Название: Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 144.6 Kb
Скачать файл: referat.me-218350.pdf
Краткое описание работы: 1 ˝ ºŁ Ø ß Ł — ææ Ł æ ı Ł ŁØ Ø ∗ º Œ ßı æ
Решение системы линейных уравнений методом Крамера и с помощью расширенной матрицы
1 ˝ ºŁ Ø ß Ł
— ææ |
Ł |
æ |
ı |
Ł |
ŁØ |
Ø x = x ∗ , |
º |
Œ |
ßı æ |
ºŁ |
æ |
||||
f (x ) = 0. |
(1) |
´ ŁŁŁ f (x ) - Œ ºŁ Ø Œ Ł x .
¯æºŁ ŒŁ Ł æ ø æ , Ł ß æ Œ Ł -
Ł (1). ˚ ß æ æ ß , æºŁ f 0 (x ∗ ) 6= 0 Ł Œ ß , æºŁ f (k ) (x ∗ ) = 0 º k = 1,...,n − 1, f (n ) (x ∗ ) 6= 0. º n ß æ Œ æ Œ .
1.1 ˛ º Ł Œ Ø
ˇ º Ł Œ Ø Ł (1) Ł º Ł æ -
Œ ª Ł º (a,b ), Œ º Ł Œ Ł . ˛æ Ø º Ł Œ Ø æº Ł
[1] . ˇ æ Œ Ł º Ł ß Œ -
Œ [a,b ], Œ ı Œ ª Ł Ł Ł ßı Œ .
ª a Ł b Ø æ ı Æß Œ c , Œ Ø Œ Ł Æ ø æ º :
f (c ) = 0, a < c < b.
¯æºŁ Œ Ł f (x ) Ł º , Ł ª º Ł
º Œ Ł Œ Ł f (x ) = 0 .
ºª Ł º Ł ºŁ æº øŁ Æ
YesDo:=True; While YesDo do
Input a,b, M ; h = (b − a )/M ; fmin := 1. 0e 20; xi := a ; fi := f (a ); for i:=1 to M do begin {i }
x i −1 := x i ; f i −1 := f i ; xi := a + h ∗ i ; fi := f (xi ); If fi < fmin Then begin {min }
f min := f i ; x min := x i ; end; {min } If fi −1 ∗ fi ≤ 0 Then
Output x i −1,f i −1, x i ,f i ; end; {i }
Output f min ,x min ; Input YesDo; end; {While }
1.2 ÆŁæ Œ ŁØ ÆŁæ Œ ŁØ( º Ł º ) æ æº ø Ł -
Ł ææ : Ł º a,b , Œ (fa = f (a )) · (fb = f (b )) < 0,
ºŁ æ º - xs = (a +b )/ 2 Ł ß Łæº æ fs = f (xs ). ¯æºŁ fs ·f (a ) ≥ 0, a := xs , fa := fs , Ł b := xs , fb := fs ; ˜ º ß º æ æº øŁØ ł ª, Ł . .
˝ i- ł ª ŁÆºŁ ß Ł Œ æº Ł º æ (a +b )/ 2,
Œ Ø ª ł æ Ł - º æ (b − a )/ 2.
ÆŁæ Œ ŁØ Łæ æº øŁ ºª Ł [2]
1: Input a,b, δ,N ;
2: i := 0;
3: fa := f (a ); fb := f (b );
4: Repeat
5: xs := (a + b )/ 2; fs := f (xs );;
6: If fs ∗ fa ≥ 0
7: Then begin fa := fs ; a := xs end;
8: Else begin fb := fs ; b := xs end;
9: i := i + 1;
10: xi := (a + b )/ 2;
11: dx := (b − a )/ 2;
12: Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N ));
13: Output i,xi ,dx ;
1.3 ı
´ ı æ º Ł Œ (a,b ) º Łæ º æ ºŁØ Ł º Ł ª Ł ßı ŁØ Œ ŁŁ f (x )
f ˆ(t ) = f (a )(1 − t ) + f (b )t, 0 ≤ t = (x − a )/ (b − a ) ≤ 1.
º ø Œ º Œ ı Ł æ Ł Ł f ˆ (t ) = 0:
t ∗ = f (a )/ (f (a ) − f (b )), xs = a + t ∗ (b − a );
˜ º Łæı Ł æ Łª ª Ł Ł º Œ , Œ Œ ÆŁæ Œ ŁØ. ı Łæ æº øŁ ºª Ł
1: Input a,b, δ,N ;
2: fa := f (a ); fb := f (b );
3: i := 0;
4: fa := f (a ); fb := f (b );
5: Repeat
6: y := x 2 − x 1;
7: t := fa/ (fa − fb ); xs := a + y ∗ t
8: fs := f (xs );;
9: If fs ∗ fa ≥ 0
10: Then begin fa := fs ; a := xs end;
11: Else begin fb := fs ; b := xs end;
12: i := i + 1;
13: xi := (a + b )/ 2;
14: dx := (b − a )/ 2;
15: Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N ));
16: Output i,xi ,dx ;
ÆŁæ Œ ŁØ Ł |
ı |
º |
Łæ |
º |
ª |
æº |
! |
1.4 æ º Ł
¨ ª æ æ Ł ı ºŁ Ø ª Ł (1) Œ
ÆßŒ Ł Ł º Ł
dx/dt = f (x ), x (0) = x 0 . (2)
Ł º ƺ æ Ø Ł ß º ß æ Ł ß æ æ Ł , Æß Ł t → ∞ x (t ) → x ∗ . ª ŁÆºŁ ł Ł
ŁŁ (2) æ ø æ Ø Ł ª Łæº ª ( º -
æ |
Æ º łŁı t ) ı ł ŁÆºŁ Ł Œ ł Ł |
(1). |
||
ˇ |
æ ØłŁ ºª Ł Æ Øº , º |
øŁØæ |
Ł |
|
æ |
Ø Ł ŁŁ |
|||
xi +1 = xi + τf (xi ). |
(3) |
|||
æ |
º Ł Łæ æº øŁ ºª |
Ł |
||
1: |
Input |
x 0 , τ , δ, N ; |
||
2: |
i := 0; |
|||
3: |
Repeat |
|||
4: |
dx = τ ∗ f (xi ); |
|||
5: |
i := i + 1; |
|||
6: |
xi := xi + dx ; |
|||
7: |
Until ((|dx | ≤ δ |xi |) OR (i ≥ N )); |
|||
8: |
Output |
i,xi ,dx ; |
||
˜º |
ª ł |
æ Ł ²k = xk − x ∗ Ł (3) º æ æº ²k +1 = ²k + τ (f (xk ) − f (x ∗ )). |
ø |
Ł |
ˇ |
æ Ł |
f (xk ) − f (x ∗ ) = f 0 (x ˜)²k , º Ł æ ł ²k +1 = (1 + τf 0 (x ˜))²k , |
Ł |
|
Ł Œ ª æº , º æı Ł æ Ł æ |
º Ł º ß |
ß º æ æº øŁ æº Ł : æº º æ {xk ,k = 0, 1,... }º ı Ł æ Æº æ Ł |xk −x ∗ | < R , Œ Ø Ł ª Ł-
Ł æ ı æ Ø Œ. ª ߯ τ , º ø ª
æº Ł ,
sign (τ ) = −sign (f 0 ), |τ | < 2/ max|f 0 |,
Æ æ Ł æı Ł æ æ º Ł .
1.5 ˝
˝ º Ł (1) Łæß æ Ł
xi +1 = xi − [df/dx ]−1 f (xi ). (4)
˛ º Ł :
ª , Œ Ł g (x ) ∈ Lipc (X ) , æºŁ |g (x ) − g (y )| ≤ c |x − y | º æ ı (x,y ) ∈ X .
