Название: Алгебра

Вид работы: книга

Рубрика: Математика

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Краткое описание работы: ˛˜¯—˘ ˝¨¯ 6 ª º ß 3 6.1 ˚ º ª º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ 6

Алгебра

˛˜¯—˘ ˝¨¯

6 ª º ß 3

6.1 ˚ º ª º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ 6

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝˛˜ Ł ˝˛˚ . . . . . . . . . . . . 9

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ . . 20

6.5 ˇ Ł Ł Œ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

6.6 ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł . . . . . . . . . . . . . 32

7 ˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß 36

8 ¸Ł Ø ß æ æ 37

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.2 ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.3 ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ . . . . . . . . . . . . . 43

8.4 ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı . . 47

8.5 ¸Ł Ø ß æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 ¸Ł Ø ß ß ºŁ Ø æ æ 58

9.1 ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı . . . . . . . 58

9.2 Ł ºŁ Ø ª Œ ºŁ Ø

æ æ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9.3 — ª Ł Œ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . 68

9.4 ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª . . . . . . . . . . . . . . 71

1

2 ˛˜¯—˘ ˝¨¯

9.5 Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª

Ł Ł ß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

ˆº 6

ª º ß

6.1 ˚ º ª º

ˇ æ k Œ ŁŒæŁ º .

˛ º Ł 6.1.1. ª º Ł æ ª x Œ º k ß æ º ß Ł Ł

,

ª x æŁ º Ł æ ª , α_i º ß º k , Ł æ ß

0, æ (∃ n ∈ N) (∀ i > n ) α_i = 0.

´ º Øł ª º ß Æ Æ f (x ), g (x ), h (x ), f ₁ (x ), f ₂ (x ),...ŁºŁ Œ f , g , h , f ₁ , f ₂ ,...

(6.1)

¯æºŁ ª º (6.1), ª º Æ ß º ß Ł Æ 0.

˛ º Ł 6.1.2. º ª ß α_{i x} ⁱ Æ ß º Ł ª -

º (6.1), º ß α_i Æ ß Œ Ł Ł Ł ª º

(6.1).

3

¯æºŁ ª º (6.1) ∀ i > n α_i = 0, Æ Łæ :

ŁºŁ f (x ) = α ₀ + α ₁ x + ··· + α_n xⁿ . (6.2)

i =0

˙ æ Ł ı ŁæŁ (6.1) Œ ŁæŁ (6.2) ß Łł α ₀ æ α ₀ x ⁰ . ˇ Ł α ₀ ß æ æ Æ ß º ª º f (x ).

˛ º Ł 6.1.3. º ª ª º f _{(x )} ß æ ŁÆ º łŁØ ºŁ ª º Œ Ł Ł ª ª º .

˛Æ Ł degf (x ) æ ª º f (x ).

¯æºŁ ŁæŁ (6.2) α_n 6= 0, æ ª º f (x ) n , æ degf (x ) = n . ´ æº , α_n xⁿ ß æ æ łŁ º

ª º , α_n ß æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º .

æ æ ı ª º Ł æ ª x º k Æ -

æ k _{[x ]} Ł ß æ Œ º ª º º k .

ˇ æ

.

˛ º Ł 6.1.4. ˜ ª º f (x ),g (x ) ∈ k [x ] ß æ ß Ł, æºŁ ß æ Łı Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x ,

æ (∀ 0 6 i < ∞) α_i = β_i .

´ æ k _{[x ]} ŁŁ: æº Ł Ł Ł -

ª º .

˛ º Ł 6.1.5. Ø ı ª º f Ł g ß æ -

ª º

.

ˇ Ł Ł ı ª º f Ł g ß æ ª º

, ª γ i = X α ν β µ .

νν,µ +µ >=0i

6.1. ˚ º ª º

˙ _Ł 6.1.1_. º º Ł , º ª , Æß

Ł ª º , æ Œ ßØ º ª ª º Ł Œ ßØ º ª ª º Ł Ł æ Ł Æß º ß.

˛ º Ł 6.1.5 Œ Œ æ ßæº , f _{+ g} Ł f _{· g} Øæ Łº Æ ª º Ł. Œ Œ Œ f Ł g ª º ß, (∃ _n ∈

∈ N) (∀ i > n ) α_i = 0, β_i = 0. ª (∀ i > n ) α_i + β_i = 0 ⇒ f + g

º æ ª º .

˜º f · g æ Ł γ_i , ∀ i > 2n . Œ Œ Œ i = ν + µ , Ł æº Ł

i > 2n ⇒ ν > n ŁºŁ µ > n ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = ^P α_ν β_µ = 0 º i > 2n . , f · g º æ ª º . — ææ Ł æ æ Ł æ ß Ł Ł Ł ı ª º .

ˇ æ f 6= 0 Ł g 6= 0 ª º ß Ł k [x ],

.

ˇ æ degf = n , æ α_n 6= 0, degg = m , æ β_m 6= 0. ˛Æ Ł

N = max(n,m ).

— ææ Ł

æ , . º -

º , deg(f + g ) 6 N . ˙ Ł , deg(f + g ) 6 max(degf, degg ). ˙ Œ

æ æ Łª æ , Ł , Ł n 6_{= m} .

— ææ Ł

ª γ i = X α ν β µ .

νν,µ +µ >=0i

¯æºŁ i > n + m , ν > n ŁºŁ µ > m ⇒ α_ν = 0 ŁºŁ β_µ = 0 ⇒ γ_i = 0.

ˇ º degf · g 6 n + m . ˙ Ł , degf · g 6 degf + degg .

æ Ł

.

Œ Œ Œ α_n 6= 0 Ł β_m 6= 0, α_n β_m 6= 0. ´ æº γ_{n +m} 6= 0 Ł

degf · g = degf + degg .

6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ

¯˛—¯ 6.2.1 ( º ŁŁ æ æ Œ ). ˇ æ _k º , _f Ł g ∈ k [x ], Ł g 6= 0. ª æ ø æ Ł æ ª -

º q,r ∈ k [x ] Œ ,

1) f = gq + r ;

2) r = 0 (ŁºŁ r 6= 0, degr < degg ).

˜ Œ º æ . I) ø æ Ł ª º q Ł r .

) ˇ æ f = 0 (ŁºŁ f 6= 0, degf < degg ). ´ æº Łæ f = 0 · g + f, (q = 0, r = f ). æº Ł 1) Ł 2) ß º ß.

Æ) f 6= 0 Ł degf > degg . ˇ æ

f = α_n xⁿ + ... + α ₀ , α_n 6= 0, g = β_m x^m + ... + β ₀ , β_m 6= 0.

degf = n, degg = m, n > m . ˇ æ Ł ª º

(1)

ª º f 1 æ Œ, Æß Ł Ł f . ¨ f 1 = 0 ŁºŁ f 1 6= 0 Ł degf 1 = n 1 < n .	æ	łŁØ º	ª	º
¯æºŁ n 1 < m , ææ æ Ł ª	º	Œ	Ł	. ¯æ-

ºŁ n ₁ > m , , Æ æ łŁØ Œ Ł Ł f ₁ , æ Ł

ª º

(2)

6.2. º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ ˛ ª º f ₂ æ Ł æ ŒŁ Æ , Æß Ł Ł æ -

łŁØ º ª º f ₁ . ¨ f ₂ = 0 ŁºŁ f ₂ 6= 0 Ł degf ₂ = n ₂ < n ₁ .

¯æºŁ n _{2 < m} , ææ æ Ł ª º Œ Ł . ¯æºŁ n ₂ > m , º Ł . .

˙ Ł , æ Ł ª º f , f ₁ , f ₂ , f ₃ ,... Æ æ ª

Æß ø æº º æ º ßı Łæ º, ª Œ Œ -

º Ł n > n ₁ > n ₂ > ... > n_s , ª n_s < m .

(s )

ª f_s = 0 ŁºŁ f_s 6= 0 Ł degf_s = n_s < m .

º Ł º æ æ (1), (2),..., (s ), º Ł

˛Æ Ł f_{s r} , æ Ł æŒ ÆŒŁ q . ˇ º Ł r _{= f s} −

− qg ⇒ f = qg + r , æ º ŁºŁ æ 1), ª r = 0 ∨ (r 6=

6= 0 ∧ degr < degg ) æº Ł 2).

II) ¯ Ł æ æ q Ł r .

˜ æ Ł , æ Ø ª º q Ł r , æ º ßı æ Ł I), æ ø æ ª ª º q Ł r , º ø

æº Ł 1) Ł 2), æ f = qg + r Ł r = 0 ∨ (r = 06 ∧ degr < degg ).

¨

qg + r = qg + r ⇒ (q − q )g = r − r. (∗) ˇ Œ , q − q = 0. ˜ æ Ł Ł , æ q − q 6= 0. ˇ æ α _{6= 0} æ łŁØ Œ Ł Ł ª ª º , ª æ łŁØ Œ -

Ł Ł ª º (q −q )g Æ αβ_m 6= 0. ¯æºŁ Æß αβ_m = 0, α = 0.

˙ Ł deg(q − q )g = deg(q − q ) + degg > degg .

ª Ø æ ß r − r = 0 ŁºŁ r − r 6= 0, deg(r − r ) < degg . ß

º ŁºŁ, æ (_∗) æº æ Ł ª º , æ Œ ª ł deg_g , æ æ Ł º Ø ª º ŁºŁ ª º , æ Œ ª ł deg_g . Ł æ Ł Ł . ˛ º Ł 6.2.1. ´ Æ Ł ı ß 6.2.1 ª º ß q Ł r ß æ æ æ º ß æ ß Ł æ Œ º Ł

ª º f ª º g .

¯˛—¯ 6.2.2 (` ). ˛æ Œ º Ł ª º _{f (x )} x − γ Ł ª º f (x ) Ł x = γ , æ f (γ ).

˜ Œ º æ . ˇ æ f (x ) = q (x )(x − γ ) + r (x ), r (x ) = 0 ∨ (r (x ) 6= 6= 0 ∧ degr (x ) < 1). ˇ º r (x ) = 0 ∨ degr (x ) = 0, º Æ æº

r (x ) = r ∈ k .

ˇ æ q (x ) = β ₀ +β ₁ x +... +β_s x^s , ª f (x ) = q (x )·x −q (x )γ +r =

= β ₀ x + β ₁ x ² + ... + β_s x^{s +1} − β ₀ γ − β ₁ xγ − ... − β_s x^s γ + r .

æ Ł f (γ ) = β ₀ γ +β ₁ γ ² +... +β_s γ^{s +1} −β ₀ γ −β ₁ γ ² −... +β_s γ^{s +1} +r =

= r . ŒŁ Æ , r = f (γ ).

ˇ æ º Ł æ º Ł ª º f (x ) (x − γ ) Œ ß Ø æı ˆ .

ˇ æ f (x ) = α ₀ xⁿ + α ₁ x^{n −1} + ... + α_n ,α ₀ 6= 0. — ºŁ f (x )

(x − γ ) æ æ Œ , º Ł f (x ) = q (x )(x − γ ) + r . ª º q (x )

Æ ŁæŒ Ł q (x ) = β ₀ x^{n −1} + β ₁ x^{n −2} + ... + β_{n −1} . ˝ ł Ø Ł Œ Ł Ł ß β ₀ ,β ₁ ,...,β_{n −1} Ł æ Œ r .

ˇ æ Ł æ ł Ł æ q _{(x )} Ł f _{(x )} Łı Ł . ¨ , . ˜

ª º	ß ª Ł º Œ ª	, Œ ª ß Łı Œ Ł Ł	ß
Ł æ	æ øŁı æ ı.	Ł Œ Ł Ł ß.
x n : α 0 = β 0	⇒ β 0 = α 0 ;
x n −1 : α 1 = β 1 − β 0γ	⇒ β 1 = β 0 γ + α 1 ;
x n −2 : α 2 = β 2 − β 1γ ...	⇒ β 2 = β 1 γ + α 2 ;
x 1 : α n −1 = β n −1 − β n −2γ	⇒ β n −1 = β n −2γ + α n −1;
x 0 : α n = r − β n −1γ	⇒ r = βn −1 γ + αn .

ŒŁ Æ Ł , Œ Ł Ł ß º ª æ ª Ł æ -

Œ ı æ æ ø Ł ßı ß Łæº ŁØ, Ł , Æß Ø-

Ł β_k = β_{k −1} γ +α_k . Ł ß Łæº Ł Æ Łæß Ł æº ø Ø æı ß ˆ .

α 0	α 1	α 2	...	α n −1	αn
γ	α 0	β 0 γ + α 1	β 1 γ + α 2	...	βn −2γ + αn −1	β n −1γ + α n
||	||	||	||	||
β 0	β 1	β 2	...	β n −1	r = f (γ )

ˇ Ł : f (x ) = x ⁵ − 2x ⁴ + 3x ³ − 4x ² + x − 1. ˝ Ø f (4).

1	−2	3	−4	1	−1
4	1	2	11	40	161	643

f (4) = 643, f (x ) = (x ⁴ + 2x ³ + 11x ² + 40x + 161)(x − 4) + 643.

6.3 ˜ ºŁ æ ª º . ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º Ł Ł ł Æø Œ

˛ º Ł 6.3.1. ˆ , ª º f _{(x )} ºŁ æ ª -

º g (x ) 6= 0 ŁºŁ, ª º g (x ) ºŁ ª º f (x ) ŁºŁ,

ª º g _{(x )} º æ ºŁ º ª º f _{(x )} ŁºŁ, ª º f _{(x )} Œ ª º g _{(x )} , æºŁ æ ø æ Œ Ø ª º q _{(x )} ,

f (x ) = q (x ) · g (x ).

˛ º Ł 6.3.2. ˆ , ª º f _{(x )} ºŁ æ ª º

g (x ) 6= 0, æºŁ æ Œ º Ł f (x ) g (x ) º .

, ª º g (x ) ºŁ f (x ) Æ æ Œ Œ g |f .

˛ º Ł 6.3.3. ˜ º ßı ª º f _{(x )} Ł g _{(x )} ß æ ææ ŁŁ ß Ł f _{∼ g} , æºŁ Ł ºŁ æ ª ª Ł º ß º Ø Œ æ , æ f = αg , α ∈ k ^∗ = k {0}.

Øæ ºŁ æ Ł

1. (∀ f 6= 0) f |f .

2. (∀ g 6= 0) g |0.

3. ˜ º ßı ª º ææ ŁŁ ß ª Ł º Œ ª ,

Œ ª Ł º	ª ª , æ f ∼ g ⇔ f |g Ł g |f .
4. ¯æºŁ h |g , g |f ,	h |f ( Ł Ł æ ).
5. ¯æºŁ h |g , h |f ,	(∀ u,v ∈ k [x ]) h |(ug + vf ).
6. ˜ ºŁ º Ł	º ßı Œ æ ª Æß º Œ	º	ß Œ	-

æ ß, æ æºŁ g |f Ł degf = 0, degg = 0.

7. ˝ º Œ æ ºŁ º Ø ª º , æ æºŁ

degg = 0, (∀ f ) g |f .

8. ¯æºŁ g |f Ł f 6= 0, degg 6 degf , Ł Œ æ æ Łª æ ª Ł º Œ ª , Œ ª g _{∼ f} .

9. ˛ ł Ł ºŁ æ Ł, æ ł Ł Œº ææ Ł ææ ŁŁ -

ßı ª º , æ æºŁ g |f , g ₁ ∼ g , f ₁ ∼ f , g ₁ |f ₁ .

˜ Œ º æ . 1) f (x ) = 1 · f (x ), æ f |f Ł q (x ) = 1.

2) 0 = 0 · g (x ), æ g |0 Ł q (x ) = 0.

3) ) ˝ Æı Ł æ .

ˇ æ f ∼ g , ª f = αg , ª α ∈ k ^∗ , æ g |f Ł q = α . Œ Œ Œ

α 6= 0, g = α ⁻¹ f , æ f |g Ł q = α ⁻¹ .

b) ˜ æ æ .

ˇ æ g |f Ł f |g . ¨ , f = qg , g = q ₁ f , æº º f = q (q ₁ f ), æ (1−qq ₁ )f = 0. Œ Œ Œ f 6= 0, 1−qq ₁ = 0, æ qq ₁ = 1. ˙ Ł degqq ₁ = 0 ⇒ degq + degq ₁ = 0 ⇒ degq = degq ₁ = 0, æº º q Ł q ₁ Œ æ ß. ¨ f = qg , ª q ∈ k ^∗ ⇒ f ∼ g .

4) ¨ g = qh, f = q ₁ g . ª f = q ₁ (qh ) = (q ₁ q )h ⇒ h |f .

5) ¨ g = qh , f = q ₁ h . ª ug = uqh , vf = vq ₁ h . — ææ Ł

ug + vf = (uq + vq ₁ )h ⇒ h |(ug + vf ).

6) ¨ degf = 0 Ł f = qg ⇒ degf = degq + degg = 0 ⇒ degq = = degg = 0, æ q Ł g Œ æ ß.

7) Œ Œ Œ degg = 0, g ∈ k ^∗ , æ ø æ g ⁻¹ ∈ k ^∗ . ª

f = (fg ⁻¹ )g ⇒ g |f .

8) ¨ f = qg ⇒ degf = degg + degq ⇒ degf > degg . ´Ł ,

Œ æ Æ ß º æ ª = 0 ⇒ q ∈ k ∗ ⇔ f ∼ g .	Ł º Œ ª	, Œ ª degq =
9) ¨ f = qg , g = αq 1 , f = βf 1 , ª	α,β ∈ k ∗ . ª	βf 1 = qαg 1 ⇒

⇒ f ₁ = (β ⁻¹ qα )g ₁ ⇒ g ₁ |f ₁ .

´ º Øł Æ ææ Ł Œ	æŁæ ª	º
{f 1 ,f 2 ,...,fs }, æ Ł Œ ßı Œ Ø Ø º .	Ł ª º	ºŁ
˛ º Ł 6.3.4. ª º d ß	æ	ÆøŁ ºŁ º	æŁæ -
ß ª º {f 1 ,f 2 ,...,fs }, æºŁ æŁæ ß, æ (∀ 1 6 i 6 s ) d |fi .	ºŁ	æ ª º ß	Ø
¯˛—¯ 6.3.1 ( æŁº ßı	æº	Ł ı, º	øŁı
˝˛˜). ˇ æ {f 1 ,f 2 ,...,fs } æŁæ	ª	º , æ Ł Œ	ßı
Œ Ø Ø Ł ª º ºŁ	º , Ł d Œ	ßØ
º Ø ª º (d 6= 0). — æŁº Ł :	ß æº	øŁ	-
1) æ Œ æ ºŁ º Ø ª º	d æ	æ æ Œ	æ
ÆøŁı ºŁ º Ø æŁæ ß ª º	{f 1 ,f 2 ,...,fs };
2) ª º d º æ ÆøŁ ºŁ	º æŁæ ß ª		º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß.

˜ Œ º æ . 1) ⇒ 2)

Œ Œ Œ æ Ł ºŁ º Ø ª º d ı Ł æ æ ª º d , æº Ł 1), d º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, ª

æº Ł 1) d ⁰ æ æ Ł Ł ºŁ º Ø ª º d , æ d

ºŁ æ d ⁰ .

