Название: Метод хорд
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 466.65 Kb
Скачать файл: referat.me-215491.docx
Краткое описание работы: Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.
Метод хорд
Метод хорд — один з поширених ітераційних методів. Його ще називають методом лінійного інтерполювання, методом пропорційних частин, або методом хибного положення.
Нехай задано рівняння
,
де на відрізку
має неперервні похідні першого й другого порядків, які зберігають сталі знаки на цьому відрізку, і
, тобто корінь
рівняння відокремлений на
.
Ідея методу хорд в тому, що на досить малому відрізку дуга кривої замінюється хордою і абсциса точки перетину хорди з віссю
є наближеним значенням кореня.
а б
в г
рис.1
Нехай для визначеності,
,
,
(рис. 1,а). Візьмемо за початкове наближення шуканого кореня
значення
. Через точки
і
проведемо хорду і за першенаближення кореня
візьмемо абсцису
точки перетину хорди з віссю
. Тепер наближене значення
кореня можна уточнити, якщо застосувати метод хорд до відрізка
. Абсциса
точки перетину хорди
буде другим наближенням кореня. Продовжуючи цей процес необмежено, дістанемо послідовність
наближених значень кореня
даного рівняння.
Для виведення формули методу хорд запишемо рівняння прямої, що проходить через точки і
:
.
Поклавши , знайдемо абсцису точки перетину хорди
з віссю
:
.
Значення можна взяти за наступне наближення, тобто
, тобто
= 0,1,2,
У цьому разі і тоді, коли ,
,
,
(рис. 1, б) кінець
відрізка
є нерухомим.
Якщо ,
,
,
(рис. 1, в), або
,
,
,
(рис. 1, г), аналогічно можна записати формулу:
, тобто
= 0,1,2,... .
У цьому випадку точка є нерухомим кінцем відрізка
.
У загальному випадку нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня, в якому знак функції збігається із знаком другої похідної, а за початкове наближення
можна взяти точку відрізка
, в якій
.
Отже, метод хорд можна записати так:
, тобто
= 0,1,2, (1)
де
З формули (1) видно, що метод хорд є методом ітерацій , в якому
(2)
Зауважимо, що рівняння
на відрізку рівносильне рівнянню
.
Достатні умови збіжності методу хорд дає така теорема.
Теорема. Нехай на відрізку функція
неперервна разом із своїми похідними до другого порядку включно, причому
, а похідні
і
зберігають сталі знаки на
, тоді існує такий окіл кореня
рівняння
, що для будь-якого початкового наближення
з цього околу послідовність
, обчислена за формулою (1), збігатиметься до кореня
.
Доведення. Для доведення теореми досить показати, що в деякому околі кореня
похідна
функції (2) задовольняє умову
для будь-яких
.
Обчислимо
.
Поклавши і врахувавши, що
, маємо
. (3)
Запишемо для в околі точки
формулу Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа:
,
де лежить між
і
.
Поклавши в ній, дістанемо
, (4)
Із формули (3), враховуючи (4), знаходимо .
Оскільки і
— неперервні на
, то і
буде неперервною на
функцією, тому
.
Звідси і з неперервності випливає, що на відрізку
існує окіл
точки
такий, що
для будь-якого
. Тоді з теореми про достатні умови методу ітерацій (Нехай рівняння
має корінь
і в деякому околі
цього кореня функція
задовольняє умову Ліпшиця
, де
; тоді для будь-якого
послідовність
,обчислена за формулою
,
збігається до кореня
, причому швидкість збіжності характеризується нерівністю
) випливає, що послідовність {
}, обчислена за формулою (1), збігається до кореня
, якщо початкове наближення
. Теорему доведено.
Виведемо формулу, яка дає можливість оцінити абсолютну похибку наближення через два послідовні наближення
і
.
Нехай — неперервна і зберігає на
сталий знак, причому
, де
,
.
З формули
дістаємо .
Звідси, враховуючи, що ,
маємо .
Застосувавши теорему Лагранжа, дістанемо
,
де лежить між точками
і
, а
— між
і
. Далі запишемо:
або
Оскільки зберігає на
сталий знак, то
.
