Название: Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов

Вид работы: курсовая работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 209.22 Kb

Скачать файл: referat.me-215934.docx

Краткое описание работы: Построение теоретико-вероятностной модели исследуемого явления случайной величины математическими выводами. Реализация выборки статистической моделью, описывающей серию опытов. Точечная (выборочная) оценка неизвестного параметра и кривая регрессии.

Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов

Московский Авиационный Институт

(государственный технический университет)

Курсовая работа по

«теории вероятностей и математической статистике»

на тему:

Нахождение полиноминальной аппроксимации методом наименьших квадратов

Вариант №2

Выполнила: Студентка группы 05-202

Андреева Виктория

Принял: Преподаватель кафедры 804

Молчанов Игорь Иванович

Москва

2010 г.

ЗАДАНИЕ (вариант № 2) : Даны результаты измерений случайного процесса в равноотстоящие моменты времени (реализация временного ряда).

13,393 13,207 13,477 11,911 14,311 14,979 14,437 14,957 13,044 12,142

12,000 11,496 12,927 11,849 11,612 10,401 8,755 8,185 9,681 9,644

9,073 8,535 9,062 7,602 9,164 6,913 7,749 5,543 5,901 5,901

6,760 4,593 6,131 3,651 3,796 3,663 3,068 3,008 2,809 0,333

1,730 -0,072 0,479 -3,180 -2,962 -5,849 -6,153 -7,911 -10,134 -11,662

Измерения производятся с шагом по аргументу 0,08

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Требуется найти полиноминальную аппроксимацию этого процесса методом наименьших квадратов.

Теоретическая часть

Математическая статистика – наука о математических методах, позволяющих по статистическим данным, например по реализацией случайной величины (СВ), построить теоретико-вероятностную модель исследуемого явления. Задачи математической статистики являются, в некотором смысле, обратными к задачам теории вероятностей. Центральным понятием математической статистики является выборка.

Выборка

Однородной выборкой (выборкой) объема n при называется случайный вектор , компоненты которого , называемые элементами выборки, являются независимыми СВ с одной и той же функцией распределения F ( x ) . Будем говорить, что выборка соответствует функции распределения F ( x ) .

Реализацией выборки называется неслучайный вектор , компонентами которого являются реализации соответствующих элементов выборки .

Из вышеописанных определений вытекает, что реализацию выборки можно также рассматривать как последовательность из n реализаций одной и той же СВ X , полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях. Поэтому можно говорить, что выборка порождена наблюдаемой СВ X , имеющей распределение.

Если компоненты вектора независимы, но их распределения различны, то такую выборку называют неоднородной .

Множество S всех реализаций выборки называется выборочным пространством .

Выборочное пространство может быть всем n -мерным евклидовым пространством или его частью, если СВ X непрерывна, а также может состоять из конечного или счетного числа точек из , если СВ X дискретна.

На практике при исследовании конкретного эксперимента распределения СВ редко бывают известны полностью. Часто априори (до опыта) можно лишь утверждать, что распределение случайного вектора принадлежит некоторому классу (семейству) .

Пара ( S , F ) называется статистической моделью описания серии опытов , порождающих выборку .

Если распределение из класса F определены с точностью до некоторого векторного параметра , то такая статистическая модель называется параметрической и обозначается .

В некоторых случаях выборочное пространство может не зависеть от неизвестного параметра распределения .

В зависимости от вида статистической модели в математической статистике формулируются соответствующие задачи по обработке информации, содержащейся в выборке.

СВ , где - произвольная функция, определенная на выборочном пространстве S и не зависящая от распределения , называется статистикой.

Кривая регрессии.

регрессия вероятность статистический опыт

Условное математическое ожидание СВ как функция параметра называется регрессией на . График функции называется кривой регрессии на .

Точечная оценка.

Точечной (выборочной) оценкой неизвестного параметра распределения называется произвольная статистика построенная на выборке и принимающая значения в множестве .

Оценка параметра называется несмещенной, если ее МО равно , т. е. для любого .

Оценка параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к , т. е. при для любого .

Оценка параметра называется сильно состоятельной, если она сходится почти наверное к , т. е. при для любого .

Очевидно, что если оценка сильно состоятельная, то она является также состоятельной.

Доверительный интервал.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями .

Пусть для параметра получена из опыта несмещенная оценка . Назначим некоторую достаточно большую вероятность (например, или 0,99) такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным, и найдем такое значение , для которого

Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене на , будет ; большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью

Вероятность принято называть доверительной вероятностью , а интервал - доверительным интервалом . Границы интервала : и называются доверительными границами .