2) ⇒ 1)

´ß º Ł æº Ł 1) æ Ł ł ª . ) ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ºŁ º ª º d . ¨ d ⁰ _|d , æº Ł

2) (∀ 1 6 i 6 s ) d |f_i ⇒ (∀ 1 6 i 6 s ) d ⁰ |f_i , æ d ⁰ º æ ÆøŁ

ºŁ º æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

Æ) ˛Æ . ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º æŁæ ß ª º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }. ª æº Ł 2) ª º d ºŁ æ d ⁰ , æ d ⁰ º æ ºŁ º ª º d .

˛ º Ł 6.3.5. ˝ ŁÆ º łŁ ÆøŁ ºŁ º (˝˛˜) æŁæ ß

ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, ß æ º Æ Ø º Ø ª º d , º øŁØ º Æ Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.3.1.

˛ º Ł 6.3.6. ˝˛˜ æŁæ ß ª º ß æ Œ Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß, Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø ÆøŁØ ºŁ º Ø æŁæ ß ª º .

º _{æ Ł} 6.3.1.1_. ¯æºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º æ ø æ ,

º æ æ ææ ŁŁ æ Ł.

˜ Œ º æ . ˇ æ d ₁ , d ₂ ˝˛˜ æŁæ ß ª º

f ₁ ,f ₂ ,...,f_s , Æ ææ Ł d ₁ Œ Œ ˝˛˜ æŁæ ß, d ₂ Œ Œ ˛˜ æŁæ ß f ₁ ,f ₂ ,...,f_s . ª º Ł 6.3.6 d ₂ |d ₁ . ˇ º Ł d ₁ Ł d ₂ , æ d ₁ Æ ææ Ł Œ Œ ˛˜, d ₂ Œ Œ ˝˛˜

æŁæ ß f ₁ ,f ₂ ,...,f_s . ˇ º Ł 6.3.6 d ₁ |d ₂ , ª 3 æ Øæ ºŁ æ Ł d ₁ ∼ d ₂ .

´ ŁŒ æ æ ßØ æ: æ ø æ ºŁ ˝˛˜ æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }? ˛ æ º Ł º ßØ. Æ Ł æ æ º º æŁæ ß Ł 2-ı ª º . ß Œ æ ø æ Ł ˝˛˜ 2-ı ª º Ł Œ ºª Ł ª ı Ł .

ºª Ł ß æ ºª Ł ¯ ŒºŁ Ł æ æº º ª º Ł . ˇ æ f Ł g º ßı ª º , degf > degg . — ºŁ f g æ æ Œ , º Ł

f = q ₁ g + r ₁ , ª r ₁ = 0 ŁºŁ (r ₁ = 06 Ł degr ₁ < degg ).

¯æºŁ r _{1 = 0} , ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r ₁ 6_{= 0} , ºŁ g r ₁ æ æ Œ , º Ł

g = q ₂ r ₁ + r ₂ , ª r ₂ = 0 ŁºŁ (r ₂ = 06 Ł degr ₂ < degr ₁ ).

¯æºŁ r _{2 = 0} , ææ º Ł Œ Ł æ . ¯æºŁ r ₂ 6_{= 0} , ºŁ r ₁ r ₂ æ æ Œ , º Ł

r ₁ = q ₃ r ₂ + r ₃ , ª r ₃ = 0 ŁºŁ (r ₃ = 06 Ł degr ₃ < degr ₂ ).

¨ Œ º . ´ ŁŒ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł æ Œ Æ æ ª Æß ø æº -

º æ º ßı Łæ º, Ł degg > degr ₁ > degr ₂ > deg_{r 3 > ...} , Œ Æß Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º -

Ł æ

r k −2 = q k r k −1 + r k ;

r k −1 = q k +1r k ,

ª r_k æº ŁØ ßØ º æ Œ ºª Ł ¯ ŒºŁ .

¯˛—¯ 6.3.2. ˝ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º 2-ı º ßı ª -

º f Ł g æ ø æ Ł æº º æ Œ

ºª Ł ¯ ŒºŁ , Ł Œ ª º f Ł g .

˜ Œ º æ . ˙ Łł æ , º øŁ ºª Ł ¯ ŒºŁ

Œ ª º f Ł g

f = q ₁ g + r ₁ ⇒ r ₁ = f − q ₁ g ; (1) g = q ₂ r ₁ + r ₂ ⇒ r ₂ = g − q ₂ r ₁ ; (2) r ₁ = q ₃ r ₂ + r ₃ ⇒ r ₃ = r ₁ − q ₃ r ₂ ; (3)

...

r k −2 = q k r k −1 + r k ⇒ r k = r k −2 − q k r k −1; (k )

r k −1 = q k +1r k . (k + 1) ¨ æº ª æ Ł , r_k |r_{k −1} .

¨ æ (k ) Ł , r_k |r_{k −2} .

¨ æ (k − 1) Ł , r_k |r_{k −3} .

... r k |r 2, r k |r 1

¨ æ (2) Ł , r_k |_g .

¨ æ (1) Ł , r_k |_f .

º º r_k º æ ÆøŁ ºŁ º æŁæ ß ª º

{_f,g }. ˇ æ d º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {_f,g }, ª

Ł æ (1) Ł , d |_{r 1} , Ł æ (2) Ł , d |_{r 2} ,

...

Ł æ (k ) Ł , d |r_k , æ r_k ÆøŁØ ºŁ º {_{f,g }} , Œ ßØ ºŁ æ º Æ Ø ª Ø

ÆøŁØ ºŁ º {_f,g }. ª º Ł 6.3.6 r_k ˝˛˜ {_f,g }.

ø æ Ł ˝˛˜ º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º æ -

ºŁ æ æº ø Ø Ø, Œ Œ ª ı -

Ł .

¯˛—¯ 6.3.3 ( Œ º ). ˝˛˜ Œ Ø æŁæ -

ß ª º æ ø æ Ł Ł æ ºŁ æ ł Ł

HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s } = HOD {HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} },f_s }.

˜ Œ º æ . ˇ Ł Ł Ł æŒ Ø Ł Œ ŁŁ s . ¯æ-

ºŁ s _{= 2} , Ł ß Ł . ˇ º Ł ,

º (_{s − 1)} ª º , æ ß º ª æ , æ ø æ ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} }. ˛Æ Ł d ¯ = HOD {d,f_s }. ¨ , d ¯|d, d ¯|f_s ,

Œ ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d |f_i , ª Ł Ł æ Ł ºŁ-

æ Ł (∀ 1 6 i 6 s − 1) d ¯|f_i , d ¯|f_s , æº º d ¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }. ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }, ª (∀ 1 6 i 6 s − 1) d ⁰ |f_i Ł d ⁰ |f_s æº -

º d ⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} }. ª º Ł 6.3.6 d ⁰ |d . ŒŁ Æ d ⁰ |d, d ⁰ |f_s æº º d ⁰ º æ ÆøŁ ºŁ º {_{d,f s} }. ª Ł º Ł 6.3.6 æº d ⁰ |_d ^¯ .

¨ Œ d ¯ º æ ÆøŁ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s } Ł d ¯ ºŁ æ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }. ª º Ł 6.3.6

d ^¯ = HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s }.

¯˛—¯ 6.3.4 (Œ Ł ŁØ ˝˛˜ æŁæ ß ª º ).

˜º ª Æß ª º d º ºæ ˝˛˜ æŁæ ß ª º

{f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } Æı Ł Ł æ , Æß ª º d Æߺ

˛˜ Ø æŁæ ß Ł Æß ºŁ Ø ß ºæ Ł ª º -

ß, æ (∃ u ₁ ,u ₂ ,...,u_s , ∈ k [x ]) d = u ₁ f ₁ + u ₂ f ₂ + ... + u_s f_s .

˜ Œ º æ . 1) ˜ æ æ .

ˇ æ d º æ ˛˜ {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } Ł ∃ u ₁ ,u ₂ ,...,u_s ∈ k [x ] d =

= u ₁ f ₁ +u ₂ f ₂ +... +u_s f_s . ˇ æ d ⁰ º Æ Ø ÆøŁØ ºŁ º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

, (∀ ₁ 6 i 6 s _{) d} ⁰ |_{f i} . ª 5 æ Øæ ºŁ-

æ Ł d ⁰ |(u ₁ f ₁ + u ₂ f ₂ + ... + u_s f_s ), æ d ⁰ |d . ˇ º Ł 6.3.6 d = HOD {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }.

2)˝ Æı Ł æ .

ˇ æ d º æ				˝˛˜ {f 1 ,f 2 ,...,fs }.	ª	d	º	æ ˛˜
{f 1 ,f 2 ,...,fs }. ˛æ				æ Œ , d ºŁ	Ø	ß	æ
f 1 ,f 2 ,...,fs . æ Ł				Œ	Ł	æŒ Ø Ł	Œ ŁŁ.
ˇ æ	s = 2. ˛Æ Ł			f 1 = f,f 2 = g . ˙ Łł	æ	,	º -
ø	ºª	Ł	¯ ŒºŁ	.
f = q 1 g + r 1 ;	(1)
g = q 2 r 1 + r 2 ; ...	(2)
r k −3 = q k −1r k −2 + r k −1;	(k − 1)
r k −2 = q k r k −1 + r k ;	(k )
r k −1 = q k +1r k .	(k + 1)
¨	æ	,	˝˛˜ d	ª º {f,g }	rk . ¨		æ	(k ) Ł -
,

d = r k −2 − q k r k −1 = r k −2 − q k (r k −3 − q k −1r k −2) =

= (1 + q_k q_{k −1} )r_{k −2} − q_k r_{k −3} = ... = ug + vf.

ˇ º Ł , Ł ß æ ºŁ º æŁæ ß, æ æ ø Ø Ł (_{s − 1)} ª º . ˜ Œ æ ºŁ æ º æŁæ , æ æ øŁı Ł s ª º . ˇ 6.3.3 ŁÆ º łŁØ ÆøŁØ ºŁ º d æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } æ æ ˝˛˜

2-ı ª º {d ₁ ,f_s }, ª d ₁ ˝˛˜ {f ₁ ,...f_{s −1} }. ˇ º Ł Ł Œ ŁŁ æ ø æ ª º ß v ₁ ,...,v_{s −1} ∈ k [x ] ŒŁ ,

d ₁ = v ₁ f ₁ + v ₂ f ₂ + ... + v_{s −1} f_{s −1} . Œ Œ Œ d º æ ˝˛˜ {d ₁ ,f_s }, æ ø æ ª º ß w ₁ ,w ₂ ∈ k [x ] ŒŁ , d = w ₁ d ₁ +w ₂ f_s . ¨

d = w 1v 1f 1 + ··· + w 1v s −1f s −1 + w 2f s = u 1f 1 + u 2f 2 + ... + u s f s . ˛ º Ł 6.3.7. ª º ß æ Ł ß , æºŁ ª æ łŁØ Œ Ł Ł 1.

æ , Œ Œº ææ ææ ŁŁ ßı ª º æ ø æ

Ł ßØ ª º . ´ æ æ Ł æ Ł ˝˛˜ æŁæ ß ª º -

, Œ ß º æ æ æ ææ ŁŁ æ Ł, æ ø æ Ł æ ßØ Ł ßØ ˝˛˜. Ł ßØ ˝˛˜

Æ Æ (f ₁ ,f ₂ ,...,f_s ).

˛ º Ł 6.3.8. Łæ ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } ß æ Ł æ Ø æ Œ æ Ł, æºŁ Ł ßØ ˝˛˜

(f ₁ ,f ₂ ,...,f_s ) = 1. ´ æº ı ª º ª , Ł Ł æ ß .

¯˛—¯ 6.3.5 (æ Øæ Ł æ ßı ª º ).

ºŁ ß æº øŁ Ł .

1. Łæ ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } Ł æ æ Œ æ Ł ª Ł º Œ ª , Œ ª Œ Łı ºŁ Ø Œ ÆŁ -

Ł Ł Ł , æ (∃ u ₁ ,...,u_s ∈ k [x ]) u ₁ f ₁ +... +u_s f_s = 1;

2. ¯æºŁ;

3. ¯æºŁ (f,h ) = 1 Ł (g,h ) = 1, (fg,h ) = 1;

4. ¯æºŁ h |fg Ł (h,g ) = 1 , h |f ;

5. ¯æºŁ h |f Ł g |f Ł (h,g ) = 1, hg |f .

˜ Œ º æ . 1) ˇ º Ł 6.3.4 d = 1. æ , d -

º æ ˛˜ æŁæ ß {f ₁ ,f ₂ ...,f_s }, ª 6.3.4 d = 1 Æ

˝˛˜ {f 1,f 2 ...,f s } ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ø æ ª º ß

u ₁ ,u ₂ ,...,u_s ∈ k [x ] ŒŁ , u ₁ f ₁ + ... + u_s f_s = 1.

2) Œ Œ Œ HOD{f ₁ ,f ₂ ...,f_s } = d , 6.3.4 æ ø æ

ª º ß u ₁ ,u ₂ ,...,u_s ∈ k [x ] ŒŁ , d = u ₁ f ₁ +... +u_s f_s . — ºŁ

Æ æ Ł æ , Ł æ Øæ 1 æº ,

.

3) Œ Œ Œ (f,g ) = 1, 6.3.4 ∃ u,v ∈ k [x ] 1 = uf +

+ vh . Œ Œ Œ (g,h ) = 1, (∃ u ₁ ,v ₁ ∈ k [x ]) 1 = u ₁ g + v ₁ h . ˇ º

Ł Ł æ ł Ł . 1 = (uu ₁ )fg + (vu ₁ g + uv ₁ f + vv ₁ h )h . ˇ

æ Øæ 1 Ł ºŁ Ø Œ ÆŁ Ł ª º fg Ł h

Ł Ł , æº º (fg,h ) = 1.

4) Œ Œ Œ (h,g ) = 1, ∃ u,v ∈ k [x ] uh + vg = 1. Ł Æ æ Ł ª æ f , º Ł uhf + vgf = f . Œ Œ Œ h |fg ,

fg = qh , ª uhf + vqh = f ⇒ (uf + vq )h = f ⇒ h |f .

5) Œ Œ Œ h |f , f = qh . ¨ g |qh Ł (g,h ) = 1, æ Øæ 4 º , g |q , æº º q = q ₁ g . ŒŁ Æ f = q ₁ gh ⇒

⇒ gh |f .

` ææ Ł æŁæ ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s },

Œ ßØ Ł Œ ßı º . ˜º ŒŁı æŁæ ª º Ł º -

Ł Ł Ł ł ª Æø ª Œ ª (˝˛˚) æı , º ªŁ Ø Ł Ł ˝˛˜.

˛ º Ł 6.3.9. ª º m ß æ ÆøŁ Œ ß æŁæ ß

ª º {f 1,f 2,...,f s }, Œ ßØ Ł Œ ßı ºŁ º , æºŁ ºŁ æ æ ª º ß Ø æŁæ ß, æ (∀ ₁ 6 i 6 s _{) f i} |_m .

¯˛—¯ 6.3.6. ˇ æ {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s } æŁæ º ßı ª -

º Ł m 6= 0 ( Œ ßØ º Ø ª º ). — æŁº ß æº øŁ Ł :

1) æ Œ æ Œ ßı ª º m æ æ æ Œ æ

˛˚ æŁæ ß ª º {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s };

2) ª º m º æ ˛˚ {f ₁ ,f ₂ ,...,f_s }, Œ ºŁ º Æ ª ˛˚ Ø æŁæ ß.

˛ º	Ł 6.3.10. ˝ Ł łŁ ÆøŁ Œ		ß (˝˛˚) æŁæ	ß
ª º	{f 1 ,f 2 ,...,fs } ß	æ º Æ Ø	º Ø ª º	m ,
º	øŁØ º Æ Ł	æŁº ßı æº	ŁØ ß 6.3.6.
˛ º	Ł 6.3.11. ˝˛˚ æŁæ	ß ª º	ß æ Œ	Æ-
ø Œ	Ø æŁæ ß, Œ	ºŁ º Æ	ª Æø Œ
Ø æŁæ	ß ª º .
º æ Ł	6.3.6.1. ¯æºŁ ˝˛˚ æŁæ	ß ª º	æ ø æ ,
º	æ æ ææ ŁŁ	æ Ł.

¯˛—¯ 6.3.7. ¯æºŁ æ ø æ ˝˛˚ 2-ı º Æßı º ßı -

ª º , æ ø æ ˝˛˚ Ł º Æ Ø Œ Ø æŁæ ß ª º -

, Ł Ł æ æº ø Ł Œ Ł º :

HOK{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} ,f_s } = HOK{HOK{f ₁ ,f ₂ ,...,f_{s −1} },f_s }.

6.3.7 æ Ł ı Ł ˝˛˚ æŁæ ß ª º Œ ı Ł ˝˛˚ 2-ı ª º .

¯˛—¯ 6.3.8. ¯æºŁ f Ł g º ßı ª º , Łı ˝˛˚

˜ Œ

º æ

. ˛Æ

Ł

ª

º

fg . ´Ł = m (f,g )

,

æ ø æ Ł .

Ł

æ m º æ ˛˚ ª º {f,g }. ˇ æ M	º Æ	˛˚ {f,g }.
, M = uf, M = vg ⇒ uf = vg . — ª æ (f,g ). ˇ º Ł	ºŁ	Æ æ Ł

.

ˇ æ Øæ 2 ß 6.3.5 Ł . ˇ 4 æ Øæ -

ß 6.3.5 Ł . ª u = _{( f,g} ^g ₎ q. M = uf = _{( f,g} ^fg ₎ q = mq . ´Ł , m |_M . ˇ º Ł 6.3.11 m º æ ˝˛˚ {_f,g }.

6.4 ˝ Ł Ł æ . ˚ Ł æŒ º Ł . ˚ æ

ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł, α ∈ _k ^∗ _{= k} {₀ }. ¨ æ ,

α |f Ł αf |f .

˛ º Ł 6.4.1. Ł Ł º ß Ł ºŁ º Ł ª º f º Ł-

º Ø æ Ł ß æ º ß Œ æ ß Ł ª º ß, ææ ŁŁ ß æ ª º f .

º _{æ Ł .} ˜ ºŁ º d ª º f º æ Ł Ł º ß ª Ł

º Œ ª , Œ ª 0 < degd < degf .

º _{æ Ł .} ª º f º Ł º Ø æ Ł Ł Ł Ł º ß

ºŁ ºŁ ª Ł º Œ ª , Œ ª ª æ Ł Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł ª º

f , æ (∃ u,v ∈ k [x ]) f = uv , ª degu, degv < degf .

˛ º Ł 6.4.2. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k , æºŁ Ł Ł º º Œ Ł Ł º ß ºŁ ºŁ. ´ Ł æº , ª º P ß æ

Ł Ł ß .

˛ º Ł 6.4.3. ª º P º Ł º Ø æ Ł ß æ Ł Ł ß º k , æºŁ ª º æ Ł Ł º Ł Ł Ł 2-ı ª º , æ Ł Œ ßı ł æ Ł

ª º P .

˙ _Ł 6.4.1_. ˇ Ł Ł Ł æ Ł æ ø æ ŁæŁ æ-

ª º k . Œ, Ł , ª º f = x ² −2 = (x +√2)( x −√2)

Ł Ł º Q. ˝ Ł Ł º R.