Тому (5)
Якщо на відрізку справедлива нерівність
, то із (5) випливає оцінка:
.
Отже, корінь рівняння
буде знайдено методом хорд із наперед заданою точністю
, якщо для двох послідовних наближень
і
справджуватиметься нерівність
.
Приклад 1.
Відокремити корені рівняння аналітично і уточнити один з них методом хорд з точністю до 0,01.
Розв’язання. Маємо функцію
.
Похідна
;
.
Складемо таблицю знаків функції :
![]() |
![]() |
-1 | 0 | ![]() |
![]() |
- | - | + | + |
Рівняння має один дійсний корінь, що лежить на проміжку
Щоб уточнити корінь, знаходимо другу похідну ; на проміжку
виконується нерівність
.
Для обчислень використаємо формулу
, де
.
Результати обчислень розміщуємо в таблиці.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 1 2 3 4 |
0 -0,882 -0,943 -0,946 -0,946 |
0 -0,6861 -0,8386 -0,8466 |
0 0,7779 0,8892 0,8949 |
0 0,1556 0,1778 0,1790 |
0 -0,441 -0,4715 -0,473 |
1,5 0,2173 0,0121 0,0014 |
1,7 0,4173 0,2121 0,2014 |
1 0,118 0,057 0,054 |
-0,118 -0,057 -0,054 -0,054 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Відповідь. Приклад 2.
Відокремити корені рівняння Розв’язання.
рис.2 Таким чином, додатний коріньрівняннязнаходиться на проміжку
при Для обчисленьзастосуємо формулу
Розрахунки зручно розмістити в таблиці:
Відповідь: Задачі для самостійного розв’язування. |
1) ,
;
2) ,
;
3) ,
;
4) ,
;
5) ,
;
6) ,
;
7) ,
;
8) ,
;
9) ,
;
10) ,
;
11) ,
;
12) ,
;
13) ,
;
14) ,
;
15) ,
;
16) ,
;
17) ,
;
18) ,
;
19) ,
;
20) ,
;
21) ,
;
22) ,
;
23) ,
;
24) ,
;
25) ,
;
26) ,
;
27) ,
;
28) ,
;
29) ,
;
30) ,
;
31) ,
;
32) ,
;
33) ,
;
34) ,
;
35) ,
;
36) ,
;
37) ,
;
38) ,
;
39) ,
;
40) ,
Похожие работы
-
Цілочислове програмування
Постановка задачі Існує доволі широкий клас задач математичного програмування, в економіко – математичних моделях яких одна або кілька змінних мають набувати цілих значень, наприклад, коли йдеться про кількість верстатів у цеху, тобто коли така вимога випливає з особливостей технології виробництва.
-
Решение нелинейных уравнений
Задание №1 Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них: · методом половинного деления; · методом хорд; · методом касательных; · методом секущих;
-
Решение нелинейных уравнений с одной переменной
Раздел 2. Численные методы Тема 1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной 1.1. Постановка задачи При решении ряда задач физики, механики и техники возникает необходимость решения уравнений с одной переменной. В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде: F(x)=0, где функция F(x) определена и непрерывна на промежутке {a, b}.
-
Наближене обчислення означених інтегралів формули прямокутників трапецій Сімпсона
Пошукова робота на тему: Наближене обчислення означених інтегралів: формули прямокутників, трапецій, Сімпсона. План Наближене обчислення означених інтегралів
-
Нелинейное уравнение и интервал изоляции корня
Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации.
-
Приближенное вычисление корней в уравнения
Приближённое решение уравнений: метод хорд, метод касательных, комбинированный способ.
-
Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных
Магнитогорский государственный технический университет Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Подготовил: Григоренко М.В. Студент группы ФГК-98
-
Метод хорд
Министерство образования и науки РФ Рязанская Государственная Радиотехническая Академия Кафедра САПР ВС Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине ,,Информатика”
-
Загальні положення теорії ймовірностей та математичної статистики
Реферат на тему: Загальні положення теорії ймовірностей та математичної статистики План Основні поняття та визначення: поняття стохастичної с-ми експерименту, ймовірності, випадкової величини.
-
Решение нелинейных уравнений
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона.