Referat.me

Название: Модели и методы принятия решений

Вид работы: курсовая работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 189.95 Kb

Скачать файл: referat.me-215991.docx

Краткое описание работы: Нахождение экстремумов функций методом множителей Лагранжа. Выражение расширенной целевой функции. Схема алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с методом безусловной минимизации. Построение линий ограничений.

Модели и методы принятия решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Курсовая работа

Модели и методы принятия решений

Выполнила: Токарева О.П.

Заочная форма обучения

Курс V

Специальность 210100

№ зачетной книжки 602654

Проверил: Цыганов Ю.К.

Москва

2008


Задание

на курсовую работу по дисциплине «Модели и методы принятия решений»

Вариант 4

Задача 1.

Решить графоаналитическим методом.

minj (X) = – 3x1 – 2x2

при 2x1 + x2 ³ 2

x1 + x2 £ 3

– x1 + x2 ³ 1

X³ 0

Задача 2.

· Найти экстремумы методом множителей Лагранжа.

· Решение проиллюстрировать графически.

extrj (X) = x12 + x22

при x12 + x22 – 9x2 + 4,25 = 0

Задача 3.

· Решить на основе условий Куна-Таккера.

· Решение проиллюстрироватьграфически.

extrj (X) = x1x2

при 6x1 + 4x2 ³ 12

2x1 + 3x2 £ 24

– 3x1 + 4x2 £ 12

Задача 4.

· Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.

· Решить задачу средствами MSExcel.

· Решениепроиллюстрировать графически.

maxj (X) = 2x1 + 4x2 – x12 – 2x22

при x1 + 2x2 £ 8

2x1 – x2 £ 12

X³ 0


Задача 1

Решить графоаналитическим методом.

minj (X) = – 3x1 – 2x2

при 2x1 + x2 ³ 2

x1 + x2 £ 3

– x1 + x2 ³ 1

X³ 0

Решение:

Построим линии ограничений:

Примем: 2х1+х2=2 (a)

х1+х2=3 (b)

-х1+х2=1 (c)

экстремум функция минимизация алгоритм

Получаем три прямые a, b и c, которые пересекаются и образуют треугольник соответствующий области которая соответствует первым трем ограничениям, добавляя четвертое ограничение получаем четырехугольник ABCD – допустимая область значений, в которой надо искать минимум (на рисунке эта область не заштрихована).


Рис. 1

Примем целевую функцию равной нулю (красная линия d) тогда градиент имеет координаты (-3;-2). Для того, чтобы найти минимум целевой функции будем перемещать график линии d параллельно самой себе в направлении антиградиента до входа ее в область ограничений. Точка в которой область войдет в допустимую область и будет искомой точкой минимума целевой функции. Это точка В(0,33 ; 1,33). При этом целевая функция будет иметь значение:

Темно-синяя линия на рисунке (е).


Задача 2.

· Найти экстремумы методом множителей Лагранжа.

· Решение проиллюстрировать графически.

extrj (X) = x12 + x22

при x12 + x22 – 9x2 + 4,25 = 0

Решение:

Составим функцию Лагранжа

h(X)=x12 + x22 - 9x2 + 4,25=0

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:

Решим данную систему уравнений:

Разложим на множители 1 уравнение системы:

Предположим, что , тогда . Подставим во второе уравнение:

2x2 - 2x2 + 9 = 0

9 = 0 не верно, следовательно принимаем, что

, а

Подставляем в третье уравнение:

Решая это квадратное уравнение получаем, что

Подставляем эти значения во второе уравнение:

1.Подставим первый корень , получаем


2. Подставим второй корень , получаем

( X*,λ*)

N

X1* X2* λ* φ(X*) Примечание
1 0 Min
2 0 Max

- кривая a (окружность)

- кривая b (окружность)

Задача 3

· Решить на основе условий Куна-Таккера.

· Решение проиллюстрироватьграфически.

extrj (X) = x1x2

при 6x1 + 4x2 ³ 12

2x1 + 3x2 £ 24

– 3x1 + 4x2 £ 12

Решение:

Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.

Составим функцию Лагранжа:

Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:


Решим данную систему уравнений:

1.Предположим, что, тогда из уравнения 5 получим:

Предположим, что ,,, тогда из уравнения 1 получим:

Пусть , тогда из уравнения 2 получаем:


Это решение не удовлетворяет условиям задачи: (Х≥0)

2.Предположим, что и , тогда из уравнения 1 получим:

Предположим, что , , , выразим из второго уравнения :

Подставим в 3 уравнение:

Получаем:, ,

В этой точке функция равна минимальному значению

3. Предположим, что , и , тогда из второго уравнения получим:

Предположим, что , и , тогда из второго уравнения следует:

Подставим в четвертое уравнение:

Получаем: , ,

В этой точке функция имеет максимальное значение:


X*

N

X1* X2* φ(X*) Примечание
1 1 1,5 1,5 Min
2 6 4 24 Max

Прямая а соответствует графику функции 6х1+4х2=12

Прямая b – графику функции 2х1+3х2=24

Прямая с – графику функции -3х1+4х2=12

Прямая d – графику функции

Прямая е – графику функции

Задача 4

· Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.

· Решить задачу средствами MSExcel.

· Решениепроиллюстрировать графически.

maxj (X) = 2x1 + 4x2 – x12 – 2x22

при x1 + 2x2 £ 8

2x1 – x2 £ 12

X³ 0

Решение:

1. Найдем выражение вектор функции системы:

Составим функцию Лагранжа:

Вектор функция системы:

2. Составим матрицу Якоби


=

Похожие работы

  • Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

    Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.

  • Методы спуска

    Решение задач безусловной минимизации методами спуска: метод градиентного и покоординатного спуска.

  • Постановка задачи линейного программирования и двойственная задача линейного программирования.

    Линейное программирование является составной частью раздела математики, который изучает методы нахождения условного экстремума функции многих переменных и называется математическим программированием. В классическом математическом анализе рассматривается задача отыскания условного экстремума функции.

  • Задачи по Математике 3

    Задача 1 Решить графическим методом задачу линейного программирования А) найти область допустимых значений многоугольник решений Б) найти оптимумы целевой функции

  • Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

    Составление диагональной системы способом прогонки, нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения на сетке методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта. Построение кубического сплайна интерполирующей функции равномерного разбиения.

  • Методы оптимизации функций многих переменных

    Методы условной и безусловной нелинейной оптимизации. Исследование функции на безусловный экстремум. Численные методы минимизации функции. Минимизация со смешанными ограничениями. Седловые точки функции Лагранжа. Использование пакетов MS Excel и Matlab.

  • Эквивалентность элементарных функций

    Доказательство эквивалентности пяти классов функций элементарных по Кальмару.

  • Математические методы методы

    Общая задача линейного программирования Общей задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального или минимального значения функции

  • Классические методы безусловной оптимизации

    ТЕМА Классические методы безусловной оптимизации Введение Как известно, классическая задача безусловной оптимизации имеет вид: Существуют аналитические и численные методы решения этих задач.

  • Записать задачу двойственную к данной, решить одну из пары задач и отыскать оптимальное решение второй

    Графическое решение задачи линейного программирования. Общая постановка и решение двойственной задачи (как вспомогательной) М-методом, правила ее формирования из условий прямой задачи. Прямая задача в стандартной форме. Построение симплекс таблицы.