Referat.me

Название: Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

Вид работы: сочинение

Рубрика: Математика

Размер файла: 29.84 Kb

Скачать файл: referat.me-217550.docx

Краткое описание работы: Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.

Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

С22 + В2 , /1/

где: С - гипотенуза;

А и В - катеты.

Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.

Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /1/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.

Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

А2 = С22 /2/

Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.

Уравнение /2/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными Bи С. Уравнение /2/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:

А2 = (C-B) (C+B) /3/

Используя метод замены переменных, обозначим:

C-B=M/4/

Из уравнения /4/ имеем:

C=B+M/5/

Из уравнений /3/, /4/ и /5/ имеем:

А2 =M∙ (B+M+B) =M∙ (2B+M) = 2BM+M2 /6/

Из уравнения /6/ имеем:

А2 - M2 =2BM/7/

Отсюда: B= /8/

Из уравнений /5/ и /8/ имеем:

C= /9/

Таким образом:

B = /10/

C/11/

Из уравнений /8/ и /9/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа A2 на число M, т.е. число M должно быть одним из множителей, входящих в состав множителей числа А или A2 .

Числа А и M должны иметь одинаковую четность.

По формулам /10/ и /11/ определяются числа B и C как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M.

Из изложенного следует:

Квадрат простого числа Aравен разности квадратов одной пары чисел B и C (при M=1).

Квадрат составного числа Aравен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B и C.

Все числа являются пифагоровыми.

Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.

Похожие работы

  • Теорема Пифагора

    Ученик 8 В класса Моусош № 6 Скворцов Сергей Пифагор "Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежество, от желудка - излишнего, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе - неумеренность."

  • Общее доказательство гипотезы Биля, великой теоремы Ферма и теоремы Пифагора

    Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.

  • Гипотеза Биля

    Доказательство гипотезы Биля методами элементарной алгебры: сочетание методов решения параметрических уравнений и замены переменных (теорема Ферма). Ее формулировка в виде неопределенного уравнения, которое не имеет решения в целых положительных числах.

  • Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени

    Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.

  • Доказательство великой теоремы Ферма

    Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.

  • Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

    Выведены формулы, возможно ранее неизвестные, для решений уравнения Пифагора, Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян.

  • Доказательство теоремы Ферма для n=4

    Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.

  • Теорема Ферма Бесконечный спуск для нечетных показателей n

    Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.

  • Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n

    Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.

  • Равносоставленность и задачи на разрезание

    Равносоставленность Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.