˙ _Ł 6.4.2_. ª º ß 1-Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

æº Ł ª , ª º ß 1-Ø æ Ł Ł º Œ Ł-

Ł º ß ºŁ ºŁ.

¯˛—¯ 6.4.1 (æ Øæ Ł Ł ßı ª º ). ºŁ ß æº øŁ Ł :

1. ¯æºŁ ª º P º æ Ł Ł ß , Ł º Æ Ø ææ ŁŁßØ æ Ł ª º Œ º æ Ł Ł ß .

2. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º , f º Æ Ø ª º , ºŁÆ

(P,f ) = 1, ºŁÆ P |f .

3. ¯æºŁ P Ł Ł ßØ ª º Ł P |fg , P |f ŁºŁ P |g .

4. ¯æºŁ P Ł Q Ł Ł ßı ª º , ºŁÆ (P,Q ) = 1, ºŁÆ P Ł Q ææ ŁŁ ß.

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ P Ł Ł ßØ ª º . — ææ Ł αP , ª α ∈ _k ^∗ . ˝ Œ , αP º æ Ł Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ αP æ Ł Ł º ßØ ºŁ º , æ

(∃ d ∈ k [x ]) d |αP , ª 0 < degd < degαP = degP . ¨ , d |αP Ł αP |P ⇒ d |P Ł 0 < degd < degP . Ł Ł Ł Ł æ Ł ª º P .

2) ˛Æ Ł (P,f ) = d . ¨ d |P . Œ Œ Œ P Ł Ł , d

º Æß Ł Ł º ß ºŁ º , æ ºŁÆ d _{= α ∈ k} ^∗ , ºŁÆ d ∼ P . ´ æº Ł (P,f ) = 1. ´ æº , Ł P |d

Ł d |f ⇒ P |f .

3) ˇ æ P |_fg . ¯æºŁ P |_f , æ Œ . ¯æºŁ P - f , æ Øæ 2 (P,f ) = 1. ¨ Œ, P |fg Ł (P,f ) = 1, ª æ Øæ 4 ß 6.3.5

P |g .

4) ˇ æ P Ł Q Ł Ł ßı ª º . ¯æºŁ (_{P,Q ) = 1} ,

æ Œ . ˇ æ (P,Q ) 6= 1, ª æ Øæ 2 P |Q . º Ł

P Ł Q , º Q |P ⇒ P ∼ Q .

¯˛—¯ 6.4.2 ( º ŁŁ Ł Ł ß Ł ºŁ).

¸ Æ Ø ª º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß

æ º Ł f = αP ₁ · P ₂ · ... · P_s , ª α ∈ k ^∗ , P_i Ł -

ß Ł Ł ß k ª º ß. æ º Ł Ł æ

æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł Æı Ł , Æß α º º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f .

˜ Œ º æ . 1) ø æ Ł .

— ææ Ł æ M æ ı Ł ßı ºŁ º Ø º Ł-

º Ø æ Ł ª º f . ´ æ M ßÆ ª º

P ₁ Ł ł Ø æ Ł. ˇ Œ , ª º P ₁ º æ Ł-

Ł ß . ˜ æ Ł Ł , æ ª º P ₁ º æ Ł Ł-

ß . º º P ₁ = du , ª 0 < degd < degP ₁ , Ł Ł

ßÆ ª º P ₁ . ¨

f = P ₁ f ₁ , ª 0 6 degf ₁ < degf. (1) ¯æºŁ deg_{f 1 = 0} , ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø Œ Ł æ . ¯æºŁ deg_{f 1 > 0} , æ ª º f ₁ Ł ææ Ł , Ł æ ª º f . ˇ º Ł , ª º f ₁ æ Ł ßØ Ł Ł ßØ Ł º P ₂ . ` Ł

f ₁ = P ₂ f ₂ , ª 0 6 degf ₂ < degf ₁ . (2)

¯æºŁ deg_{f 2 = 0} , ææ ß º Ł Ł Ł ßı Ł º Ø -

Œ Ł . ¯æºŁ deg_{f 2 > 0} , ææ º . ¨ Œ º . ´ Ł-

Œ æ: ł ææ Œ ŁºŁ Æ æŒ ? ˙ Ł , æ Ł ª º f ₁ ,f ₂ ,... Æ æ ª Æß ø æº º æ

º ßı Łæ º degf > degf ₁ > degf ₂ > ... , Œ Æß

Æ æŒ Ø. ´ Œ Œ º Ł

f_{s −1} = P_s f_s , ª degf_s = 0. (s )

, f s = α ∈ k ∗. ˇ Ł º æ æ

(1), (2),..., (s ), º Ł f = αP ₁ ·P ₂ ·... ·P_s . Œ Œ ŒP_i º æ Łß Ł ª º Ł, æ Ł æ Œ Ł Ł ß Ł æ ł Ø æ Ł x , º Ł , α º æ æ łŁ Œ Ł Ł -

ª º f .

2) ¯ Ł æ æ .

ˇ æ æ æ º Ł f = αP ₁ · P ₂ · ... · P_s Ł æ

ª æ º Ł f = βQ ₁ · Q ₂ · ... · Q_t , ª β ∈ k ^∗ , Q_j Ł ß Ł Ł ß k ª º ß. ª , Œ ßł , β º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f , æ β _{= α} .

f = αP ₁ · P ₂ · ... · P_s = βQ ₁ · Q ₂ · ... · Q_t . (∗)

— æ (∗) Œ ß , P ₁ |(Q ₁ · Q ₂ · ... · Q_t ). ˇ æ Øæ 3 ß 6.4.1 (∃ 1 6 j 6 t ) P ₁ |Q_j . ` æ Ł , P ₁ |Q ₁ . ª

æ Øæ 4 ß 6.4.1 P _{1 ∼ Q 1} . Œ Œ Œ Æ ª º Ł ß, P ₁ = Q ₁ . ª æ (∗) æ Œ ø P ₁ . ˇ º Ł

P ₂ · ... · P_s = Q ₂ · ... · Q_t . (∗∗)

ª º P ₂ ææ Œ , Œ Œ æ ª º P ₁ . — æ

(∗∗) Œ ß , P ₂ |(Q ₂ ·... ·Q_t ) ⇒ (∃ 2 6 j 6 t ) P ₂ |Q_j . ` æ Ł , P ₂ |Q ₂ . ª P ₂ ∼ Q ₂ ⇒ P ₂ = Q ₂ . ¨ Œ º . ¯æºŁ s = t ,

Œ Œ º Ł P_s = Q_s . ºŁ s _{6= t} ? ˇ º Ł , s < t , ª æ Œ ø æ

(∗) P ₁ · P ₂ · ... · P_s º Ł , 1 = Q_{s +1} · ... · Q_t ª Æß

Œ Œ Œ æº æ Ł ª º º Ø æ Ł, æ ª -

º º Ł º Ø æ Ł. º ªŁ Æß Ł s > t ŒŁ

Æ Q_j æ ß P_i , º Œ Łæ ß ª Œ .

¯˛—¯ 6.4.3 ( Œ Ł æŒ æ º ŁŁ). _{¸ Æ Ø ª -}

º f º Ł º Ø æ Ł º k Æß æ º

Ł , ª α ∈ k ^∗ , P_i ºŁ ß Ł ß , Ł Ł ß k ª º ß, k_i ∈ N. æ º Ł

Ł æ æ æ Œ æº Ł æ Ł º Ø Ł Ł α Æı Ł º æ æ łŁ Œ Ł Ł ª º f .

˜ Œ º æ . ˇ 6.4.2 Ł f = αP ₁ ·P ₂ ·... ·P_s . ˛Æœ Ł

æ º ŁŁ Ł Ł Ł Œ ßı Ł º Ø æ Ł,

º Ł

.

˛ º Ł 6.4.4. ˇ æ º Ł ª º f Ł ß æ Œ Ł æŒŁ æ º Ł ª º

f . ª º ß ß æ º ß Ł ºŁ º Ł

ª º f . ˝ º ß Łæº k ₁ ,k ₂ ,...,k_t ß æ Œ æ Ł Ł Ł ßı ª º P ₁ ,P ₂ ,...,P_t ª º f .

ˇ æ γ _{∈ k} . ß ŁºŁ, ª º ß 1-Ø æ Ł Ł -

Ł ß º Æß º k . ´ æ æ Ł x _{− γ} º æ Ł ß

Ł Ł ß k ª º , ª Ł Œ æ Ł

ª º x − γ ª º f .

˛ º Ł 6.4.5. ˚ æ º γ _{∈ k} ª º f ßæ Œ æ Ł Ł ª ª º x − _γ ª º f .

˛ º Ł 6.4.6. º γ _{∈ k} ß æ Œ ª º

f (x ), æºŁ f (γ ) = 0.

ˇ º Ł 6.4.1. ˜º ª , Æß º γ ∈ k Æߺ Œ -

ª º f (x ) Æı Ł Ł æ , Æß ª º f ºŁºæ x − γ , æ , Æß º γ Ł º º Ł º Œ æ

ª º f .

˜ Œ º æ . ´ æ º , ` f (x ) = Q (x )(x − γ ) +

+ f (γ ), ª (x − γ )|f (x ) ⇔ f (γ ) = 0, æ º Ł 6.4.6 γ º æ Œ f (x ).

º æ Ł . º γ ∈ _k º æ Œ ª º f _{(x )} ª Ł º Œ ª , Œ ª º γ Ł º Œ æ ª º

f (x ).

˛ º Ł 6.4.7. ˚ γ ª º f _{(x )} ß æ æ ß , æºŁ Ł Œ æ .

ˇ æ Œ Ł æŒ æ º Ł ª º f Ł Ł

, ª degP_i > 2.

´Ł ,

deg æ

k ₁ + k ₂ + ... + k_s 6 degf.

æ , (∀ 1 6 i 6 s ) f (γ_i ) = 0, æ γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_s º æ Œ -

Ł ª º f . ¯æºŁ Œ ßØ Œ γ_i æ Ł k_i , Łæº k ₁ + k ₂ + ... + k_s Łæº Œ Ø ª º f æ Łı Œ æ Ø.

ˇ º Ł 6.4.2. Łæº Œ Ø ª º f (x ) æ Łı Œ -

æ Ø æı Ł æ ª º f .

6.5	ˇ	Ł	Ł Œ	æ
ˇ æ	k	Œ	ŁŒæŁ	Łæº	º .

˛ º Ł 6.5.1. ˇ Ł Ø ª ºß æ

ª º Ł

.

¯˛—¯ 6.5.1 ( æ	ß Łº Ł	Ł Ł ).
¨ æ æº øŁ æ 1. α 0 = 0, ª α ∈ k ; 2. (αf )0 = αf 0 , ª α ∈ k ; 3. (f ± g )0 = f 0 ± g 0 ; 4. (fg )0 = f 0 g + fg 0 ; 5. (fn )0 = nfn −1 f 0 , n ∈ N.	Øæ :
˛ º Ł 6.5.2. ˇ º ª	f (0) = f, f (l +1) = (f (l ))0, ª	l > 0, l ∈ Z.
æ , æºŁ degf = n ,	(∀ l > n ) f (l ) = 0.
¸ 6.5.1. ¯æºŁ f ª Ł degf 0 = n − 1.	º º Ł º Ø æ	Ł n , f 0 6= 0

˜ Œ º æ . ¨ f = α_n xⁿ +... +α ₁ x +α ₀ , ª α_n 6= 0, n > 1. ˇ

º Ł 6.5.1 f ⁰ = nα_n x^{n −1} +... +α ₁ . łŁØ Œ Ł Ł -

ª º f ⁰ nα_n , ª n ∈ N, α_n 6= 0. ª nα_n 6= 0, æº º

f ⁰ 6= 0 Ł degf ⁰ = n − 1.

¯˛—¯ 6.5.2. ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł Ł

Ł Ł ßØ Ł º P Ł º Ł º Œ æ k

ª º f . ª Ł Ł ßØ Ł º P Ł Œ æ k − 1 Ł Ø f ⁰ .

6.5. ˇ Ł Ł Œ æ

˜ Œ º æ . ¨ f = P ^l g , ª P - g . æ Ł f ⁰ = lP ^{l −1} P ⁰ g +

+ P ^l g ⁰ = P ^{l −1} (lP ⁰ g + Pg ⁰ ). ´Ł , P ^{l −1} |f ⁰ , æ Œ æ P f ⁰ ł , l ₋₁ . ˇ Œ , P ^l - f ⁰ . ˜ æ Ł Ł , æ

P ^l |f ⁰ . ª P |(lP ⁰ g + Pg ⁰ ). ´Ł , P |Pg ⁰ , æº º P |(lP ⁰ g ). æ , (P,l ) = 1. ˇ º P ⁰ 6= 0 Ł degP ⁰ < degP ⇒ (P,P ⁰ ) = 1. ˇ æ Øæ 3 ß 6.4.1 Ł , P _|g , Ł Ł , . º º P ^l - f ⁰ Ł Œ æ P æ æ f ⁰ _l − ₁ . º _{æ Ł} 6.5.2.1_. º γ Ł Œ æ k ª º f ª Ł

º Œ ª , Œ ª f (γ ) = f ⁰ (γ ) = ... = f ^{(k −1)} (γ ) = 0, f ^{(k )} (γ ) 6= 0.

˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı Ł æ .

ˇ æ γ Ł Œ æ k ª º f . ˇ º Ł -

, (_x − _{γ )} Ł Œ æ k ª º f . ˇ 6.5.2

x − γ Ł Œ æ k − 1 f ⁰ , x − γ Ł Œ æ k − 2 f ⁰⁰ , ..., x −γ Ł Œ æ 1 f (k −1), x −γ Ł Œ æ 0 f (k ). ˇ Ł

º Ł 6.4.1 f (γ ) = f ⁰ (γ ) = ... = f ^{(k −1)} (γ ) = 0, f ^{(k )} (γ ) 6= 0.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ f (γ ) = f ⁰ (γ ) = ... = f ^{(k −1)} (γ ) = 0, f ^{(k )} (γ ) 6= 0. ˇ æ Œ -

æ γ ª º f _l .˝ Œ , l _{= k} . ˜ æ Ł

Ł . ˇ æ , Ł , l < k . ª Ø æ Ł Œ º -

æ Æ Ł f (γ ) = f ⁰ (γ ) = ... = f ^{(l −1)} (γ ) = 0, f ^{(l )} (γ ) 6= 0. ª

Æß , æº Ł f ^{(l )} (γ ) = 0 Œ Œ Œ l 6 k −1. -

º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł Ł º Ł , l > k .

º æ Ł 6.5.2.2. ˚ æ º γ ª º f Ł ł Œ Ł Ø ª º f , Ł ø ª γ æ Ł Œ .

¯˛—¯ 6.5.3 ( Æ º ŁŁ Œ ßı Ł º Ø). _{ˇ æ}

f ª º º Ł º Ø æ Ł º k . ª ª º Ł æ ß Ł Ł ß Ł ºŁ, Ł

ª º f , º Œ Ø Œ æ Ł.

˜ Œ º æ . ˇ æ Œ Ł æŒ º Ł

ª º f . ª 6.5.2

ª (∀ 1 6 i 6 t ) P_i - g.

æ Ł

.

6.6 ºª Æ Ł	æŒŁ Œ ß	º
ˇ æ k æ	º .
¯˛—¯ 6.6.1 (	æŁº ßı æº	Ł ı, º øŁı º-
ª Æ Ł æŒŁ Œ	º ). ˛ æŁ	º ŁŒæŁ	ª æ-
ª º k æ	ºŁ ß æº øŁ	æŁº ß	Ł .
1) º Æ Ø ª º	f º Ł º Ø æ	Ł æ Œ Ł Ł	Ł Ł
º k , Ł	º k , Œ Ø Ø	, Ł Œ ;
2) Ł Ł ß Ł æ Ł;	º k º æ	ª º ß º Œ	Ø
3) ª º º ºŁ;	k æ æ º	k ºŁ Ø ß	Ł-
4) º Æ Ø ª º	f º Ł º Ø æ	Ł æ Œ Ł Ł	Ł Ł
º k Ł	º k æ º Œ Œ Ø æ Łı Œ		æ Ø,

Œ Œ æ ª º f .

˜ Œ º æ . 1) ⇒ 2)

ˇ æ f º Æ Ø ª º , deg_f > 2. ª æº Ł 1)

ª º Ł º k Œ Ø Ł Œ γ . ª -

º Ł 6.4.1 f _{= (x} −_{γ )g} . º º f º æ Ł Ł ß k .

6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º

2) ⇒ 3)

ˇ æ f ª º º Ł º Ø æ Ł. ª 6.4.2 ª æ Ł Ł f = αP 1 · P 2 · ... · Ps , ª α ∈ k ∗ , Pi Ł ß Ł Ł ß k ª º ß. ¨ æº Ł 2) æº , Pi = x − γi ⇒ f = α (x − γ 1 )(x − γ 2 )... (x − γn ). ŒŁ Æ
ª º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ. 3) ⇒ 4)
¨ f = α (x − γ 1 )(x − γ 2 )... (x − γs ). ˛Æœ Ł Œ ßı Ł º Ø æ Ł.	Ł Ł Ł Ł
f = (x − γ 1 )k 1 (x − γ 2 )k 2 ... (x − γt )k t ,	ki ∈ N.
´Ł , γ 1 ,...,γt Œ Ł ª º f æ Œ	æ Ł k 1 ,...,kt Ł
degf = k 1 +... +kt . ŒŁ Æ Łæº Œ Ø Łı Œ æ Ø æ Ł ª º f . 4) ⇒ 1)	ª º f æ
ˇ æ ª º f Ł deg > 0 . ª æº	Ł 4) k 1 +k 2 +... +
+ kt = degf > 1 ⇒ (∃ 1 6 i 6 t ) ki > 1. ˙ Ł ,	ª º f Ł

Œ Ø Ø Œ γ_i .

˛ º Ł 6.6.1. ˇ º k ß æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , æºŁ º º Æ Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1.

˙ _Ł 6.6.1_. ˇ º Q Ł R º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß Ł, Œ Œ Œ ß º æ 1) æº Ł ß 6.6.1. ˇ Ł æº -

Ł ª º f _{= x} ² _{+ 1} . ˛ Ł Ł ª Œ Ł º Q,

Ł º R.

˛ º Ł 6.6.2. ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º k ß æ Ł ł ºª Æ Ł æŒŁ Œ æłŁ Ł º k .

˛ º Ł 6.6.3. ˇ º k ß æ ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º k , æºŁ ß º ß æº øŁ 3 æº Ł :

2. k º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º ;
3. æºŁ k ⊂ k 0 ⊂ k Ł k 0 ºª Æ Ł æŒŁ Œ º ,	k 0 = k .
¯˛—¯ 6.6.2 ( æ ºª Æ ß). ˇ º Œ Łæ º C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º .	º Œæ ßı
º æ Ł 6.6.2.1. ºª Æ Ł æŒŁ ߌ Ł º Øæ Łæ º R º æ º Œ º Œæ ßı Łæ º, æ R = C.	Ł º ßı
˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ R ºª Æ Ł æŒ	ߌ Ł

;

º R. ª R ⊂ R. ˜ º , ª º x ² ₊₁ Ł Œ R, æ i ∈ R. ß º æ ª Ł º Œ ª , Œ ª (∀ x,y ∈ R) x + +yi ∈ R, æ C ⊂ R. ¨ R ⊂ C ⊂ R. ˇ 6.6.2 C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º Ł 6.6.3 Ł C = R.