Интервальные оценки.

Пусть имеется параметрическая статическая модель , и по выборке , соответствующей распределению наблюдаемой СВ , требуется определить неизвестный параметр . Вместо точечных оценок, рассмотренных ранее, рассмотрим другой тип оценок неизвестного параметра .

Интервал со случайными концами, «накрывающий» с вероятностью , , неизвестный параметр , т. е.

,

называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой ) уровня надежности параметра .

Число называется доверительной вероятностью или уровнем доверия .

Уровень значимости.

Уровнем значимости статистического критерия называется вероятность ошибки 1-го рода . Вероятность ошибки 1-го рода может быть вычислена, если известно распределение .

Ошибки 1 и 2-го рода.

Ошибкой 1-го рода называется событие, состоящее в том, что гипотеза отвергается, когда она верна.

Ошибкой 2-го рода называется событие, состоящее в том, что принимается гипотеза , когда верна гипотеза .

Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой H или просто гипотезой называется любое предположение относительно параметров или закона распределения СВ , проверяемое по выборке .

Проверяемая гипотеза называется основной (или нулевой ) и обозначается . Гипотеза, конкурирующая с , называется альтернативной и обозначается .

Статистическая гипотеза называется простой , если она однозначно определяет параметр или распределение СВ . В противном случае гипотеза называется сложной .

Статистическим критерием (критерием согласия, критерием значимости или решающим правилом) проверки гипотезы называется правило, в соответствии с которым по реализации статистики гипотеза принимается или отвергается.

Критической областью статистического критерия называется область реализаций статистики , при которых гипотеза отвергается.

Доверительной областью статистического критерия называется область значений статистики , при которых гипотеза принимается.

Практическая часть.

Этап 1 (Вычисление оценок , неизвестных коэффициентов регрессии , ):

;

;

- оценка полезного сигнала (кривая регрессии);

- ошибка;

Формулируем все ошибки:

.

Находим наименьшую ошибку. Для этого продифференцируем уравнение по a и по b , приравняем к 0, получив систему:

- система нормальных уравнений.

Решаем систему методом Крамера:

Расчетная схема для оценок по методу наименьших квадратов.

Номер	Y	X	y^2	X*Y	x^2	δ^2=(y-at-b)^2
1	13,393	-2	179,37245	-26,786	4	84,52154547
2	13,207	-1,92	174,42485	-25,3574	3,6864	77,33345969
3	13,477	-1,84	181,62953	-24,7977	3,3856	63,01706699
4	11,911	-1,76	141,87192	-20,9634	3,0976	79,54344995
5	14,311	-1,68	204,80472	-24,0425	2,8224	35,20165139
6	14,979	-1,6	224,37044	-23,9664	2,56	21,89755599
7	14,437	-1,52	208,42697	-21,9442	2,3104	21,49126227
8	14,957	-1,44	223,71185	-21,5381	2,0736	12,46267515
9	13,044	-1,36	170,14594	-17,7398	1,8496	23,59662672
10	112,142	-1,28	12575,828	-143,542	1,6384	8991,966406
11	12	-1,2	144	-14,4	1,44	22,3767305
12	11,496	-1,12	132,15802	-12,8755	1,2544	21,61124277
13	12,927	-1,04	167,10733	-13,4441	1,0816	6,928339322
14	11,849	-0,96	140,3988	-11,375	0,9216	9,762864991
15	11,612	-0,88	134,83854	-10,2186	0,7744	7,705858746
16	10,401	-0,8	108,1808	-8,3208	0,64	11,56902772
17	8,755	-0,72	76,650025	-6,3036	0,5184	19,90687251
18	8,185	-0,64	66,994225	-5,2384	0,4096	19,76777254
19	9,681	-0,56	93,721761	-5,42136	0,3136	5,590769531
20	9,644	-0,48	93,006736	-4,62912	0,2304	3,29736681
21	9,073	-0,4	82,319329	-3,6292	0,16	3,244500827
22	8,535	-0,32	72,846225	-2,7312	0,1024	3,075233208
23	9,062	-0,24	82,119844	-2,17488	0,0576	0,410905071
24	7,602	-0,16	57,790404	-1,21632	0,0256	2,296447057
25	9,164	-0,08	83,978896	-0,73312	0,0064	0,399692323
26	6,913	0	47,789569	0	0	1,067444888
27	9,749	0,08	95,043001	0,77992	0,0064	5,704661232
28	5,543	0,16	30,724849	0,88688	0,0256	1,517679181
29	5,901	0,24	34,821801	1,41624	0,0576	0,083131718
30	5,901	0,32	34,821801	1,88832	0,1024	0,088381223
31	6,76	0,4	45,6976	2,704	0,16	3,034234095
32	4,593	0,48	21,095649	2,20464	0,2304	0,025766932
33	6,131	0,56	37,589161	3,43336	0,3136	5,217278758
34	3,651	0,64	13,329801	2,33664	0,4096	0,151906494
35	3,796	0,72	14,409616	2,73312	0,5184	1,255222992
36	3,663	0,8	13,417569	2,9304	0,64	2,474275069
37	3,068	0,88	9,412624	2,69984	0,7744	2,444839854
38	3,008	0,96	9,048064	2,88768	0,9216	4,364814626
39	2,809	1,04	7,890481	2,92136	1,0816	6,129731157
40	0,333	1,12	0,110889	0,37296	1,2544	0,342745729
41	1,73	1,2	2,9929	2,076	1,44	6,59493426
42	-0,072	1,28	0,005184	-0,09216	1,6384	1,827027788
43	0,479	1,36	0,229441	0,65144	1,8496	6,191594234
44	-3,18	1,44	10,1124	-4,5792	2,0736	0,34233389
45	-2,962	1,52	8,773444	-4,50224	2,3104	0,047752061
46	-5,849	1,6	34,210801	-9,3584	2,56	4,338314281
47	-6,153	1,68	37,859409	-10,337	2,8224	3,244489064
48	-7,911	1,76	62,583921	-13,9234	3,0976	8,842481446
49	-10,134	1,84	102,69796	-18,6466	3,3856	21,26146404
50	-11,662	1,92	136,00224	-22,391	3,6864	30,84025156
Сумма	411,949	-2	16631,368	-504,296	66,72	9666,40808

