c2
= const.
Итак,
Масса КА всегда положительна, а с=3000 = const – величина постоянная, поэтому производная имеет всегда постоянный (один и тот же) знак. То есть величина Ku
либо всё время монотонно возрастает, либо всё время монотонно убывает. А это означает, что она может пройти через ноль только один раз.
Рассмотрим четыре возможных случая:
а)
Ku
>0 для всех ;
б)
Ku
<0 для всех ;
в)
Ku
>0 для , Ku
<0 для
;
г)
Ku
<0 для , Ku
>0 для
.
В случаях б) (когда двигатель КА выключен на всем протяжении посадки) и в) (когда двигатель включен на максимальную мощность до какого-то момента времени t=t*, а затем полет происходит с выключенным двигателем до самой посадки) – говорить о мягкой посадке не приходится. Эти варианты означают падение КА на планету. Поэтому оптимальными (и вообще допустимыми) их считать нельзя.
Следовательно, остаются два реализуемых варианта – а) и г) . И оптимальное управление предполагает либо всё время включенный на максимальную мощность двигатель, либо полет с выключенным двигателем до какого-то момента t=t*, а затем полет с двигателем, включенным на максимальную мощность до момента посадки. Естественно, что во втором случае (г) расход топлива меньше, так как часть пути проделывается с выключенным двигателем.
Поэтому оптимальным управлением в данной ситуации можно считать полет с выключенным двигателем, затем происходит включение двигателя и полет продолжается с двигателем, включенным на максимальную мощность.
Итак, оптимальному управлению соответствует
На первом участке полета, на котором u1 =0:
![]() |
;
;
;
;
;
.
Рассмотрим второй участок полета u1 =7,083:
Зададимся условием, что при t=t* (в момент включения двигателя):
;
;
.
На отрезке полета со включенным двигателем:
;
так как , запишем:
.
Теперь, зная х3 , можно выразить х2 :
|


.
Теперь, зная х2 выразим х1 :
;
На отрезке пути h(t):
В момент посадки t=T высота и скорость должны быть равны нулю, то есть и
. На основании этого утверждения приравняем х1
(T) и х2
(Т) нулю и получим таким образом два уравнения относительно t* и T. Таким образом, краевая задача у нас свелась к системе, состоящей из двух нелинейных уравнений относительно двух неизвестных t* и Т:
Из второго уравнения системы выразим момент времени, на котором включается двигатель:
;
Подставим это выражение в первое уравнение системы, получим уравнение для нахождения времени полета T (оно же время посадки):
Для расчета времени полета Т воспользуемся программой Mathcad. На следующем листе приведены эти вычисления[1] :
Теперь, зная Т и t*, можно определить конечную массу космического аппарата m(T):
кг.
Можно рассчитать высоту h (t*), на которой КА должен включить двигатели:
м.
Таким образом, включение двигателей происходит на 3317-ой секунде полета на высоте около 67 км. от поверхности планеты. Тот же результат мы наблюдаем и на графике.
[1] Все дальнейшие вычисления также производились в программе Mathcad
Похожие работы
-
Оптимизация размера нейросети обратного распространения
Задача определения оптимального размера нейросети. Данные для экспериментальной проверки и результаты.
-
Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ТОмский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА КАРТОГРАФИИ И ГИС Лабораторная работа №3
-
Внутреннее тепло Сатурна
С 2005 по 2009 г. Сатурн испускает все меньше и меньше тепла – такие выводы были сделаны учеными на основе наблюдений космического аппарата Cassini. При этом южное полушарие Сатурна испускает заметно больше энергии, нежели северное.
-
Методы решения текстовых задач
Слушатель ОП «Математическое образование в основной и средней школе» Шаронова Мария Викторовна Содержание: - Введение 3 - 1. Составные части задачи и требования по ее решению в школьном
-
Методы корреляционного и регрессионного анализа в экономических исследованиях
Кафедра математической статистики и эконометрики Расчетная работа №2 По курсу: “Математическая статистика” по теме: “ Методы корреляционного и регрессионного анализа
-
Эконометрика 8
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
-
Математическая модель распределения информации
Математическая модель распределения информации Математическая модель системы распределения информации включает следующие три основных элемента: входящий поток вызовов (требований на обслуживание), схему системы распределения информации, дисциплину обслуживания потока вызовов.
-
Математические модели и методы их расчета
Понятие операционного исследования. Классификация и принципы построения математических моделей.
-
Общее представление о математическом моделировании экономических задач
1. Общее представление о математическом моделировании экономических задач 1.1. Определение экономико-математической модели Математические модели экономических задач – это совокупность средств: уравнений, комплексов математических зависимостей, знаковые логические выражения, отображающие выделенные для изучения характеристики объекта, реальные взаимосвязи и зависимости экономических показателей.
-
Исследование операций математической модели
Графическое решение задачи по определению оптимальных суточных объемов производства радиоприемников разной конструкции. Исследование данных моделей на чувствительность с целью оценки предельного возрастания дефицитного ресурса, ведущего к росту прибыли.