ˇ æ γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_n º ß º k .

˛ º Ł 6.6.4. º ß Ł æŁ Ł æŒŁ Ł ª º Ł º γ 1,...,γ n ß æ æ ß Ł :

σ ₁ = γ ₁ + γ ₂ + ... + γ_n ;

σ ₂ = γ ₁ γ ₂ + γ ₁ γ ₃ + ... + γ ₁ γ_n + γ ₂ γ ₃ + ... + γ ₂ γ_n + ... + γ_{n −1} γ_n ;

...

;

σ_n = γ ₁ ...γ_n .

ˇ º Ł 6.6.1. ¯æºŁ γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_n ∈ k ,

f (x ) = (x +γ ₁ )(x +γ ₂ )... (x +γ_n ) = xⁿ +σ ₁ x^{n −1} +... +σ_k x^{n −k} +... +σ_n ,

ª σ ₁ ,σ ₂ ,...,σ_n º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_n .

6.6. ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß º

˜ Œ º æ . Æß æ Ł Œ , æ -

Ł æŒ ÆŒŁ æ øŁ æº Ł Ł æ Ł Æ ß æº ª ß .

º æ Ł . ¯æºŁ γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_n ∈ k , f (x ) = (x − γ ₁ )(x − γ ₂ )... (x −

− γ n ) = x n − σ 1x n −1 + σ 2x n −2 − ... + (−1)k σ k x n −k + ... + (−1)n σ n ,

ª σ ₁ ,σ ₂ ,...,σ_n º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß

γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_n .

˜ Œ	º æ	. ´ æ	º , æ º	ŁŁ 6.6.1	æ
γi	æ	Ł	−γi . ª	σk Ł æ (−1)k σk Ł	æ ß æº	æ Ł

Æ æ º .

¯˛—¯ 6.6.3 (	´Ł	). ˇ æ	f (x ) = xn + α 1 xn −1 +
+ α 2 xn −2 + ... + αn Ł	ª	º Ł	ºª Æ Ł æŒ ß-

Œ ŁŁ k Œ Ł γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_n . ª σ_k = (−1)^k α_k , ª σ ₁ ,σ ₂ ,...,σ_n

º ß æŁ Ł æŒŁ ª º ß Œ Ø γ ₁ ,γ ₁ ,...,γ_n .

˜ Œ º æ . ˝ º k ª º

f (x ) = (x − γ ₁ )(x − γ ₂ )... (x − γ_n ),

ª γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_n Œ Ł f (x ) k . ˇ æº æ Ł Ł º Ł 6.6.1

Ł :

f (x ) = xⁿ − σ ₁ x^{n −1} + σ ₂ x^{n −2} − ... + (−1)^k σ_k x^{n −k} + ... + (−1)ⁿ σ_n .

ª Ø æ ß, æº Ł f (x ) = xⁿ +α ₁ x^{n −1} +... +α_n . ŒŁ Æ -

Ł ß Ł ª Ł ª ª º Æß øŁ æ x . ª , Œ Ł Ł ß Ł Ł Œ ßı æ ı x º ß æ . ¨ −σ ₁ = α ₁ , σ ₂ = α ₂ ,..., (−1)^k σ_k = α_k ,..., (−1)ⁿ σ_n =

= α_n . ¨ (∀ 1 6 k 6 n ) (−1)^k σ_k = α_k . Ł (−1)^k , º Ł

σ_k = (−1)^k α_k .

32

æ ßØ æº Ø ß 6.6.3:

n=2, f (x ) = x ² + px + q . ˇ æ x ₁ , x ₂ Œ Ł f (x ), ª

( σ ₁ = x ₁ + x ₂ = −p ; σ ₂ = x ₁ · x ₂ = q.

n=3, f (x ) = x ³ + px ² + qx + r . ˇ æ x ₁ , x ₂ x ₃ Œ Ł f (x ), ª



^ _ σ 1 = x 1 + x 2 + x 3 = −p ; σ ₂ = x ₁ x ₂ + x ₁ x ₃ + x ₂ x ₃ = q ; .

 σ 3 = x 1x 2x 3 = −r

6.7 ª º ß Łæº ß Ł º Ł

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k ₌ C. ˇ æ Ø ºª Æ ß, º

C º æ ºª Æ Ł æŒŁ Œ ß , ª º ß º

C ƺ º Æß Ł æŁº ßı æº ŁØ ß 6.6.1. ´ æ æ Ł, Ł Ł ß Ł º C º æ ª º ß º Œ Ø æ Ł. ˜ º , º Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º C Ł , Œ Ø , Ł Œ . ˝ Œ , Œ Ł æŒ º Ł º Æ ª ª º f º Ł º Ø æ Ł º C Ł Ł :

f (x ) = α (x − γ ₁ )^{k 1} (x − γ ₂ )^{k 2} ... (x − γ_t )^{k t} ,

ª γ ₁ ,γ ₂ ,...,γ_t ∈ C.

— ææ Ł æº Ø, Œ ª k = R. ˇ æ γ = α +β_i , ª α,β ∈ R, β 6=

6_{= 0} . ´ æº ª , γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

ˇ º Ł 6.7.1. ¯æºŁ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº ,

ª º (x −γ )(x −γ ) º æ Œ ß ı º æ Øæ Łº ß Ł Œ Ł Ł Ł Ł Ł º ß ŁæŒ Ł Ł .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (x − γ )(x − γ ¯) = x ² − (γ + ¯γ )x + γγ ¯ =

= x ² −2αx +α ² +β ² ∈ R[x ], ª D = (−2α )² −4(α ² +β ² ) = −4β ² < 0,

Œ Œ Œ γ æ ø æ Œ º Œæ Łæº .

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

¯˛—¯ 6.7.1. ¯æºŁ æ ø æ Œ º Œæ Łæº γ º æ

Œ ª º f æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł, Œ -

º Œæ æ Łæº γ ¯ Œ º æ Œ ª ª º Ł Ł Ø Œ æ Ł, Ł Œ γ .

˜ Œ º æ . ˇ æ f (x ) = α_n xⁿ + ... + α ₁ x + α ₀ , ª α_i ∈ R Ł γ æ ø æ Œ º Œæ ßØ Œ f (x ), æ f (γ ) = 0.

α_n γⁿ + ... + α ₁ γ + α ₀ = 0.

ˇ Ø Œ Œ º Œæ æ ß Łæº , º Ł

α_n γⁿ + ... + α ₁ γ + α ₀ = 0.

´ æ º æ æ Øæ Ł Œ º Œæ æ ßı Łæ º, Ł

α ¯_n · γ ¯ⁿ + ... + ¯α ₁ · γ ¯ + ¯α ₀ = ¯0.

Œ Œ Œ α_i Ł 0 ∈ R, α ¯_i = α_i , ¯0 = 0. ˇ º

α_n (¯γ )ⁿ + ... + α ₁ γ ¯ + α ₀ = 0.

æ Œ ß , f (¯γ ) = 0 æ γ ¯ º æ Œ

ª º f _{(x )} . ˇ Œ , Œ æ Œ γ _¯ æ æ Œ æ Œ γ . ˇ æ Œ æ γ _k , Œ æ γ _{¯ l} . ˝ Æı Ł Œ , k _{= l} . ˜ æ Ł Ł , æ k 6_{= l} . ˇ æ ,

Ł , k > l , ª f = (x − γ )^k (x − γ ¯)^l g (x ), ª g (γ ) 6= 0,g (¯γ ) = 06.

ª f (x ) = [(x − γ )(x − γ ¯)]^l (x − γ )^{k −l} g (x ) = [(x − γ )(x − γ ¯)]^l g ₁ (x ),

æ. ˇ º Ł (x − γ )(x − γ ¯) ∈ R[x ],

.

´Ł , g ₁ (x ) = (x − γ )^{k −l} g (x ) Ł γ æ Ł Œ º Ł º Ø

Œ æ Ł, k − l > 0, Ł æ Ł Œ γ ¯. Ł Ł

Ł Œ ß Ø Ø. º ªŁ Ł Ł Œ Ł Ł º Ł , l > k .

34

º _{æ Ł} 6.7.1.1_. ø æ Œ º Œæ ß Œ Ł ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł Ł Œ º Œæ æ ß.

¯˛—¯ 6.7.2 ( Ł Ł ßı ª º ı R). _{˝ -}

º Øæ Ł º ßı Łæ º R Ł Ł ß Ł º æ ª º ß

Ø æ Ł Ł Ł º Œ Œ ß ı º ß, ŁæŒ Ł ŁŒ ßı Ł º ßØ.

˜ Œ º æ . ˇ æ f (x ) ∈ R[x ] Ł degf (x ) > 3. ª º

Ł ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ R = C Ł Œ Ø Ł

Œ α . ¯æºŁ α ∈ R , f (x ) = (x − α )g (x ), ª g (x ) ∈ R[x ] æ

ª º f Ł Ł R. ¯æºŁ α æ ø æ Œ º Œæ Łæº , α _¯ Œ Æ Œ ª º f . ˇ º Ł

f (x ) = (x − α )(x − α ¯)g (x ) = (x ² − 2Reα · x + |α |² )g (x ).

´ æº

.

´Ł , f _{(x )} æ Ł Ł R. ŒŁ Æ , º Æ Ø ª º f , æ Œ ª deg_f > 3, º æ Ł Ł ß R.

ˇ æ f = ax ² +bx +c,a 6= 0. ¨ æ , Œ ßØ ı º æ æ ºŁ Ø ß Ł ºŁ f = a (x −x ₁ )(x −x ₂ ) R ª Ł

º Œ ª , Œ ª ª ŁæŒ Ł Ł D > 0. ´ æº , ª º

f Ł Ł R. º º , Æ Ł Ł R ª Ł º Œ ª , Œ ª D = b ² − 4ac < 0. ª º ß Ø æ Ł º æ Ł Ł ß Ł º Æß º .

º _{æ Ł} 6.7.2.1_. ¸ Æ Ø ª º º Ł º Ø æ Ł º Øæ Ł º ßı Łæ º Ł Œ Ł æŒ æ º Ł Ł :

f = α (x − γ ₁ )^{k 1} ... (x − γ_t )^{k t} (x ² + β ₁ x + δ ₁ )^{l 1} ... (x ² + β_r x + δ_r )^{l r} ,

ª α,β_i ,δ_i ,γ_j ∈ R, β_i ² − 4δ_i < 0, k_j ,l_i ∈ N Ł i = 1,r, j = 1,t .

6.7. ª º ß Łæº ß Ł º Ł

º _{æ Ł} 6.7.2.2_. ¸ Æ Ø ª º æ Øæ Ł º ß Ł Œ Ł Ł -

Ł Ø æ Ł Ł , Œ Ø , Ł Øæ Ł º ßØ Œ .

˜ Œ º æ . ´ æ º , æº æ Ł 6.7.2.1 degf = k ₁ + ... + +k_t +2l ₁ +... +2l_r . ˇ æº Ł æ f Łæº , æº º k ₁ + ... + k_t Łæº , Ł (∃ 1 6 i 6 t ) k_i > 1, æ γ_i

º æ Øæ Ł º ß Œ ª º f .

ˆº 7

˛æ ß ºª Æ Ł æŒŁ æ Œ ß

36

ˆº 8

¸Ł Ø ß æ æ

8.1 ˇ Ł ºŁ Ø ª æ æ

˛ º Ł 8.1.1. ˇ æ k Ł V Ł º ßı æ . ˆ -

, æ V º ł ºª Æ Ł æŒ Ł æ æ º Ł ºŁŒ k , æºŁ Æ Ł Œ ª Ł Ł k × _V → _V . ˇ Ł Æ ŁŁ, Æ -

ßØ ß (α,a ), ª α ∈ k, a ∈ V ß æ Ł Ł α a Ł Æ æ αa .

˙ _Ł 8.1.1_. ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ, Ł ß æ V , ß æ Ł Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł Ł Ł. ´ Œ æ æ k ø æ ª Æ ßæ º , Œ Æ ßæ ß . º ß º k Æ Æ α,β,γ,α ₁ ,α ₂ ,...

˛ º Ł 8.1.2. ¸Ł Ø ß ( Œ ß ) æ æ º

k ß æ æ V , ææ æ æ º Ø

Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł æŒ º ß º k , º ß Ł æº øŁ æ Ł ŒæŁ .

1. a + b = b + a ;

2. a + (b + c ) = (a + b ) + c ;

37

3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ x ∈ V ) b + x = a ;

4. α (a + b ) = αa + αb ;

5. (α + β )a = αa + βa ;

6. (αβ )a = α (βa ) = β (αa );

7. 1 · a = a ,

ª a,b,c,x ∈ V ; α,β, 1 ∈ k .

˙ _Ł 8.1.2_. æ V æ ß Æ Łæ ß æ

ºŁ Ø ª æ æ . ¯ª º ß Æ Æ a,b,c,a ₁ ,a ₂ ,...

Ł ß Œ Ł.

Øæ ºŁ Ø ßı æ æ

1. (∀ a ∈ V ) (∃ 0 ∈ V ) a + 0 = a ;

2. (∀ a ∈ V ) (∃ (−a ) ∈ V ) a + (−a ) = 0;

3. (∀ a,b ∈ V ) (∃ (a − b ) ∈ V ) a − b = a + (−b );

4. αa = 0 ⇔ α = 0 ŁºŁ a = 0;

5. α (−a ) = (−α )a = −αa ;

6. α (a − b ) = αa − αb ;

7. (α − β )a = αa − βa .

˜ Œ º æ . ŒæŁ ß 1 3 ºŁ Ø ª æ æ Œ ß , (_{V, +)} Æ Ł Ł ª , æ ºŁ ß æ Øæ 1) 3).

4) ˝ Æı Ł æ .

¨ αa = (α + 0)a = αa + 0a ⇒ 0a = αa − αa = 0. ˇ º ,

0a = 0.

8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ

¨ αa = α (a + 0) = αa + α 0 ⇒ α 0 = αa − αa = 0. ˇ º ,

α 0 = 0.

˜ æ æ .

ˇ æ αa _{= 0} . ¯æºŁ α _{= 0} , æ Œ . ¯æºŁ α 6_{= 0} Æ æ ø -

æ α ⁻¹ ∈ k . ª a = 1 · a = (α ⁻¹ α )a = α ⁻¹ (αa ) = α ⁻¹ · 0 = 0.

5) — æ Ł αa + α (−a ) = α (a + (−a )) = α · 0 = 0 ⇒ α (−a ) = −αa .

˜ º , αa + (−α )a = (α + (−α ))a = 0 · a = 0 ⇒ (−α )a = −αa .

6) ¨ , α (a − b ) = α (a + (−b )) = αa + α (−b ) = αa − αb .

7) ˇ æ Ł (α − β )a = (α + (−β ))a = αa + (−β )a = αa − βa .

ˇ Ł ß ºŁ Ø ßı æ æ :
1. V = {0} º ºŁ Ø	æ	æ ( Ł Ł º	).
2. V = kn = {(α 1 ,...,αn )|αi ∈ k } æ º k .	Œ	Ł ºŁ Ø	æ -
3. V = M (m ×n,k ) Ł ß	æ Ł m ×n æ º	Ł Ł k .
4. V = L æ ł ŁØ ŁØ.	Ø æŁæ ß ºŁ	Ø ßı -
5. V = k [x ] æ ª º Ł Ł Ł Ł k . 6. V = {f (x ) ∈ k [x ]|deg f 6 n }.	ª Ł æ	ª æ Œ -
8.2 ˚ ß Ł Æ æŒ		ß	ºŁ Ø ß
æ æ . ` Łæ ºŁ		Ø ª æ	æ
¸ ªŒ Ł , æ ß Ł		Ł Œ ß, º	ß Œ -
Ł ºŁ Ø æ æ		æ æ Ææ Œ	ß ºŁ Ø ß

æ æ . æ , Ł Ł Ł Œ ß Łæ º ºŁ

º Œ æ Øæ ŁØ Œ Ł, Łæ º ºŁ Ł

æ Łı Œ . Œ Œ Ł Ł º Ł 8.1.2, ŁŁ Ææ Œ ºŁ Ø æ æ ƺ Ł æ ß Ł æ Øæ Ł, Ł

ŁŁ Œ Ł ºŁ Ø æ æ . ˇ , Ææ Œ ßı ºŁ Ø ßı æ æ ı ª Ł ºŁ Ø Ø Œ ÆŁ ŁŁ Œ , ºŁ Ø ŁæŁ ßı Ł ºŁ Ø ŁæŁ ßı æŁæ ı Œ , Œ Ł ŁŁ Ł æ Øæ ı ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł, Æ æ Ø

ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł, ºŁ Ø ß ŁŁ Ø æŁæ ß Œ -

ª , Æ Œ Ł º ßı æŁæ ı Œ , Æ Łæ Ł ª æŁæ ß Œ . ˝ æ Ł ºŁ Ł .

ˇ Ł : V _{= k [x ]} . — ææ Ł æº ø æŁæ Œ :

1,x,x ² ,...,xⁿ ∈ V . æŁæ Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁØ. ˜ Øæ Ł º ,

α ₀ · 1 + α ₁ x + α ₂ x ² + ... + α_n xⁿ = 0 ⇔ α ₀ = α ₁ = α ₂ = ... = α_n = 0,

Ł , 1,x,x 2,...,x n º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ -

Ø Œ . ł æ , n Æ º Æß Ł Œ Œ ª Æ º łŁ . ˇ æ æ V æ ø æ ºŁ Ø ŁæŁ ß æŁæ ß Œ æ Œ ŒŁ ª Æ º łŁ Łæº Łı Œ .

˛ º Ł 8.2.1. ¸Ł Ø æ æ V ß æ Œ ß , æºŁ æ ø æ º Łæº N Œ , Łæº ºŁ Ø

ŁæŁ ßı Œ º Æ Ø æŁæ æ æ V æı Ł N . ´ Ł æº , ºŁ Ø æ æ V ß æ Æ æŒ ß .

ˇ Ł :

1. V _{= k} ⁿ Œ ºŁ Ø æ æ .

2. V _{= k [x ]} Æ æŒ ºŁ Ø æ æ .

8.2. ` Łæ ºŁ Ø ª æ æ

´ Œ ßı ºŁ Ø ßı æ æ ı ª Ł Æ Łæ

Œ Œ Œ Ø, Œ Ł Æ æŒ Ø æŁæ ß Œ . ´ æ æ Ł,

ª Ł Æ Łæ æ ª Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V .

˛ º Ł 8.2.2. ` Łæ	º ª Œ	ª	æ æ
V ß æ ºŁ	Ø ŁæŁ	æŁæ	Œ
B = {e 1 ,e 2 ,...,en }, º æº ŁØ:	º Æ Ł æº	øŁı	æŁº	ßı
1. º Æ Ø Œ a ∈ V ºŁ Ø	ß æ	æŁæ	B ;
2. ∀ a ∈ V æŁæ (B,a )	º æ ºŁ Ø	ŁæŁ Ø;
3. æ æ V æ ø æ	ºŁ Ø	ŁæŁ ßı	æŁæ	æ
Łæº Œ Æ º łŁ ,	B .