Подставив найденные суммы в систему, получаем оценки :

=-7,320193878

=7,946172245

Этап 2 (Вычисление оценки неизвестной дисперсии шумов ):

, где

n – число измерений;

m – число неизвестных параметров.

Этап 3:

По таблице находим квантиль Стьюдента.

m/a	0.85	0.9	0.95	0.975
47	1.0480	1.2998	1.6779	2.0117
48	1.0478	1.2994	1.6772	2.0106
49	1.0475	1.2991	1.6766	2.0096
50	1.0473	1.2987	1.6759	2.0086

Фрагмент таблицы 1

При λ=0,975 , квантиль Стьюдента 2.0086

Уровень доверия

;;

;

0,95	69,0225	30,7545

ymin	ymax
25,9848632	19,188257
25,077453	18,924436
24,1700428	18,660615
23,2626327	18,396794
22,3552225	18,132973
21,4478123	17,869153
20,5404021	17,605332
19,632992	17,341511
18,7255818	17,07769
17,8181716	16,813869
16,9107614	16,550048
16,0033513	16,286227
15,0959411	16,022407
14,1885309	15,758586
13,2811208	15,494765
12,3737106	15,230944
11,4663004	14,967123
10,5588902	14,703302
9,65148007	14,439482
8,7440699	14,175661
7,83665973	13,91184
6,92924956	13,648019
6,02183939	13,384198
5,11442921	13,120377
4,20701904	12,856556
3,29960887	12,592736
2,3921987	12,328915
1,48478853	12,065094
0,57737835	11,801273
-0,3300318	11,537452
-1,237442	11,273631
-2,1448522	11,009811
-3,0522623	10,74599
-3,9596725	10,482169
-4,8670827	10,218348
-5,7744928	9,9545271
-6,681903	9,6907063
-7,5893132	9,4268854
-8,4967234	9,1630646
-9,4041335	8,8992437
-10,311544	8,6354229
-11,218954	8,371602
-12,126364	8,1077812
-13,033774	7,8439603
-13,941184	7,5801395
-14,848595	7,3163186
-15,756005	7,0524978
-16,663415	6,788677
-17,570825	6,5248561
-18,478235	6,2610353

Список литературы

1. Е.С. Кочетков “Метод наименьших квадратов”, Москва, МАИ, 1993.

2. А.И. Кибзун “Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами”, Москва, «Физматлит», 2002.

3. Е.С. Вентцель “ Теория вероятностей ”, Москва, «Высшая школа», 1999.