Название: Некоторые примеры некоммутативных алгебр

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 316.94 Kb

Скачать файл: referat.me-216360.docx

Краткое описание работы: Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет»

Некоторые примеры некоммутативных алгебр

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Московский педагогический государственный университет»

математический факультет

кафедра Алгебры.

РЕФЕРАТ

По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».

Выполнила:

Студентка

3 группы 6 курса

Браницкая Нина Анатольевна

Научный руководитель:

Ширшова Елена Евгеньевна.

Москва, 2010

Содержание:

Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4

Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем 3

a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4

b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4

2. Множество квадратных матриц над полем 5

3. Тело кватернионов К над полем 5

a. Основные свойства.......................................................................................................... 6

4. Алгебра Грассмана над полем 9

a. Следствия..................................................................................................... 10

5. Список литературы............................................................................................................ 11

1. Основные понятия и определения.

Определение: Пусть F – поле, V - некоторое множество, на котором заданы следующие операции:

1. операция сложения:

2. операция умножения:

Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F , если выполняются следующие условия:

- абелева группа;

Элементы множества V называются векторами , а элементы поля F – скалярами .

Определение: Векторное пространство А над полем Р называется алгеброй , если выполняются следующие условия:

Определение (И.Л. Бухбиндер): Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй , если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:

.

Определение: Алгебра называется ассоциативной , если .

Определение: Алгебра называется коммутативной , если .

Определение: Если в алгебре существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей , а элемент - единицей алгебры .

2. Примеры некоммутативных алгебр.

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е. , где ;

3. векторы , и образуют правую тройку векторов.

Обозначение: , где .

Свойства векторного произведения.

1. При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть

Доказательство: Векторы и коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, .

2. Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть .

Доказательство : Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы , лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые (), имеют одинаковую длину ()

Поэтому . Аналогично доказывается при .

3. Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть.

Доказательство: . Следовательно, .

В частности, .

4. Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть

Выражение векторного произведения через координаты.

Таблица векторного произведения векторов

Пусть заданы два вектора и , такие, что ,

Векторное произведение этих векторов вычисляется по формуле: .

Проверим, является ли векторное пространство линейной алгеброй.

Следовательно, по определению И.Л. Бухбиндера, - алгебра.

Проверим, является ли ассоциативной алгеброй.

Следовательно, не является ассоциативной алгеброй.

Проверим, является ли коммутативной алгеброй.

, такие образом, .

Следовательно, не является коммутативной алгеброй.

Замечание: является неассоциативной, некоммутативной алгеброй без единицы.

2. Множество квадратных матриц над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет обычное произведение матриц

.

Замечание: является некоммутативной, ассоциативной алгеброй с единицей .

3. Тело кватернионов К над полем . Роль бинарной операции умножения здесь играет обычное умножение кватернионов.

,

где - мнимые единицы со следующей таблицей умножения:

Определим бинарные операции сложения и умножения кватернионов:

Определение: Кватернион называется сопряженным к .

Определение: называется модулем кватерниона .

Кватернионы можно определить как комплексные матрицы с обычными матричными произведением и суммой.

Рассмотрим базис:

Проверим свойства мнимых единиц кватернионов на данных элементах базиса:

Любой кватернион представим в виде квадратной матрицы:

,

здесь - комплексно-сопряженные числа к .

Основные свойства.

1. комплексному числу соответствует диагональная матрица;

2. сопряженному кватерниону соответствует сопряженная транспонированная матрица .

3. квадрат модуля кватерниона равен определителю соответствующей матрицы .

Докажем это свойство:

Следовательно, .

Проверим, является ли алгеброй.

1. - векторное пространство?

а). - абелева группа?

1).

2).

3).

4).

Из 1) - 4) следует, что - абелева группа.

б).

в).

г).

д).

Из а) - д) следует, что - векторное пространство.

2.

Аналогично проверяется, что

3.

Аналогично проверяется, что .

Из 1-3 следует, что - алгебра над полем .

Замечание: - некоммутативная алгебра с единицей Е над полем .

4. Алгебра Грассмана над полем .

Определение: Ассоциативная алгебра с единицей называется алгеброй Грассмана , если в ней существует система линейно-независимых образующих элементов , обладающих свойствами:

(a) *свойство антикоммутативности* (1)

(b) любое другое соотношение между образующими элементами является следствием соотношения (1), в частности

Обозначение: - алгебра Грассмана с образующими элементами.

Выясним, как выглядит произвольный элемент алгебры Грассмана.

Начнем с алгебры . В этом случае имеется только один образующий элемент , причем , и, поэтому . Следовательно, произвольный элемент алгебры есть .

Рассмотрим алгебру , содержащую два образующих элемента , причем . Путем их перемножения можно построить еще один элемент . Таким образом, произвольный элемент алгебры выглядит так: .

Обратимся теперь к общему случаю . Здесь мы имеем образующих элементов . Перемножая эти элементы получим мономы , где индексы принимают значения .

Заметим теперь, что любой моном , где , всегда обращается в нуль. Дело в том, что в этом случае среди сомножителей какой-нибудь из элементов встретится, по крайней мере, два раза. Используя соотношение (1) переставим сомножители так, чтобы возникло произведение .В результате, мы получаем следующие независимые мономы: . Следовательно, произвольный элемент алгебры имеет вид:

(2)

где . По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до в каждом слагаемом.

Следствия.

1 . Любой моном, содержащий ровно сомножителей, равен с точностью до знака произведению .

2 . Рассмотрим соотношение (2),оно представляет собой разложение элемента некоторого линейного пространства по базису, образованному линейно-независимыми мономами

Подсчитаем число базисных элементов.

Число образующих равно , число мономов - числу сочетаний из элементов по 2, то есть , число мономов - числу сочетаний из элементов по 3, то есть , и так далее.

В результате число базисных элементов в соотношении (2) составляет

Таким образом, алгебру Грассмана можно рассматривать как линейное пространство размерности .

Список литературы.

1. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1976.

2. Зорич В.А. Математический анализ. М.: Наука, 1981. Т.1.

3. Курош Л.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1965.

4. Buchbinder I.L., Kuzenko S.M. Ideas and Method of Supersymmetry and Sypergravity or a Walk through Superspace.Bristol; Philadelphia:IOP Publ., 1995.