˛ º Ł 8.2.3. — æ º ª ºŁ Ø ª æ æ æ Ł æ Łæº 0. — æ º ª Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Łæº Œ º Æ Æ Łæ ª -

æ æ ŁºŁ ŒæŁ º Łæº ºŁ Ø ŁæŁ ßı Œ ª æ æ V .

— æ Œ ª ºŁ Ø ª æ æ V Æ Æ dim V ŁºŁ rang V .

ˇ Ł :

1. dim {0} = 0;

2. dim kⁿ = n ;

3. dim M (m × n,k ) = mn ;

4. dim L = n − r ;

5. dim {f (x ) ∈ k [x ]|deg f (x ) 6 n } = n + 1.

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ Ł e ₁ ,e ₂ ,...,e_n ª Æ Łæ. ª º Æ Ø Œ a _{∈ V} ß Ł Æ Łæ

a = α ₁ e ₁ + α ₂ e ₂ + ... + α_n e_n . (8.1)

Œ Œ Œ Æ Łæ º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ Ø Œ , ß Ł (8.1) º Œ a Ł æ . ŒŁ Æ , Œ -

Œ a _{∈ V} æ Ł æ æ æ Ł æŁæ

(α ₁ ,α ₂ ,...,α_n ) æŁ º Æ Łæ e ₁ ,e ₂ ,...,e_n .

˛ º Ł 8.2.4. ˚ Ł Ł (Œ Ł) Œ a _{∈ V} æŁ º ª Æ Łæ e ₁ ,e ₂ ,...,e_n ºŁ Ø ª æ æ V ß æ æ Œ æ Œ Ł Ł ºŁ Ø ª ß Ł Œ a Æ Łæ.

ˇŁł , Œ a = (α ₁ ,α ₂ ,...,α_n ).

˛	º Ł 8.2.5. ˚ Ł		ß	æ ºÆ Œ a æŁ º
ª	Æ Łæ e 1 ,e 2 ,...,en	ß	æ æ ºÆ , æ æ º ßØ Ł Œ -
Ł	Œ a æŁ º	ª	Æ Łæ .
˛Æ	  α 1    α 2  Ł a ˇ =  .  ...     αn
˛	º	Ł 8.2.6. æ	º Ł	Œ a ∈ V ª Œ Ł -
ª æ	ºÆ	æŁ º	ª Æ	Łæ æ æ V ß æ
æ	ß Æ Ł ºŁ	Ø ª	æ æ V æ Ł n
Œ	Ł	ºŁ Ø æ	æ	k n .
æ	,	Œ ßØ Æ Łæ e 1 ,e 2 ,...,en º æ æ

Æ Ł V → kⁿ .

8.3. ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ

ˇ º Ł 8.2.1. ˚ Ł ßØ æ ºÆ æ ß ı Œ æ Œ Ł ßı æ ºÆ æº ª ßı Œ . ˚ Ł ßØ æ ºÆ Ł Ł Œ æŒ º , Œ Ł æ ºÆ-

ª Œ , æŒ º .

º Ł 8.2.1 , a +ˇ b = a ˇ +ˇb Ł αa ˇ = αa ˇ.

˜ Ł ª ŁæŁ (8.1). æ , a ˇ^> = (α ₁ ,α ₂ ,...,α_n )

Ł æ Ł 1_×n . — ææ Ł Æ Łæ ßØ æ ºÆ æ æ

Ł æ Ł n ×1. ª a ˇ^> e ˜ = α ₁ e ₁ +α ₂ e ₂ +

. ŒŁ Æ , a = a ˇ^> e ˜ Ł Łæ æ

8.3 ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ

ˇ æ V Ł V ⁰ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k .

˛ º Ł 8.3.1. ¨ Ł ºŁ Ø ª æ æ V ºŁ-

Ø æ æ V ⁰ Ł Ł æ ß º k ß æ æ Œ ÆŁ Œ Ł f _{: V → V} ⁰ , º ø æº Ł ºŁ Ø æ Ł:

1. (∀ a,b ∈ V ) f (a + b ) = f (a ) + f (b );

2. (∀ α ∈ k, a ∈ V ) f (αa ) = αf (a ).

æº Ł 1 , Æ Ł f º æ Ł Ł -

Ł Ł Ø ª ß (_{V, +)} Ł Ł ª .

˛ º Ł 8.3.2. ¸Ł Ø æ æ V ß æ Ł ß ºŁ Ø æ æ V ⁰ (V ^∼ _{= V} ⁰ ), æºŁ æ ø æ ı Æß

Ł Ł Ł f : V → V ⁰ .

ˇ º Ł 8.3.1. ˛ ł Ł Ł Ł º æ ł Ł

Œ Ł º æ Ł Œº ææ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k .

º Ł 8.3.1 , º ł Ł Ł æ Ł

æ ºŁ ß æº	øŁ	Ł
1. V ∼ = V , æ	ß º æ	æ Øæ	º ŒæŁ	æ Ł;
2. æºŁ V ∼= V 0,	V 0 ∼= V (æŁ	Ł	æ	);

3. æºŁ V 00 ∼= V 0 Ł V 0 ∼= V , V 00 ∼= V ( Ł Ł æ ).

¯˛—¯ 8.3.1 ( æ Øæ ı Ł ßı ºŁ Ø ßı æ æ ). ºŁ ß æº øŁ Ł :

1. Ł Ł Ł ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ ß Œ ı

ºŁ Ø ŁæŁ ß , ºŁ Ø ŁæŁ ß æŁæ ß Œ

ı	ºŁ Ø	ŁæŁ ß ;
2. Ł	ß	ºŁ Ø ß	æ æ	ºŁÆ	Œ	-
ß , ºŁÆ	Æ æŒ	ß ;

3. Ł Ł Ł Æ Łæ æŁæ ß Œ ı Ł Æ Łæ, ª æŁæ ß Œ Ł Ł Ł Ł æ .

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ f : V → V ⁰ º æ Ł Ł . ´ -

ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ a ₁ ,a ₂ ,...,a_s Ł V . , æ ø æ æŒ º ß α ₁ ,α ₂ ,...,α_s æ ß º ŒŁ , α ₁ a ₁ + α ₂ a ₂ + ... + α_s a_s = 0. ˇ Ø Œ Æ Łı Œ -

f (α ₁ a ₁ + α ₂ a ₂ + ... + α_s a_s ) = f (0). Œ Œ Œ f Ł Ł ,

α ₁ f (a ₁ ) + α ₂ f (a ₂ ) + ... + α_s f (a_s ) = 0, æ æ α_i = 0. ˇ æº æ ł Ł Œ ß , Œ ß f (a ₁ ),f (a ₂ ),...,f (a_s ) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł V ⁰ .

8.3. ¨ Ł ºŁ Ø ßı æ æ ˇ æ a ₁ ,a ₂ ,...,a_s ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ Ł V . ˝

Œ , f (a ₁ ),f (a ₂ ),...,f (a_s ) Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁ-

Ø. ˜ æ Ł Ł , æ æŁæ f (a ₁ ),f (a ₂ ),...,f (a_s ) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø. ª ææ Ł Æ Ł f ⁻¹ _{: V} ⁰ → _V ,

Œ Œ º æ Ł Ł . ˇ Ł Æ ŁŁ ºŁ Ø-

ŁæŁ ß Œ ß f (a ₁ ),f (a ₂ ),...,f (a_s ) Ø ºŁ Ø ŁæŁß Œ ß a ₁ ,a ₂ ,...,a_s , Ł Ł ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł

a ₁ ,a ₂ ,...,a_s .

2) ˇ æ f _{: V} → _V ⁰ Ł V º æ Œ ß ºŁ Ø ß æ æ . , æ ø æ º Łæº N Œ ,

Łæº	Œ º Æ Ø ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ ß Ł	æ -
æ V	æı Ł ª Łæº N . Œ Œ Œ Ł Ł Ł	º Œ
ºŁ Ø	ŁæŁ æŁæ Œ ı Ł ºŁ Ø	Ł-
æŁ ,	æ æ V 0 Łæº Œ º Æ Ø ºŁ Ø	Ł-
æŁ Ø æŁæ	Œ Æ ª Ł Ł Łæº N , æº	º
æ æ	V 0 Æ Œ ß .
ˇ æ V	º æ Æ æŒ ß ºŁ Ø ß æ æ	. ˝

Œ , Ł V ⁰ æº Œ Æ Æ æŒ ß . ˜ æ Ł Ł , æ V ⁰ º æ Œ ß ºŁ Ø ß -

æ æ . ª ææ Ł Ł Ł f ⁻¹ _{: V} ⁰ → _V . ˇ Ł

Ł Ł Ł Œ æ Ł V ⁰ Æ æº Œ æ

V , Ł Ł æº Ł .

3) ˇ æ A æŁæ Œ Ł V , B Æ Łæ æŁæ ß Œ A Ł

f : V → V ⁰ Ł Ł . ª , Œ Œ Œ B ⊂ A , f (B ) ⊂ f (A ). ˜ º ,

A ºŁ Ø ß æ B , ª f _{(A )} Æ ºŁ Ø ß æ f _{(B )} . ˝ Œ , Œ Œ Œ B ºŁ Ø ŁæŁ æŁæ Œ -

, f _{(B )} Œ º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø. ŒŁ Æ , f _{(B )} º æ Æ Łæ f _{(A )} , æ Æ Łæ B æŁæ ß Œ A ı Ł

Æ Łæ f _{(B )} æŁæ ß Œ f _{(A )} . Œ Œ Œ f º æ ÆŁ Œ Ł Ø, Łæº Œ B Łæº Œ f (B ), æ r (A ) = r (f (A )).

º _{æ Ł} 8.3.1.1_. ¨ ß Œ ß ºŁ Ø ß æ æ

Ł Ł Œ æ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , f : V → V ⁰ Ł Ł Ł V Ł V ⁰ º æ Œ ß Ł ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł. ª Æ Łæ

e ₁ ,e ₂ ,...,e_n æ æ V ı Ł Æ Łæ f (e ₁ ),f (e ₂ ),...,f (e_n ) æ æ V ⁰ , æ dim V = n = dim V ⁰ .

¯˛—¯ 8.3.2. ¸ Æ Œ ºŁ Ø		æ æ V
æ Ł n Ł	Œ Ł ºŁ Ø	æ æ kn
Ł Ł Ł Ł	æ Łª æ æ ø	æ	ª Æ-
Ł f : V → kn	æŁ º º Æ ª Æ Łæ	æ	æ V .
˜ Œ º æ . ˇ æ	  e 1    e 2  dim V = n Ł e ˜ =    ...     en	Æ	Łæ V . — ææ -
Ł æ Æ	Ł f : V → kn . ¨ æ	,	æºŁ a = a ˇ> e ˜,
f (a ) = a ˇ. ˇ Œ ,	Æ Ł f º	æ	Ł Ł .
´ - ßı, f º æ a ˇ = ˇb ⇒ a = b .	Ł œ Œ Ł Ø. ˜ Øæ Ł º	, æºŁ f (a ) = f (b ),
´ - ßı, f º æ æ œ Œ Ł Ø. ´ æ		º , º Æ Ø

æ ºÆ a ˇ ∈ kⁿ Ł æ Ł Œ a = a ˇ^> e ˜. ª f (a ) = a ˇ.

˛æ æ Œ , Æ Ł f æ ı ŁŁ. — ææ -

Ł f (a + b ) = a +ˇ b = a ˇ + ˇb = f (a ) + f (b ). f (αa ) = αa ˇ = αa ˇ = αf (a ).

ŒŁ Æ f _{: V} → _k ⁿ º æ Ł Ł , æº º

V ^∼ = kⁿ .

º _{æ Ł} 8.3.2.1_. ˚ ß ºŁ Ø ß æ æ Ł Œ Ø æ Ł Ł ß.

8.4. ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ æ dim V = n Ł dim V ⁰ = n . ª 8.3.2 V ^∼ ₌ kⁿ Ł V ^{0 ∼} ₌ kⁿ , æº º -

V ^∼ = V ⁰ .

º æ Ł 8.3.2.2. — ª æŁæ ß Œ Œ	ª ºŁ Ø	ª
æ æ V ª æŁæ ß Œ Ł	ßı æ	ºÆ Œ
Ø æŁæ ß æŁ º º Æ ª Æ Łæ æ	æ	V .
˜ Œ º æ . ˇ æ a 1 ,a 2 ,...,as æŁæ	Œ	Ł V . — ææ	-
Ł f : V → k n æ ßØ Ł Ł	, ª	æŁæ Œ	-
a 1 ,a 2 ,...,as ı Ł a ˇ1 ,a ˇ2 ,...,a ˇs . ˝	Ł 3	-

ß 8.3.1 r (a 1,a 2,...,a s ) = r (a ˇ1,a ˇ2,...,a ˇs ).

8.4 ˇ ı ª Æ Łæ Œ ª . Ł ı

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k , dim V = n Ł æ

    e ₁ u ₁

   

 e ₂   u 2  e =   Ł u e =  ...  e  ... 

    e_n u_n

Æ Łæ æ æ V . ´ß Ł Œ ß Æ Łæ u _e Œ ß

Łæ e e:

u 1 = α 11e 1 + α 21e 2 + ... + α n 1e n ;
u 2 = α 12e 1 + α 22e 2 + ... + α n 2e n ; ... u n = α 1n e 1 + α 2n e 2 + ... + α nn e n .	(8.2)

˛ º Ł 8.4.1. Ł Ø ı Æ Łæ e _e Œ Æ Łæ u _e ß æ Ł , æ Ł Œ Ł , æ æ º Ø Ł Œ Ł-

Ł ºŁ Ø ª ß Ł ŒŁæ u e Œ ß Æ Łæ

e . e
˛	º Ł 8.4.1 , Ł ı  >   α 11 α 21 ... α n 1 α 11 α 12 ... α 1n      α 12 α 22 ... α n 2   α 21 α 22 ... α 2n  Q =   =  .   ... ... ... ...     ... ... ... ...       α 1n α 2n ... α nn α n 1 α n 2 ... α nn
ˇ ß	æ ºÆ Ł ß º æ Œ Ł ßØ æ ºÆ Œ	u 1 .
´ ß	Œ Ł ßØ æ ºÆ Œ u 2 , Ł . .
˛	º Ł 8.4.2. Ł Ø ı Æ Łæ e e Œ Æ Łæ	u ß- e
æ	Ł Q , æ ºÆ Ł Œ Ø º æ Œ Ł ß æ ºÆ ß
Œ	Æ Łæ u e æŁ º Æ Łæ e e , æ

.

˛ º Ł 8.4.3. Ł

Ø

ı

Æ Łæ e e Œ Æ Łæ u e ß -

æ Ł Q , º æŁæ ß (8.2).

æ

u = Q > e e e

Ł Łæ

¯˛—¯ 8.4.1 ( Ł

Ł

ı

).

ºŁ ß æº øŁ

1. Ł ı

ª

Æ Łæ

Œ ª

º æ æ -

Æ Ø. ˛Æ , º Æ

æ Æ

Ł

ææ -

Ł Œ Œ Ł ª Æ Łæ .

ı

ª Æ

Łæ Œ Œ

2. Ł ß ı Æ

Łæ

e Œ Æ e

Łæ u Ł e

Æ Łæ u Œ Æ Łæ e e e

º æ Ł Æ

ß Ł.

˜ Œ º æ . 1) ˇ æ Q º Æ

æ Æ

Ł Ł e e -

ßØ Æ Łæ æ æ V . ˇ æ Ł

Œ ß u 1 ,u 2 ,...,un ŒŁ

8.4. ˇ ı ª Æ

Łæ Œ ª

. Ł

ı

Æ , Æß Łı Œ

Ł ß æ

ºÆ ß

æŁ

º

Æ

Łæ

e æ e

-

ºŁ æ æ ºÆ Ł

Ł ß Q .

ΠΠΠ|Q | 6= 0,

æ ºÆ ß

Ł ß Q

º

æ

ºŁ

Ø

Ł-

æŁ ß Ł, Ł Œ ß u 1,u 2,...,u n Æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł.

´ æŁº ª , Œ ß u ₁ ,u ₂ ,...,u_n Œ æ Æ Łæ u _e æ æ V .

ˇ æ Ł Æ Ł u _e = Q ^> e _e , æ Ł Q º æ Ł Ø ı ª Æ Łæ e _e Œ æ Æ Łæ

u _e .

2) ˇ æ Ł Æ Łæ æ æ V . ˇ æ Q Ł ı e _e Œ u _e , R Ł ı . ª º Ł 8.4.3 Æ

Ł u _e = Q ^> e _e , e _e = R ^> u _e . ˛ æ , e _e = R ^> (Q ^> e _e ) = (R ^> Q ^> )e _e = (QR )^> e _e .

æ Œ	ß	,	Ł	QR º æ	Ł Ø
ı e e Œ e e . ˝	Ø	Ł Ø	º	æ	Ł E , æº	º
QR = E . æ	ł Ł	Œ	ß	,	Q Ł R	æ Æ	ß

Ł Æ ß Ł ß, æ Q _{= R} ⁻¹ .

¯˛—¯ 8.4.2. ˚	Ł	ßØ æ	ºÆ	Œ	æŁ º	-
ª Æ Łæ Œ Ł	æ	ºÆ	ª	Œ	æŁ	º
æ ª Æ Łæ , Łæ Œ æ , æ	æº	Ł	ı	ª Æ -

,

ª R	Ł	ı	Æ	Łæ u Œ Æ Łæ e	e . e
˜ Œ	º æ	. ˇ æ e e	æ	ßØ Æ Łæ, u e	ßØ Æ	Łæ, R -
Ł	ı	u Œ e e , e	æ	e = R > u . e e	Ø æ	ß, Œ

. ª Ø æ ß, Œ

(a ˇ> |e e· R > )u e = (R · a ˇ|e e)> u e .
Œ Œ Œ ß Ł Œ	a	Æ	Łæ u e	º æ	Ł æ	ß ,

a ˇ^> |u _e = (R ·a ˇ|_e e)^> . æ Ł Ł Ł ß, º Ł a ˇ|_u e = R ·a ˇ|_e e.

8.5 ¸Ł Ø ß æ æ

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k .

˛ º Ł 8.5.1. ˇ æ L Æ Łæ ª æ V ß æ æ Ø Ł ß æ , æºŁ æ Ø Ł æŁ º -

ª æº Ł Ł ł ª Ł , æ

1. (∀ a,b ∈ L ) a + b ∈ L ;

2. (∀ α ∈ k, a ∈ L ) αa ∈ L .

º æ Ł . æ Ø Ł æ L , ææ æ æ Ł Ł ß Ł Ł Ł, Æ ºŁ Ø æ æ .

˜ Œ º æ . L ⊂ V Ł L æ Ø Ł æ , ª L ææ Ł Ł ß ŁŁ ª æº Ł Ł

ł ª Ł . ˇ Œ , (∀ a,b ∈ L ) a − b ∈ L . ˜ Øæ Ł-

º , −b = −(1 · b ) = (−1)b ∈ L , ª a − b = a + (−b ) ∈ L . ŒŁ

Æ , (L, +) Æ Ł Ł ª ª ß (V, +). ˇ ß Ł ŒæŁ ß ºŁ Ø ª æ æ ß º æ L , æ º -

ß ß ŒæŁ ß, æ øŁ æ Œ ł Ł , ß º æ æ æ V , Æ ß º æ Ł æ Ø Ł æ L . Ł æ º , L º æ ºŁ Ø ß æ æ .