( æı Ł æ Ł ˝ ). ˇ æ f : D → R ª D - Œ ß ßØ Ł º , R - ø æ æ ,
Ł æ f 0 ∈ Lipc (D ). ˇ º Ł , º Œ ª ρ > 0 |f 0 | ≥ ρ Ł æ ı x ∈ D . ¯æºŁ Ł f (x ) = 0 Ł ł Ł , æ ø æ
Œ η > 0, Œ , æºŁ |x 0 − x ∗ | < η , æº º æ , º Ø
xk +1 = xk − f (xk )/f 0 (xk ), k = 0, 1, 2,...,
æ ø æ Ł æı Ł æ Œ x ∗ . ` º ª , º k = 0, 1, 2,...
.
˙ Ł 1. ˚ Œ æº Ł ß, Ł f 0 (x ∗ ) = 06 æı Ł æ Œ Ł . ¯æºŁ f 0 (x ∗ ) = 0 , º Œ ºŁ Ø .
˙ Ł 2. ˜º æı Ł æ Ł ˝ º ŁÆºŁ Ł x 0 º Æß æ ÆºŁ Œ Œ Œ . ¯æºŁ ææ Ł |x 0 −x ∗ |
ºŁŒ , ˝ Æø æı Ł æ . ˝ ºŁ æº øŁ ºª Ł
1: Input x 0 , δ, N ;
2: i := 0; 3: Repeat
4: df := [df/dx ](xi );
5: dx = f (xi )/df ;
6: i := i + 1;
7: xi := xi − dx ;
8: Until ((|dx
| ≤ δ
|xi
|) OR (i
≥ N
)); 9: Output
—Łæ. 1: — ÆŁ |
Ł º æŒ æ Ł Ł |
ex − a − bx 3 = 0 |
1.6 æ |
Ł |
|
1. ´ Œ æ 1-ª |
æ ª Łæ º æ Ł |
|
f (x ) = exp(x ) − a − bx 3 = 0. |
(5) |
|
´ ŁæŁ æ Ł |
ŁØ a,b |
Ł Ł |
m = 0, 1, 2, 4 Œ |
. ˜º Łææº Ł Œ 1-Ø |
Ł Ø Œ ŁŁ |
f (x ) º ı |
Ł Œ Ł Ł |
g (x ) = f 0 (x ) = exp(x ) − 3bx 2 = 0. (6)
˝ Łæ Œ 1 Œ ÆŁ Ł º æŒ æ Ł a,b ƺ æ Ł æ ºŁ ß Łæº Œ Ø Ł (5).
2. ´ Œ æ 2-ª æ ª Łæ º æ Ł
f (x ) = exp(−1/ (x − 1)2 ) = 0. (7)
Ł Ł Ł æ ߨ Œ x ∗ = 1 Æ æŒ Ø Œ æ Ł( f (k ) (1) = 0, k = 0, 1,... ). ˇ Ł f 0 (x ) < 0 º x < 1 Ł f 0 (x ) > 0 º x > 1 .
1.7 ˚ ß Œæ Ł ß
1. ˜º Œ ŁŁ Ł (5) æ Ł a = 1. 15,b = 1. 25 Ø Ł
ª Ł ß Œ Ø. ˜º Œ ŁŁ Ł (6) æ b = 1. 25 ØŁ ª Ł ß Œ Ø Ł ŒŁ æ Ø ø æ Ø æŁ.
˚ º Ł Ł :
Œ Ł f (x ): Œ Ł( ŁÆºŁ )
x 1 = −0. 83, x 2 = 0. 14, x 3 = 1. 20, x 4 = 5. 14
Œ Ł g (x ) = f 0 (x ): ŒŁ Ł Œ Ł
(−... −) − 0. 41 (+... +) 0. 75 (−... −) 4. 18 (+... +)
2. ˛ Łæ ß Ł ßł Ł(ÆŁæ Œ ŁØ, ı , æ º Ł , ˝ -
) º ŁØ δ = 1. 0e − 2, 1. 0e − 3, 1. 0e − 4, 1. 0e − 5 Ø Ł Œ Ł Œ ŁŁ (5)æ Ł Ł a = 1. 15,b = 1. 25. ˜º Łı Œ Ø æ æ Ł ÆºŁ ß ŁæŁ æ Ł Łæº Ł ŁØ δ .