˛ º Ł 8.5.2. ¸Ł Ø ß æ æ æ æ V ß æ æ Œ ª æ Ø Ł æ L , ææ æ

æ Ł Ł ß Ł Ł Ł.

ˇ º Ł 8.5.1. ˇ æ Ł æ Øæ ºŁ Ø ßı -

æ æ ºŁ Ø ª æ æ V æ º æ æ æ æ æ V .

˜ Œ	º æ	. ´ æ	º , æ	{Li }	æ	Øæ	ºŁ	Ø ßı	-
æ	æ	æ æ	V . — ææ	Ł	æ

.

˝	Œ , L æ	Ø Ł	æ	æ	æ	V .
ˇ æ	a,b ∈ L ⇒ (∀ i )	a,b ∈ Li .	Œ Œ Œ Li	ºŁ Ø	-

æ æ , . º º , L

æ	Ø Ł	æŁ º	ª æº Ł .
º ªŁ	Œ ß	æ ,	(∀ α ∈ k,a ∈ L )	αa ∈ L .

º º , L æ æ æ æ V .

ˇ æ	A	æ ºŁ	Ø ª	æ æ V . — ææ	-
Ł æ ºŁ	Ø ß	æ	æ L	æ	æ	V , æ øŁ	-
æ A .	ŒŁ	æ	æ æ ø æ	,	Ł , æ æ
V . æ Ł	æ	Ł æ ı	Łı	æ	æ	L , æ

.

ˇ º	Ł	8.5.2. æ L (A )	Ł	ł	ºŁ Ø	-
æ	æ	æ æ V , æ ø	æ	A .
˜ Œ	º æ	. ˜ Øæ Ł º , Œ ,	L (A )	º æ	-

æ æ æ æ V æº Ł º Ł 8.5.1. ˜ º , æ A æ Ł æ æ ı L Œ ß ß æ Œ , æº º

A ⊂ L (A ).

˝ Œ , º Æ ºŁ Ø æ æ L ⁰ , Œ , A ⊂ _L ⁰ . ª ı Ł æ æ Ł æ Œ ßı æ æ L ,

æº º L (A ) ⊂ L ⁰ .

˛ º Ł 8.5.3. ¸Ł Ø Ø Æ º Œ Ø æ A æ æ V ß æ Ł ł ºŁ Ø æ æ L _{(A )} æ æ V , æ ø æ A .

æ ª , æ æ L _{(A )} æ A ŁºŁ æ A .

ˇ º Ł 8.5.3 (æ	Ł L (A )). ¸Ł Ø	Æ º	Œ L (A ) æ -
æ Ł Ł æ ºŁ	Ø ßı Œ ÆŁ ŁØ Œ	ßı	æ
æ A æ Œ Ł Ł	Ł Ł æ ª	º	k ,	æ

)

Ł Ł æ α_a = 0 .

˜ Œ º æ . ´ æ º , Æ Ł : .

˝ Æı Ł Œ , L (A ) = L ⁰ .

Ø æ ß, Œ Œ Œ A ⊂ _{L (A )} , L _{(A )} æ Ł º Æ ºŁ-

Ø Œ ÆŁ Ł Œ ª æ æ Œ A ,

æ L ⁰ ⊂ L (A ).

ª Ø æ ß, æ , L ⁰ æ Ø Ł æ æ æ V , æº º , L ⁰ ºŁ Ø æ æ æ æ V .

˚ ª , æ A ⊂ L ⁰ ( Œ Œ Œ a = 1 · a + 0 · a ₁ + 0 · a ₂ + ... ).

ª º Ł 8.5.2 L (A ) ⊂ L ⁰ .

´ Ł ª º , L (A ) = L ⁰ .

º æ Ł 8.5.0.1. ¯æºŁ A = {a ₁ ,a ₂ ,...,a_s }, ª Œ ß a ₁ ,a ₂ ,...,a_s

º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł, L (A ) Œ , dim L (A ) =

= s Ł

.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , Œ , L (A ) Ł Œ ßØ

Ł æº Ł º Ł 8.5.3. ª Œ ß a ₁ ,a ₂ ,...,a_s Œ æ Æ Łæ L (A ), æº º , dim L (A ) = s .

º _{æ Ł} 8.5.0.2_. ¯æºŁ ºŁ Ø æ æ V Œ , º Æ ª ºŁ Ø æ æ L Œ º æ Œ ß Ł

dim L 6 dim V . ¯æºŁ dim L = dim V , L = V .

˜ Œ º æ . ´ æ º , æ dim V = n Ł e ₁ ,e ₂ ,...,e_n Æ -

Łæ V . Œ Œ Œ L æ æ ºŁ Ø ª æ æ V ,

º Æß Œ ß . ´ Ł æº , Ł Æ æŒ -

æ Ł æ æ L ß Œ º Æß Æ æŒ æ æ æ V .

ˇ æ a ₁ ,a ₂ ,...,a_s Æ Łæ L , æ dim L = s . Œ Œ Œ a ₁ ,a ₂ ,...,a_s ºŁ Ø ß æ Æ Łæ e ₁ ,e ₂ ,...,e_n æ æ V , æØ ºŁ Ø Ø ŁæŁ æ Ł s 6 n , æ dim L 6 dim V .

¯æºŁ dim L = dim V , æ s = n , Œ ß a ₁ ,a ₂ ,...,a_n

Œ æ Æ Łæ æ æ V . ´ æŁº º Ł 8.5.3 Æ

Ł

˛ º Ł 8.5.4. Ø æ Øæ ºŁ Ø ßı æ æ {_{L i }} æ æ V ß æ ºŁ Ø Æ º Œ æ ,

ŁŒ - æ Æœ Ł Ł Æ Łæ ßı æ Łı ºŁØ ßı æ æ , æ

.

˛ º Ł 8.5.5. Ø æ Øæ ºŁ Ø ßı æ æ {_{L i }} æ æ V ß æ Ł ł ºŁ Ø æ æ -

æ æ V , æ ø æ æ æ ª æ Øæ .

ˇ º Ł 8.5.4 (æ Ł æ ß). L ₁ + L ₂ ı ºŁ-

Ø ßı æ æ æ æ æ Œ Ł

{a ₁ + a ₂ | a ₁ ∈ L ₁ ,a ₂ ∈ L ₂ }.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , º Ł 8.5.4 Ł L ₁ +L ₂ =

= L (L ₁ ∪ L ₂ ). ´ Æ Ł L ⁰ = {a ₁ + a ₂ | a_i ∈ L_i , i = 1, 2}. ˝ Œ , L ₁ + L ₂ = L ⁰ .

Ø æ ß, æ , L ⁰ æ Ø Ł æ æ æ V , L ⁰ ºŁ Ø æ æ æ æ V .

˜ º , L ₁ ⊂ L ⁰ . ˜ Øæ Ł º , (∀ a ₁ ∈ L ₁ ) a ₁ = a ₁ + 0, ª 0 ∈ L ₂ .

º ªŁ , L ₂ ⊂ L ⁰ , Ł (∀ a ₂ ∈ L ₂ ) a ₂ = 0+a ₂ , ª 0 ∈ L ₁ . ˛ æ ,

L ₁ ∪ L ₂ ⊂ L ⁰ , æº º L (L ₁ ∪ L ₂ ) ⊂ L ⁰ , æ L ₁ + L ₂ ⊂ L ⁰ .

ª Ø æ ß, Ł º ßØ Œ a _{∈ L} ⁰ . ¯ª

æ Ł Ł a = a ₁ + a ₂ , ª a ₁ ∈ L ₁ , a ₂ ∈ L ₂ . ´ Œ ß a ₁ ,a ₂ ∈

∈ L 1 ∪ L 2 , æº	º a = a 1 + a 2 ∈ L (L 1 ∪ L 2 ) = L 1 + L 2 ,	æ
a ∈ L 1 + L 2 . ¨	L 0 ⊂ L 1 + L 2 .

ŒŁ Æ , Ł ı Œº ŁØ º , L ₁ + L ₂ = L ⁰ .

˙		Ł 8.5.1. Œ , Æø	æº
 X X Ł Ł L i = a i | a i ∈ L i (i )  (i )	æ	  ai = 0 . 
˛		º Ł 8.5.6. ºŁ Ø ßı	æ	æ L 1 +L 2 ß -
æ		Ø, æºŁ L 1 ∩ L 2 = {0}.
ˇ		æ Æ æ L 1 ⊕ L 2 .
¸	8.5.1. ¸ Æ ºŁ Ø ŁæŁ	æŁæ	Œ Œ -
ª ºŁ Ø ª æ æ V	º Ł Æ Łæ -
æ	æ	V .
˜ Œ	º æ . ˇ æ a 1 ,a 2 ,...,as ºŁ	Ø	ŁæŁ æŁæ
Œ	Ł V Ł e 1 ,e 2 ,...,en Æ Łæ æ	æ	V , dim V = n . — æ-
æ	Ł	æº ø æŁæ Œ
a 1 ,a 2 ,...,as ,e 1 ,e 2 ,...,en .		(8.3)
¨	Ø æŁæ ß Œ (8.3) º			Œ ß, Œ ß ºŁ-
Ø	ß æ ß øŁ . ˇ ß s			Œ æ æ
æ	, Œ Œ Œ Ł ºŁ Ø ŁæŁ ß . ˇ º Ł
a 1 ,a 2 ,...,as ,ei 1 ,ei 2 ,...,ei k .			(8.4)

Łæ Œ (8.4) Æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø, Œ Œ Œ Ł Ł Œß æ æ º ß Œ ß.

˜ º , º Æ Ø Œ a _{∈ V} , ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.3),

Æ ºŁ Ø ß æ Ł æŁæ (8.4), Œ Œ Œ º ß Œß Ł æŁæ ß (8.3), ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.4). ŒŁ

Æ , æŁæ Œ (8.4) Æ æ æ º Æ Łæ æ æ V .

Æ Łæ º Ł æŁæ ß a ₁ ,a ₂ ,...,a_s Æ º Ł Œ ßı Œ. k = n − s .

¯˛—¯ 8.5.1 ( æ Ł æ ß ı ºŁ Ø ßı æ æ ). — æ æ ß ı ºŁ Ø ßı æ æ Œ -

ª ºŁ Ø ª æ æ V æ æ Ø Łı

ºŁ Ø ßı æ æ Æ æ Ł Łı æ Ł , æ

dim (L ₁ + L ₂ ) = dim L ₁ + dim L ₂ − dim (L ₁ ∩ L ₂ ).

˜ Œ º æ . ˇ æ L 1 Ł L 2 ºŁ Ø ßı		æ		æ	-
æ	æ V . ˛Æ Ł L = L 1 ∩ L 2 . ˇ æ	æŁæ		Œ
e 1 ,e 2 ,...,er	(8.5)
Æ Łæ L . ¯æºŁ L = {0}, r = 0 Ł Æ Łæ Æ	æ	æ .
ˇ	º Æ Łæ L º Ł Æ Łæ L 1
e 1 ,e 2 ,...,er ,ur +1 ,...,us ,	(8.6)
ª	(8.6) Æ Łæ L 1 , dim L 1 = s . º ªŁ , º Ł Æ Łæ L 2	º	Æ	Łæ L
e 1 ,e 2 ,...,er ,vr +1 ,...,vt ,	(8.7)
ª	(8.7) Æ Łæ L 2 , dim L 2 = t . — ææ Ł æº ø æŁæ Œ

e ₁ ,e ₂ ,...,e_r ,u_{r +1} ,...,u_s ,v_{r +1} ,...,v_t . (8.8)

ˇ Œ æŁæ (8.8) º æ Æ Łæ L _{1 + L 2} . ˜ Øæ Ł º ,

Ł º ßØ Œ x ∈ L ₁ + L ₂ . ª x = a + b , ª a ∈ L _{1 , b} ∈ _{L 2} . — º ª Œ a Æ Łæ (8.6), Œ b Æ Łæ (8.7) Ł

挺 ß º ß ß Ł , ß º Ł , Œ x ºŁ Ø ß æ æŁæ (8.8).

˛æ æ Œ , æŁæ Œ (8.8) º æ ºŁ Ø -

ŁæŁ Ø. — ææ Ł ºŁ Ø Œ ÆŁ Ł

α 1e 1 +... +α r e r +β r +1u r +1 +... +β s u s +γ r +1v r +1 +... +γ t v t = 0. (8.9)

˝ Œ , æ æŒ º ß α i ,β i ,γ i = 0. — ææ Ł Œ

x = α ₁ e ₁ + ... + α_r e_r + β_{r +1} u_{r +1} + ... + β_s u_s . (8.10)

¨ æ (8.9) Ł , Œ

x = −γ_{r +1} v_{r +1} − ... − γ_t v_t . (8.11)

— æ (8.10) Œ ß , Œ x _{∈ L 1} , æ (8.11)

Œ ß , Œ x ∈ L ₂ , æº º x ∈ L ₁ ∩ L ₂ = L .

º º , Œ x ß Ł Æ Łæ L .

. (8.12)

Ł (8.10) Ł (8.12). ´ß Ł Œ x Æ Łæ (8.6) º

Æß Ł æ ß , ª

.

ª æ (8.9) Ł Ł Ł

α ₁ e ₁ + ... + α_r e_r + γ_{r +1} v_{r +1} + ... + γ_t v_t = 0. (8.13)

Œ Œ Œ Æ Łæ (8.7) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø æŁæ Ø Œ ,

Ł æ (8.13) æº , æ æŒ º ß α ₁ = ... = α_r = γ_{r +1} =

= ... = γ_t = 0.

´Ł , æŁæ Œ (8.8) º æ ºŁ Ø ŁæŁ Ø, æº º , æŁæ Œ (8.8) º æ Æ Łæ L _{1 + L 2} . ª

dim (L ₁ +L ₂ ) = Łæº Œ Æ Łæ (8.8) = r +(s −r )+(t −r ) = s +

+t −r = dim L ₁ +dim L ₂ −dim L = dim L ₁ ++dim L ₂ −dim (L ₁ ∩L ₂ ).

º _{æ Ł} 8.5.1.1_. — æ Ø æ ß æ æ Ø æº ª ßı.

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æºŁ L ₁ + L ₂ æ ,

º Ł L ₁ ∩L ₂ = {0}, dim {0} = 0. ˇ º , dim (L ₁ ⊕L ₂ ) =

= dim L ₁ + dim L ₂ .

ˆº 9

¸Ł Ø ß ß ºŁ Ø æ æ

9.1 ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

ˇ æ V Ł V ⁰ ºŁ Ø ßı æ æ Ł Ł æ ß º k .

˛ º Ł 9.1.1. ¸Ł Ø ß Ł æ æ V æ æ V ⁰ Ł Ł º k ß æ æ Œ Æ Ł f : V → V ⁰ , º ø æº Ł :

1. (∀ a,b ∈ V ) f (a + b ) = f (a ) + f (b );

2. (∀ α ∈ k,a ∈ V ) f (αa ) = αf (a ).

´Ł , Ł ºŁ Ø ßØ ¿ º æ Æ Æø Ł -

Ł Ł Ł ¿. ´ æº Ł Ł , Æ º æ Æß f Æߺ

ÆŁ Œ Ł Ø. æº Ł 1) , f º æ ª Ł (_{V, +)}

. æº Ł 1) ß æ æº Ł Ł Ł æ Ł, æº Ł 2) ß æ æº Ł æ Ł.

˛ º Ł 9.1.2. ¸Ł Ø ß Ł æ æ V æ æ V ⁰ Ł Ł æ ß º k ß æ æ Œ

58

9.1. ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

Æ Ł f _{: V} → _V ⁰ , º ø æº Ł ºŁ Ø æ Ł:

(∀ α,β ∈ k, a,b ∈ V ) f (αa + βb ) = αf (a ) + βf (b ).

˛Æ Ł L _(V,V ⁰ ₎ æ æ ı ºŁ Ø ßı Ł æ æ V æ æ V ⁰ . ˝ æ ææ Ł

ºª Æ Ł æŒŁ ŁŁ: æº Ł Ł ł Ł .

˛ º Ł 9.1.3. ˇ æ f,g ∈ L (V,V ⁰ ) Ł α ∈ k . ˇ º ª , (f +

g )(a ) = f (a ) + g (a ) Ł (αf )(a ) = αf (a ).

˛ º Ł 9.1.3 Œ Œ æ ßæº , f _{+ g} Ł αf º æ ºŁ Ø ß Ł Ł.

˜ Øæ Ł º , (∀ α,β ∈ k, a,b ∈ V ) (f +g )(αa +βb ) = f (αa +βb )+

+g (αa +βb ) = αf (a )+βf (b )+αg (a )+βg (b ) = α (f (a )+g (a ))+β (f (b )+

+ g (b )) = α (f + g )(a ) + β (f + g )(b ). º º f + g ∈ L (V,V ⁰ ).

¯ø ø Œ ß æ , αf ∈ L (V,V ⁰ ).

¯˛—¯ 9.1.1. æ L (V,V ⁰ ), ææ æ æ -

º ß Ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø æº Ł Ł ł Ø ºª Æ Ł æŒ Ø Ł Ø Ł , Æ ºŁ Ø æ æ º k .

˜ Œ º æ . ˇ æ f,g,h ∈ L (V,V ⁰ ),α,β, 1 ∈ k . ˜º Œ º æ ß æ Œ , ß º æ 7 ŒæŁ ºŁ Ø ª æ æ , Ł

1. f + g = g + f ;

2. f + (g + h ) = (f + g ) + h ;

3. (∀ f,g )(∃ h ) g + h = f ;

4. α (f + g ) = αf + αg ;

5. (α + β )f = αf + βf ;

6. (αβ )f = α (βf ) = β (αf );

7. 1 · f = f .

ˇ Ł Œ ß Ł Łı.

1) ¨ (∀ a ∈ V ) (f +g )(a ) = f (a )+g (a ) = g (a )+f (a ) = (g +f )(a ).

º º , f + g = g + f .

3) ¨ f,g ∈ L (V,V ⁰ ). — ææ Ł Æ Ł h : V → V ⁰ , -

º æº øŁ Æ (∀ a ∈ V ) h (a ) = f (a ) − g (a ). ¸ ªŒ -

Œ	,	Æ	Ł	º æº	Ł ºŁ Ø æ Ł, æº -
º	, h ∈ L (V,V 0 ). ˇ	æ Ł	(∀ a ∈ V )	(g +h )(a ) = g (a )+h (a ) =

= g (a ) + (f (a ) − g (a )) = f (a ). º º , g + h = f .

ˇ æ V,V 0 ,V 00 Ł ºŁ Ø ßı	æ æ	º k ,	æ
f ∈ L (V,V 0 ), ϕ ∈ L (V 0 ,V 00 ). ª	ææ	Ł	Œ	Ł Ł
ºŁ Ø ßı ϕ ◦f : V → V 00 , Œ	º	æ æº	øŁ
Æ (ϕ ◦ f )(a ) = ϕ (f (a )). Œ	Ł Ł	ϕ ◦ f Æ	Æ

ϕf .

ˇ Œ , ϕf æ ºŁ Ø ßØ Ł æ æ V _V ⁰⁰ .

˜ Øæ Ł º , ϕf (αa + βb ) = ϕ (f (αa + βb )) = ϕ (αf (a ) + βf (b )) = = αϕ (f (a )) + βϕ (f (b )) = α (ϕf )(a ) + β (ϕf )(b ). º º , ϕf ∈

∈ L (V,V ⁰⁰ ).

¯˛—¯ 9.1.2. ˇ æ f,g ∈ L (V,V ⁰ ), ϕ,ψ ∈ L (V ⁰ ,V ⁰⁰ ), h ∈ L (V ⁰⁰ ,V ⁰⁰⁰ ), α ∈ k . ª æ ºŁ ß æº øŁ æ ł Ł :

1. ϕ (f + g ) = ϕf + ϕg ;

2. (ϕ + ψ )f = ϕf + ψf ;

3. h (ϕf ) = (hϕ )f ;

4. α (ϕf ) = (αϕ )f = ϕ (αf ).

9.1. ˇ æ æ Ł ºª Æ ºŁ Ø ßı

ˇ æ f,g,ϕ,ψ,h ∈ L (V,V ), æ ºŁ Ø ß Ø ª æ æ V æ Æ .			ß Ł ºŁ-
˛ º Ł 9.1.4. ¸Ł Ø ßØ Ł V V ß æ Ł .			-
˝ æ L (V,V ) ææ Ł ºª Æ			Ł æŒ
Ł Ł . ¯æºŁ f,ϕ ∈ L (V,V ),			º ª
ϕf = ϕ ◦ f : V → V , ϕf ∈ L (V,V ). ˜º	Ø	ŁŁ	Ł
æ ºŁ ß æ ł Ł 1) 4)	ß 9.1.2.
¯˛—¯ 9.1.3. æ L (V,V ), ææ	æ	æ -
º ß Ł ºª Æ Ł æŒŁ Ł	Ł Ł:	Ł Ł
æº Ł Ł Ł Ł ł Ł º k .	Ł	, Æ	ºª Æ
9.1.3 , ŁŁ æº øŁ 10 ŒæŁ : 1) 7) ŒæŁ ß ºŁ Ø ª æ æ ; 8) f (g + h ) = fg + fh , (f + g )h = fh + gh ; 9) f (gh ) = (fg )h ; 10) α (fg ) = (αf )g = f (αg ).	æ	L (V,V )	º -
˚ Œ Ł æ Œ ºª Æ , ºª Æ ºŁ Ø ßı	æ æ	Ł Ł

ı ºª Æ Ł æŒŁı æ Œ : æ Œ ß ºŁ Ø ª æ æ ( ŒæŁ ß 1) 7)) Ł æ Œ ß Œ º ( ŒæŁ ß 1) 3) Ł 8) 9)). Ł æ Œ ß æ ß æ Æ Ø æ Øæ 10).

´ º ł Øł , æ L (V,V ) Æ Æ L (V ). ˇ Ł ß :

1) ˝ º Ø ºŁ Ø ßØ Ł L _{(V )} . ˛ Æ æ 0_V .

˛ º æ ŒŁ Æ (∀ a ∈ V ) 0_V (a ) = 0. æ ,

(∀ f ∈ L (V )) f + 0_V = f .

2) æ ßØ ºŁ Ø ßØ Ł L (V ) . ˛Æ				æ 1V .
˛ º æ ŒŁ Æ (∀ a ∈ V ) 1V (a )			=	a . æ ,
(∀ f ∈ L (V )) 1V · f = f · 1V = f .		,	ºª Æ L (V )
æ Ł Ł .
9.2 Ł ºŁ	Ø ª	Œ
ºŁ Ø	æ æ
˙ æ ß º Ł Æ ª dim V = n .	Ł æ ı ºŁ Ø ßı	ºª Æ ß L (V ) ,
¯˛—¯ 9.2.1. ˇ æ	e 1 ,e 2 ,...,en Æ	Łæ ºŁ	Ø	ª æ -
æ V . ˇ æ V 0	ª ºŁ Ø æ	æ	º k Ł

Ł º æŁæ Œ Ł V ⁰ . ª æ ø æ -

Ł æ	ßØ ºŁ	Ø ßØ	f ∈ L (V,V 0 ),	øŁØ Æ Łæ
æ æ	V	æŁæ	Œ æ	æ	V 0,

æ

.

˜ Œ º æ . 1) ¯ Ł æ æ .

ˇ æ æ ø æ ºŁ Ø ßØ f ∈ _{L (V,V} ⁰ ₎ Œ Ø, (∀ ₁ 6

6 i 6 n ) f (e_i ) = a ⁰ _i . ¸ Æ Ø Œ a ∈ V æ Ł Ł . ª

.

˜ æ Ł , æ ø æ ª Ø ºŁ Ø ßØ f ₁ ∈ _{L (V,V} ⁰ ₎ , -

º øŁØ æº Ł . ª

.

º º f ₁ = f .

2) ø æ Ł .

ˇ æ a ∈ _V . ª ⁿ . ˛ ºŁ Æ Ł f _{: V} → _V ⁰ æº øŁ Æ

.

ˇ Œ , Æ Ł º æº Ł ºŁ Ø æ Ł. ˜ Øæ Ł º , æ . ª

¯ø ø Œ ß æ , f (αa ) = αf (a ), ª α ∈ k . ŒŁ Æ ,

Æ Ł f ∈ L (V,V ⁰ ). ˝ Œ , (∀ 1 6 i 6 1) f (e_i ) = f (0·e ₁ +... +

.

º _{æ Ł} 9.2.1.1_. ¸Ł Ø ßØ Ł V _V ⁰ º æ Æ Ł Æ Łæ ßı Œ æ æ V . ß Œ Ł Œ º æ Ø æ Ł ß 9.2.1.

º æ Ł 9.2.1.2.		æ	ºŁ	Ø ßı	Ł V V 0	ı Ł -
æ Ł	æ	æ ŁŁ æ	æ	ßı
æŁæ Ł n -	Œ	æ	æ	V .
ˇ æ V	ºŁ Ø	æ	æ	º k , dim V	= n ,
e 1 ,e 2 ,...,en	Æ Łæ	æ	æ	V . ˇ æ ,	º , f ∈ L (V ),	æº -
æ Ł Ł	ß 9.2.1,	Ł æ	ß Æ	º -
æ Æ	Ł Æ Łæ ßı	Œ	f (e 1 ),f (e 2 ),...,f (en ) ∈ V . —		º Ł

Ł Æ ß Æ Łæ æ æ V , º Ł

f (e 1) = α 11e 1 + α 12e 2 + ... + α 1n e n ;

f (e ₂ ) = α ₂₁ e ₁ + α ₂₂ e ₂ + ... + α _2n e_n ; (9.1)

...

f (e n ) = α n 1e 1 + α n 2e 2 + ... + α nn e n .

˛ º Ł 9.2.1. Ł Ø ºŁ	Ø	ª	f ∈ L (V ) -
æŁ º Æ Łæ e 1 ,e 2 ,...,en ß	æ	Ł	,	æ Ł Œ
Ł , æ æ º Ø Ł Œ Ł Ł Æ Łæ ßı Œ Æ Łæ.	ºŁ Ø	ª	ß Ł Æ
 > α 11 α 12 ... α 1n    α 21 α 22 ... α 2n  A f |e e =  ... ... ... ...     α n 1 α n 2 ... α nn	=	 α 11   α 12   ...   α 1n	α 21 α 22 ... α 2n	 ... αn 1  ... αn 2  . ... ...    ... αnn
˛ º Ł 9.2.2. Ł Ø ºŁ Ø		ª	f ∈ L (V ) æŁ-
º Æ Łæ e 1 ,e 2 ,...,en ß æ		Ł , æ	ºÆ	Ł Œ Ø º -
æ Œ Ł ß æ ºÆ ß Œ f (e 1 ),f (e 2 ),...,f (en ) æŁ º -

Łæ e , æ

e

A_{f | e} e = (f ^ˇ (e ₁ )|_e e,f ^ˇ (e ₂ )|_e e,...,f ^ˇ (e_n )|_e e).

˛ º Ł 9.2.3. ¯æºŁ Æ Ł

    e ₁ f (e ₁ )

     e ₂   f (e ₂ ) 

e =   Ł f (e ) =  , e  ...  e  ... 

    e_n f (e_n )

Ø ºŁ Ø ª f æŁ º Æ Łæ e ß æ

_e

Ł A_f , º Ł æ

f (e e) = A ^> _f e. _e

¯˛—¯ 9.2.2. ˇ Ł ŁŒæŁ Æ Łæ e _e ºŁ Ø ª æ æ V , dim V = n , Æ Ł σ : L (V ) → M (n,k ), æ æ º ø

ºŁ Ø f ª Ł æŁ º Æ Łæ ),

º æ Ł Ł ºª Æ ß ºŁ Ø ßı L (V ) ºª Æ Œ ßı Ł n -ª Œ M (n,k ).

˜ Œ º æ . ˇ e _e Œ ßØ Æ Łæ æ æ V . — ææ Ł

Æ Ł σ : L (V ) → M (n,k ), σ (f ) = A_f , ª A_f Ł ºŁ Ø-

ª f æŁ º Æ Łæ e _e . ˇ Œ , Æ Ł º æ Ł Ł .

1) ¨ œ Œ Ł æ σ .

ˇ æ σ (f ) = σ (g ), ª f,g ∈ L (V ). , A_f = A_g ⇒

. ß º ŁºŁ, Æ ß

Æ Łæ ßı º æ æ V æ . ª æº æ Ł Ł ß 9.2.1 æº , f _{= g} .

2) œ Œ Ł æ σ .

ˇ æ A ∈ M (n,k ). ˇ æ Ł n Œ æ æ V Œ, Æß Œ Ł ß æ ºÆ ß Łı Œ æŁ º Æ Łæ e _e æ ºŁ æ æ ºÆ Ł Ł ß A . ª 9.2.1 æ ø æ ºŁ Ø ßØ f ∈ L (V ), øŁØ Æ Łæ e _e æ ß Ł Œ ß.

ˇ æ Ł Æ Ł . ˛ æ Ł , æºŁ æ Ł

æ º Ł 9.2.3, A ^> = A ^> _f . ŒŁ Æ , σ (f ) = A_f = A .

3) ı Ł ŁØ.

ˇ æ f,g ∈ L (V ) Ł A_f ,A_g Ł ß Łı ºŁ Ø ßı æŁ º Æ Łæ e _e . ª .

— ææ Ł Øæ Ł æ ß ºŁ Ø ßı f _{+ g} Æ Łæ ß

Œ ß. Ø æ ß, .

ª Ø æ ß,

= (A_f + A_g )^> e .

˛ æ , . ŒŁ Æ , -

Ł æ ß ºŁ Ø ßı æ Ł Łı . º º

σ (f + g ) = A_{f +g} = A_f + A_g = σ (f ) + σ (g ), æ Æ Ł σ æ ı æº Ł .

— ææ Ł Øæ Ł Ł Ł ºŁ Ø ßı fg Æ Łæ ß Œ ß. Ø æ ß, .

ª Ø æ ß,

.

˛ æ , A >fg = (A f A g )> ⇒ A fg = A f A g , æ Ł Ł -

Ł ºŁ Ø ßı Ł Ł Ł Łı . º º

σ (fg ) = A_fg = A_f A_g = σ (f )σ (g ),

æ	Æ	Ł σ æ ı	Ł .
˝ Œ	, æ	æ æ	Œ	ß	æ ,	Aαf = αAf ⇒ σ (αf ) =

= ασ (f ), ª α ∈ k .

ˇ º Ł	9.2.1. ˚	Ł ßØ æ ºÆ Æ	Œ	Ł Ø-
æ ŁŁ ºŁ Ø ß	Œ Ł æ	ºÆ	ª Œ-
, æ	æº	Ł ª ºŁ Ø f (ˇ a ) = Af a. ˇ	ª	,
˜ Œ º æ	. ˜ Øæ Ł	º , Œ a = a ˇ> e e .	Ø æ ß,

. ª Ø æ ß,

. ¨ , f (^ˇ a )^> = (A_f a ˇ)^> ⇒ f (^ˇ a ) = A_f a ˇ.

˛ º Ł 9.2.4. Ł B ß æ Æ Ø Ł A (B _∼

A ) º k , æºŁ æ ø æ æ Æ Ł Q æ º Ł Ł º k Œ ,

B = Q ⁻¹ AQ.

¨ ª ª , Ł B º	æ Ł	Ł -
Ł ß A æ ø Ł ß Q , ŁºŁ Ł Ł ß A æ ø Ł ß Q .	B Æ	Ł -
˙ Ł 9.2.1. ¯æºŁ Ł ß B Ł A Œ ß Ł Ł Œ Ø æ Ł.	Æ ß, Ł	º ß Æß
ˇ º Ł 9.2.2. ˛ ł Ł ÆŁ Ł º æ Ł æ M (n,k ). ˜ Œ º æ . 1) — º ŒæŁ æ .	º æ	ł Ł Œ-
¨ A = E −1 AE , ª A ∼ A , º Ł . 2) Ł Ł æ .	Ł ß Q Łª	Ł Ł
ˇ æ B ∼ A . , (∃ Q, |Q | 6= 0) B = Q −1 AQ ⇒ ⇒ QBQ −1 = Q (Q −1AQ )Q −1 ⇒ QBQ −1 = A ⇒ A = (Q −1)−1BQ −1 ⇒ ⇒ A ∼ B , º Ł ß Q Łª Q −1 . 3) Ł Ł æ .

ˇ æ C ∼ B, B ∼ A , ª (∃ R, |R | 6= 0) C = R ⁻¹ BR , Ł

(∃ Q, |Q | 6= 0) B = Q ⁻¹ AQ . º º C = R ⁻¹ (Q ⁻¹ AQ )R = = (QR )⁻¹ A (QR ) ⇒ C ∼ A , º Ł ß Q Łª QR .

¯˛—¯ 9.2.3.		Ł ß ª Ł ª ºŁ	Ø ª	f
ºŁ ßı Æ	Łæ ı	Æ ß. ˇ Ł Ł	A f |u º e	æ	Ł
Ł ß A f |e e	æ	Ł Ł Ł øŁ	Ł ß	ı
Æ Łæ e Œ Æ Łæ e	u , e	æ A f |u = Q −1A f |e Q, e e
ª Q Ł	ı e Œ u .

e e

˜ Œ º æ . ˇ æ dim V = n, e _e Ł u _e Æ Łæ æ æ

V , f ∈ L (V ), A_{f | e e} Ł A_{f | u e} Ł ß f æŁ º e e Ł u e æ æ . ª

ˇ æ , Œ , Q Ł ı Œ , æ .

Ø æ ß,

= (A_{f | e} Q )^> e e. ª Ø æ ß,

. ŒŁ Æ ,

.

º æ	Ł 9.2.3.1. ¯æºŁ Af	Ł ºŁ Ø ª	f æŁ-
º	Æ Łæ e e Ł B ∼ Af ,	Ł B ææ	Ł Œ Œ
Ł æ .	ºŁ Ø ª f	æŁ º Œ ª	ª ª Æ Ł-
˜ Œ	º æ . ˜ Øæ Ł º ,	Œ Œ Œ B ∼ Af ,	(∃ Q, |Q | 6=
6= 0)	B = Q −1 Af Q . — ææ Ł	ßØ Æ Łæ u e = Q > e e .	Œ Œ Œ Q
æ Æ	Ł , u e Æ ß Æ Łæ . ˇ		9.2.3 Ł

.

9.3 — ª Ł	Œ ºŁ Ø ª
ˇ æ V Ł V 0 ∈ L (V,V 0 ).	ºŁ Ø ßı æ	æ	º	k ,	æ	f ∈

˛ º Ł 9.3.1. ˛Æ ºŁ Ø ª f (Im f ) ß æ æ Æ æ ı º æ æ V . ºŁ Ø ª f (Ker f ) ß æ æ ı Œ æ æ V , Œ ß Ł Æ ŁŁ f æ º æ æ V ⁰ .

¨ ª º Ł Ł ,

Im f = {f (a )| a ∈ V }, Ker f = {a ∈ V | f (a ) = 0}.

9.3. — ª Ł Œ ºŁ Ø ª

ˇ º Ł 9.3.1. Ł Æ ºŁ Ø ª f ∈ L (V,V ⁰ )

º æ ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł æ æ V Ł V ⁰ æ æ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , (∀ α,β ∈ k,a,b ∈ Ker f ) Ł

f (αa + βb ) = αf (a ) + βf (b ) = α · 0 + β · 0 = 0 ⇒ αa + βb ∈ Ker f.

, Ker f º æ æ Ø Ł ß æ æ æ V , æº º , º æ ª ºŁ Ø ß æ æ .

ˇ æ a ⁰ ,b ⁰ ∈ Imf . , (∃ a,b ∈ V ) f (a ) = a ⁰ ,f (b ) = b ⁰ .

ª (∀ α,β ∈ k,a ⁰ ,b ⁰ ∈ Im f ) Ł

αa ⁰ + βb ⁰ = αf (a ) + βf (b ) = f (αa + βb ) ∈ Im f.

˛ æ Im f º æ æ Ø Ł ß æ æ æ V ⁰ , æº º , º æ ª ºŁ Ø ß æ æ .

ˇ º Ł 9.3.2. ¯æºŁ V	Œ	ºŁ	Ø	æ	æ
Ł f ∈ L (V,V 0 ), Ł Æ	ºŁ	Ø	ª	f	º	æ	Œ -

ß Ł ºŁ Ø ß Ł æ æ Ł.

˜ Œ º æ . ´ æ º , Œ Œ Œ V Œ ºŁ Ø æ æ , Ł º Æ ª æ æ , æ æ Ł Ker f , Œ º æ Œ ß .

ˇ Ø Œ Æ Im f . ˇ æ e ₁ ,e ₂ ,...,e_n Æ Łæ æ æ V .

ª. ª

.

˝ ºŁ Ø Æ º Œ , Œ ß Łæº Œ , º æ Œ Ø Ł Ł

dim L ({f (e ₁ ),...,f (e_n )}) = rang {f (e ₁ ),...,f (e_n )}.

º º , Im f º æ Œ ß ºŁ Ø ß æ -

æ .

˛ º Ł 9.3.2. ¯æºŁ V Œ ºŁ Ø æ æ

Ł f ∈ L (V,V ⁰ ), ª ºŁ Ø ª f r (f ) ß æ æ ª Æ , Œ ºŁ Ø ª f d _{(f )} ß æ æ ª .

¨ ª º Ł Ł , r (f ) = dim Im f , d (f ) =

= dim Ker f .

º æ Ł . r (f ) = r {f (e ₁ ),...,f (e_n )}.

º æ Ł . ¯æºŁ f ∈ _{L (V )} , ª ºŁ Ø ª f ª Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ º º Æ ª Æ Łæ , æ

r (f ) = r (A_f ).

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , ß ø æº æ Ł Ł

r (f ) = r {f (e ₁ ),...,f (e_n )}. — ææ Ł æ ßØ Ł Ł σ :

V _{→ k} ⁿ æŁ º Æ Łæ . ª . ˇ Ł Ł Ł ª æŁæ ß Œ Ł æ ,

.