3. æ º Ł ß æ Ø Ł Œ Œ ŁŁ (5), Æ Ł τ , º Œ ßı æı Ł æ Ł. ˚ ŒŁ Æ º æ æı Ł æ Ł Ł ª ææ ?
4. ˝ :
æº Œ Œ æ Ł 2 ˝ æı Ł æ ºŁ Ø , . .æ ø æ
º , æº æ ª Œ . ˇ Ł , Æ ºŁ Ł ŁŁ ߨ ˝
xi +1 = xi − 2[df/dx ]−1 f (xi )
Ł º Œ Œ æ Ł 2 æŒ æ æı Ł æ Ł, Ł æ ߨ º æ ª Œ . ˜º ŒŁ Łæ º Ł
h (x ) = sin((x − 1)2 ) = 0.
˜º Ł δ = 1. 0e − 7 Ø Ł Œ ª Ł æ ß Ł Ł Ł Ł ß ˝ . Ł Łæº Ł ŁØ.
[1] 1ˇ ` º -˚ łŁ
[2] 2´ Ł Ł ßı Ł ºª Ł ı Łæ º æ º Œ æ Ł Ł ŁØ. ˝ -
Łı Ł Ł Ł , Łæ º æ Œ ß Ł Øº it_gen.pdf
Похожие работы
-
Решения с подробным описанием Векторы
Çàäà÷à 1. Äàíû âåêòîðû a = 3i + j è b = 2i + 3j.
-
Аддитивные проблемы теории чисел
Ł 1 ˇ ƺ ß Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º. 3 1.1 ˇ ƺ ´ Ł ª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
-
Геометрия 10 класс Бевз профиль
ШАНОВНІ СТАРШОКЛАСНИКИ! Ãåîìåòðіÿ – îäíà ç íàéäàâíіøèõ, íàéøëÿõåòíіøèõ, êîðèñíèõ і öіêàâèõ íàóê. Ó íіé – çãóñòîê çíà÷íîї ÷àñòèíè çàãàëüíîëþäñüêîї êóëüòóðè, íàäáàíîї ëþäñòâîì çà êіëüêà òèñÿ÷îëіòü. À ùå âîíà є íåçàìіííèì іíñòðóìåíòàðієì äëÿ íàóêîâöіâ і âèðîáíè÷íèêіâ, çàñîáîì äëÿ ðîçâèòêó ëîãі÷íîãî ìèñëåííÿ, ïðîñòîðîâîї óÿâè, ðàöіîíàëіçàòîðñüêèõ çäіáíîñòåé òà іíøèõ êîðèñíèõ ÿêîñòåé âîëі і õàðàêòåðó ìîëîäі.
-
Математическая логика и теория алгоритмов 3
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
-
Антье и ее окружение
Антье и ее свойства. Графики антье.
-
Три кризиса в развитии математики
РЕЦЕНЗИЯ на дипломную работу студента V курса физико-математического факультета АГПИ Большакова А. А. на тему: “Три кризиса в развитии математики”
-
Преобразования плоскости, движение
Преобразования плоскости Отображение плоскости на себя Отображенем плосости на себя называется такое преоброзование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая любая точка плоскости оказывается сопоставленой другой точке. Если при отображении плоскости на себя фигура F преобразовывается в фигуру F', то говорят, что фигура F' -
-
Алгебра
˛˜¯—˘ ˝¨¯ 6 ª º ß 3 6.1 ˚ º ª º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6.2 º ŁŁ æ æ Œ . ` . ı ˆ 6
-
Задачи по Высшей математике
Вариант № 2 Задача 1 Найти объединение и пересечение множеств А и В, если А ={1;3;5} и B={0;1;2;-3;4;-5}. Решение: Объединение множеств А и В А В= {0;1;2;3;5;-3;4;-5},
-
Системы линейных уравнений
Критерий совместности. Метод Гаусса. Формулы Крамера. Матричный метод.