¯˛—¯	9.3.1 ( ª Ł Œ ºŁ Ø ª ). ¯æºŁ
V Œ	ºŁ Ø æ æ , dim V = n , f ∈ L (V,V 0 ),
æ	ª Ł Œ ºŁ Ø ª f æ Ł
æ æ	V , æ r (f ) + d (f ) = n .
˜ Œ º æ	. ´ Æ Ł d = d (f ) = dim Ker f . ˇ æ
e 1 ,e 2 ,...,ed	Æ Łæ Ker f . ˜ º Ł Æ Łæ Æ Łæ æ -
æ V , º	Ł e 1 ,e 2 ,...,ed ,ed +1 ,...,en Æ Łæ V . ˇ æº æ Ł Œ
º Ł	9.3.2 Ł

r (f ) = r {f (e ₁ ),f (e ₂ ),...,f (e_d ),f (e_{d +1} ),...,f (e_n )} = r {f (e_{d +1} ),...,f (e_n )}.

9.4. ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª

ˇ Œ , Œ ß f (e_{d +1} ),...,f (e_n ) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß-

Ł. ˇ æ

α_{d +1} f (e_{d +1} ) + ... + α_n f (e_n ) = 0;

f (α d +1e d +1 + ... + α n e n ) = 0 ⇒ α d +1e d +1 + ... + α n e n ∈ Ker f.

— º Ł º Æ Łæ Ker f . ¨

α d +1e d +1 + ... + α n e n = β 1e 1 + ... + β d e d ;

−β 1e 1 − ... − β d e d + α d +1e d +1 + ... + α n e n = 0.

Œ Œ Œ e ₁ ,e ₂ ,...,e_n Æ Łæ æ æ V , β ₁ = ... = β_d = α_{d +1} =

= ... = α_n = 0. ŒŁ Æ , Œ ß f (e_{d +1} ),...,f (e_n ) º æ ºŁ Ø ŁæŁ ß Ł. ª r (f ) = r {f (e_{d +1} ),...,f (e_n )} = n − d ⇒ ⇒ r (f ) + d (f ) = n − d + d = n .

9.4 ˛Æ Ł æ ºŁ Ø ª

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k . — ææ Ł ºª Æ
L (V ) . ´ Ø ºª Æ æ Ł Ł , º Ł Ł ß ß º æ ßØ 1V . ˝ Ł , (∀ a ∈ V ) 1V (a ) = a .	-
˛ º Ł 9.4.1. ¸Ł Ø ßØ f ∈ L (V ) ß æ	Æ -
Ł ß , æºŁ Æ Ł Œ Œ º º Ł ºŁŒ Ł Ø º ª Œ º L (V ), æ (∃ f −1 ∈ L (V )) ff −1 = f −1 f = 1V .	ß
¯˛—¯ 9.4.1 (Œ Ł ŁØ Æ Ł æ Ł ºŁ Ø ª	).
˜º ª , Æß ºŁ Ø ßØ f ∈ L (V ) Æߺ Æ Ł ß	Æ-
ı Ł Ł æ , Æß Œ Œ Æ Ł Æߺ ÆŁ Œ Ł	ß .
˜ ªŁ Ł æº Ł, f Æ Ł ª Ł º Œ ª , Œ ª f Ł Ł V V . ˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı Ł æ .	Ł -

ˇ æ f ∈ _{L (V )} º æ Æ Ł ß . ˇ º Ł 9.4.1 (∃ _f ⁻¹ ∈

L (V )) ff ⁻¹ = f ⁻¹ f = 1_V . ˝ Œ , f º æ ÆŁ Œ Ł Ø.

ˇ æ f (a ) = f (b ). ˇ Ł Ł Œ æ Æ Ł f −1, º -

Ł f ⁻¹ (f (a )) = f ⁻¹ (f (b )) ⇒ (f ⁻¹ f )(a ) = (f ⁻¹ f )(b ) ⇒ 1_V (a ) = 1_V (b ) ⇒

⇒ a = b . ˇ æ b ∈ V . ˝ Œ , (∃ a ∈ V ) f (a ) = b . ˇ æ -

Ł Œ b Œ a = f ⁻¹ (b ). ª f (a ) = f (f ⁻¹ (b )) =

= (ff ⁻¹ )(b ) = 1_V (b ) = b , æ f º æ ÆŁ Œ Ł Ø.

2) ˜ æ æ .

ˇ æ ∈ L (V ) Ł f º æ ÆŁ Œ Ł Ø. ª (∃ f ⁻¹ : V → V ) ff ⁻¹ =

= ff −1 = 1V . Æ Ł f −1 Œ º æ ÆŁ Œ Ł Ø. ˝

Œ , f −1 ∈ L (V ), æ f −1 º æº Ł ºŁ Ø-

æ Ł. ˇ æ a,b ∈ V , ª (∃ a ⁰ ,b ⁰ ∈ V ) f (a ⁰ ) = a,f (b ⁰ ) = b . ˛ æ f ⁻¹ (a ) = a ⁰ , f ⁻¹ (b ) = b ⁰ . ´ Ł º ß α,β ∈ k , æ æ Ł

f (αa ⁰ + βb ⁰ ) = αf (a ⁰ ) + βf (b ⁰ ) = αa + βb ⇒

⇒ f ⁻¹ (αa + βb ) = αa ⁰ + βb ⁰ = αf ⁻¹ (a ) + βf ⁻¹ (b ).

˛ Æ Ł f ⁻¹ º æº Ł ºŁ Ø æ Ł, æº º

f ⁻¹ ∈ L (V ).

9.5 Œ Łæ Ł æŒŁØ		ª º		Ł ß Ł ºŁ-
Ø	ª
ˇ æ k æ	º Ł k [λ ] Œ º	ª	º	Ł	æ ª λ .
˛ º Ł	9.5.1. λ - Ł Ø (	ª º	Ø	Ł	Ø)	º
k ß æ	Ł , º Ł Œ	Ø	º æ	º	ß Œ º
k [λ ], æ	ª º ß λ æ Œ	Ł Ł	Ł Ł	º	k .
λ - Ł ß	挺 ß ,	,	æŒ º ß
Łº , Ł æŒ º	ß	Ł ß. ˇ æ		A =

= (α_ij ), α_ij ∈ k, i,j = 1,n . ŒŁ Ł ß Æ ß æŒ º ß Ł.

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

˛ º Ł 9.5.2. Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł Ø º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A ß æ λ - Ł Ł λE − _A , æ

  λ − α 11 −α 12 ... −α 1n    α 21 λ − α 22 ... α 2n  λE − A =  .  ... ... ... ...      −α n 1 −α n 2 ... λ − α nn
˛ º Ł 9.5.3. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º º	æŒ º	Ø
Ł ß A ß æ ºŁ º , ßØ ı Œ Ł Ø º Ł ß A .	Łæ Ł	æŒ Ø
Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß A Æ χA (λ ) = |λE − A |.	æ

˛ º Ł 9.5.4. º Œ Ø æŒ º Ø Ł ß A (Tr _{(A )} ) ß æ æ º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˝ Ø Ł ß A

(N _{(A )} ) ß æ ºŁ º .

º Ł ,

Tr (A ) = α ₁₁ + α ₂₂ + ... + α_nn , N (A ) = |A |.

æ , Tr (αA + βB ) = αTr (A ) + βTr (B ); N (AB ) = N (A ) · N (B ).

¯˛—¯ 9.5.1 ( æ ŁŁ ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º -

). Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º º æŒ º Ø Ł ß A º æ Ł ß ª º λ æ Ł n , Ł øŁ æº -

øŁØ Ł : χ_A (λ ) = λⁿ − Tr (A )λ^{n −1} + ... + (−1)ⁿ N (A ).

˜ Œ º æ . ¨ ,

ø (_{n !} − ₁₎ æº ª ßı.

´ æ łŁıæ (_{n ! − 1)} æº ª ßı æ æ Œ Ø Ø

º ªº Ø Ł ª ºŁ. ˇ æ łŁ æ æº ª ß ª æ λ ßł , n _{− 2} . º ª ß æ λⁿ Ł æ λ^{n −1} º æ æ Ł Ł (_∗) . ´ Ł Ł (_{∗) λ} ⁿ ı Ł æ Œ Ł Ł 1.

˚ Ł Ł Ł λ^{n −1} −α ₁₁ −α ₂₂ −... −α_nn = −Tr (A ). ˇ º

χ_A (λ ) = λⁿ − Tr (A )λ^{n −1} + α_{n −2} λ^{n −2} + ... + α ₁ λ + α ₀ , ª α ₀ = χ_A (0) = = |0 · E − A | = | − A | = (−1)ⁿ |A | = (−1)ⁿ N (A ).

˛ º Ł 9.5.5.	Œ Łæ Ł	æŒŁ Ł Œ	Ł ( Łæº Ł)	Ł-
ß A ß æ æ	n Œ Ø ı	Œ Łæ Ł	æŒ ª ª º	, º -
øŁ , Æø ª	, ºª Æ Ł	æŒ ßŒ	ŁŁ æ ª	º k .
˙ Ł 9.5.1. ´ æ	æ	º k	Æø Æß	ı Œ-

Łæ Ł æŒŁı Œ Ø, ŁºŁ Łı Æß ł , n .

ˇ Ł : k ₌ R,

!

;

.

χ_A (λ ) = 0 ⇒ λ ² + 1 = 0 ⇒ λ ₁ = i, λ ₂ = −i . ´Ł , λ ₁ ,λ ₂ ∈/ ∈_/ R, λ _{1 ,λ 2} ∈ R = C. ´ º Øł ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł Ł ß

A Æ Æ λ ₁ ,λ ₂ ,...,λ_n .

º _{æ Ł} 9.5.1.1_. ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø Ł ß A

æº , Ł Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁı Œ Ø .

˜ Œ _{º æ .} ß Œ Ł ß 9.5.1 Ł ß ´Ł . ˜ Øæ Ł º ,

λ ₁ + λ ₂ + ... + λ ₊ n = −(−Tr (A )) = Tr (A ),

9.5. Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß Ł ºŁ Ø ª

λ ₁ ,λ ₂ ,...,λ_n = (−1)ⁿ · (−1)ⁿ · N (A ) = N (A ).

º _{æ Ł} 9.5.1.2_. ˚ Ł A æ Æ ª Ł º Œ ª , Œ ª æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Łæº ºŁ ß º .

˜ Œ º æ . ´ æ º , |A | 6= 0 ⇔ N (A ) = 06 ⇔ λ ₁ ·λ ₂ ·... ·λ_n 6= 0 ⇔ (∀ 1 6 i 6 n ) λ_i 6= 0.

ˇ æ V Œ ºŁ Ø æ æ k Ł f ∈ L (V ).

ˇ æ e _˜ Æ Łæ V Ł A_{f | e ˜} Ł f æŁ º Æ Łæ e _˜ . Œ Œ Œ

Ł ŁæŁ Æ Łæ , Ł ı Œ Łæ Ł æŒ Ø Ł ß

º ºŁ Ø ª Ł æ .

ˇ º Ł 9.5.1. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ß Æ ßı Ł ß.

˜ Œ º æ . ˇ æ B ∼ A , æ (∃ Q, |Q | 6= 0) B = Q ⁻¹ AQ . — ææ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß B . χ_{B (λ ) =} |_λE −

− B | = |λE − Q ⁻¹ AQ | = |Q ⁻¹ (λE )Q − Q ⁻¹ AQ | = |Q ⁻¹ (λE − A )Q | = = |Q ⁻¹ ||λE − A ||Q | = |λE − A | = χ_A (λ ).

º _{æ Ł .} º ß Ł ß Æ ßı Ł ß.

º _{æ Ł .} Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ºŁ Ø ª -

ŁæŁ ßÆ Æ Łæ , æŁ º Œ ª æ Łº æ -

Ł , ŁæŁ º Œ æ ª ºŁ Ø ª .

˛ º Ł 9.5.6. Œ Łæ Ł æŒŁ ª º ºŁ Ø ª ß æ ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º Ł ß ª ºŁ ت æŁ º º Æ ª Æ Łæ .

˛Æ Ł ı Œ Łæ Ł æŒŁØ ª º ºŁ Ø ª f -

χ_f (λ ). ª χ_f (λ ) = χ_{A f} (λ ).

˛ º Ł 9.5.7. º Tr _{(f )} Ł Ø N _{(f )} ºŁ Ø ª

f ß æ æº Ł Ł ß ª ºŁ Ø ª æŁ-

º º Æ ª Æ Łæ .

˛ º Ł 9.5.8. Œ Łæ Ł æŒŁ Ł Œ Ł ºŁ Ø ª ß æ æ Œ Ł ı Œ Łæ Ł æŒ ª ª º ª ºŁØ ª , º øŁ , Æø æº , ºª Æ Ł æŒ ßŒ ŁŁ æ ª º .

9.6 Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª Ł Ł ß

ˇ æ V ºŁ Ø æ æ º k , f ∈ _{L (V )} . ˇ æ V ⁰

ºŁ Ø æ æ æ æ V . ´ Æø æº f _(V ⁰ ₎ ⊂ _V ,

Æß Œ, f (V ⁰ ) ⊂ V ⁰ .

˛ º Ł 9.6.1. ˇ æ æ V ⁰ ºŁ Ø ª æ æ V ß æ Ł Ł ß æŁ º ºŁ Ø ª f ∈ _{L (V )} ,

æºŁ f _(V ⁰ ₎ ⊂ _V ⁰ , æ º Æ Ø Œ Ł æ æ V ⁰ ı Ł

Œ ª æ æ .

˙ Ø æ Ł Ł ßı Ł Ł ßı æ æ . ˇ æ V ⁰ Ł Ł æ æ . ´ º Æ Ø

Œ a ∈ V ⁰ ,a 6= 0. Œ Œ Œ dim V ⁰ = 1, Œ a

Œ æ Æ Łæ V ⁰ Ł ª V ⁰ = {αa |α ∈ k }. f (a ) Æ Ł º

V ⁰ , Œ Œ Œ V ⁰ Ł Ł . ª f (a ) = αa, a 6= 0,α ∈ k .

˛Æ , æ V ⁰ æ æ Ł a 6= 0, a ∈

V ⁰ , f (a ) = αa , ª α ∈ k . Œ Œ Œ V ⁰ æ æ , a

Œ æ Æ Łæ V ⁰ . ˇ V ⁰ = {βa |β ∈ k }. æ Ł

f (βa ) = βf (a ) = β (αa ) = (βα )a ∈ V ⁰ . ŒŁ Æ f (V ⁰ ) ⊂ V ⁰ , æ

V ⁰ Ł Ł æ æ . ŒŁ Æ Ł Ł -

9.6. Ææ ß Œ ß Ł æ Ææ ß Ł ºŁ Ø ª Ł Ł ß

ßı Ł Ł ßı æ æ Ł Ł æ Œ Ł Ł º ßı

Œ a ∈ V 0 , º Œ ßı f (a ) = αa , ª α ∈ k . ˛ º Ł 9.6.2. Œ º α ß æ æ Ææ ß Ł ºŁ- Ø ª f ∈ L (V ) , æºŁ æ ø æ º Ø Œ a ∈ V Œ Ø, f (a ) = αa . ´ æº Œ a ß æ æ Ææ ß
Œ	ºŁ Ø ª f , Ł º øŁ æŒ º α .
´	æº ª , α Ł a æ Ł º	øŁ ª ª
æ Ææ	Ł Ł æ Ææ ßØ Œ ºŁ Ø ª	f .
˛	º Ł 9.6.3. ˆ , æŒ º α Ł º	Ø æ ºÆ X 6= 0
Ł k n	æ Ł º øŁ ª ª æ Ææ	Ł Ł æ Ææ -
ßØ	Œ Ł ß A ∈ M (n,k ), æºŁ AX = αX .
ˇ	º Ł 9.6.1. ˜º ª , Æß æŒ º α Ł	Œ a ∈ V ÆߺŁ
Ł	º øŁ Ł ª ª æ Ææ ß Ł	Ł æ Ææ ß
Œ	ºŁ Ø ª f Œ ª ºŁ	Ø ª æ -
æ	V Æı Ł Ł æ , Æß α Ł Œ	Ł ßØ æ ºÆ
a ˇ	æŁ º Œ ª Æ Łæ ÆߺŁ Ł º	øŁ Ł ª ª
æ Ææ	ß Ł Ł æ Ææ ß Œ	Ł ß Af ª
ºŁ Ø ª æŁ º ª Æ Łæ .

˜ Œ º æ . ˜ Øæ Ł º , æ f (a ) = αa , ª a 6= 0 Ł α ∈ k ,

ª f (a ) = αa ⇔ f (^ˇ a ) = αa ˇ ⇔ A_f a ˇ = αa ˇ. ˇ Ł a ˇ 6= 0 ⇔ a 6= 0.

¯˛—¯ 9.6.1 (Œ Ł			ŁØ æ Ææ	ª Ł ). ˜º		ª ,
Æß æŒ º α Æߺ æ Ææ			ß	Ł Ł ß A (ºŁ		Ø ª
Œ ª			æ æ	) Æı Ł Ł æ		,
Æß α Æߺ ı Œ Łæ Ł			æŒŁ Œ	Ł ß A (ºŁ Ø		ª -
), º øŁ æ			º .
˜ Œ º æ . 1) ˝ Æı			Ł æ .
ˇ æ α º æ æ Ææ		ß Ł			Ł ß A ,		,
AX = αX,			(9.2)
ª	X 6= 0 Ł X ∈ kn . ˇ	Łł æ (9.2): αEX − AX = 0,
(αE − A )X = 0.			(9.3)
˝	æ (9.3)	æ Œ Œ			æŁæ		n -
ºŁ	Ø ßı ŁØ æ n	Ł æ ß Ł. æŁæ			Łæ		-
Ł	Ł . ´Ł ,	º ß ł Ł			Ø æŁæ ß		º æ
æ	ºÆ X ∈ kn , X 6= 0.	ª æº æ Ł Ł Œ Ł Ł ºŁ Ł					-

º ª ł Ł ˛ ¸ æº , ºŁ º æŁæ ß (9.3) º

Æß º , æ |αE − A | = 0. ŒŁ Æ χ_A (α ) = 0, æº º α º æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł ß A Ł α _{∈ k} .

2) ˜ æ æ .

ˇ æ α _{∈ k} Ł α º æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Œ Ł ß A .

ª χ_A (α ) = 0, , |αE −A | = 0. — ææ Ł æŁæ n -ºŁ Ø ßı ŁØ æ n Ł æ ß Ł (9.3)

(αE − α )X = 0,

ª X æ ºÆ Ł æ ßı. ˇ æº æ Ł Ł Œ Ł Ł ºŁ Ł -

º ª ł Ł ˛ ¸ æº , æŁæ (9.3) Ł º ł Ł X 6_{= 0} . º ł Ł X ∈ _k ⁿ , Œ Œ Œ º ß -

Ł ß (_αE − _{A )} Ł º º k . ˇ æ Ł º ł Ł æŁæ (9.3) º Ł æ . ` Ł αEX − AX = 0,

æ AX = αX , ª X 6= 0 Ł X ∈ kⁿ . ˇ º Ł 9.6.2 Ł , α

º æ æ Ææ ß Ł Ł ß A .

º _{æ Ł} 9.6.1.1_. ¯æºŁ æ º k ºª Æ Ł æŒŁ Œ , æ æ Ææ ß Ł Ł ß A æ æ ı Œ Łæ Ł æŒŁ Ł

Œ Ł.