Название: Теорема Бернулли Закон распределения Пуассона Критерий Колмогорова
Вид работы: курсовая работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 100.28 Kb
Скачать файл: referat.me-216377.docx
Краткое описание работы: Московский Государственный Авиационный Институт (Технический Университет) Филиал „Взлёт“ Курсовая работа «Теорема Бернулли. Закон распределения Пуассона. Критерий Колмогорова»
Теорема Бернулли Закон распределения Пуассона Критерий Колмогорова
Московский Государственный Авиационный
Институт
(Технический Университет)
Филиал „Взлёт“
Курсовая работа
«Теорема Бернулли. Закон распределения Пуассона. Критерий Колмогорова»
Задание 1. Проверка выполнимости теоремы Бернулли на примере вероятности прохождения тока по цепи
Теорема утверждает, что при большом числе опытов частота события приближается (точнее - сходится по вероятности) к вероятности этого события. Она устанавливает факт сходимости по вероятности тех или иных случайных величин к постоянным, не случайным величинам.
Краткая теория:
Теорема Я. Бернулли: при увеличении количества опытов, частота появлений событий сходится по вероятности к вероятности этого события.
где ,
- сколь угодно малые положительные числа.
Вероятность того, что в n независимых испытаний, в которых вероятность появления события равна р(0<р<1), событие наступит ровно к раз(безразлично, в какой последовательности), равна
, или
где q=1-p
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит:
a) менее к раз;
b) более к раз;
c) не менее к раз;
d) не более к раз; - находятся по формулам:
a)
;
b)
;
c)
;
d) .
Теорема Я. Бернулли утверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но при изменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема, устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта, называется теоремой Пуассона.
Схема цепи:
![]() |
||||
![]() |
![]() |
Вычисление вероятности:
Пусть вероятности безотказной работы элементов выглядят следующим образом:
P1 = 0.5
P2 = 0.45
P3 = 0.6
P4 = 0.9
P5 = 0.39
P6 = 0.42
P7 = 0.6
Текст программы:
Program Shiva;
Uses CRT;
Label Start;
Const
k = 7; n = 100000;
Top = 60; Left = 55; Width = 360; Height = 380;
Type Real = Extended;
Var
GrDriver, GrMode : Integer;
R : Array[1..k] Of Record P : Real; Works : Boolean; End;
Fr : Real; j : Byte;
m, i, w : LongInt; Gone : Boolean;
Function Calc : Real;
Var P1, P2, P3, P4 : Real;
Begin
Calc := (R[1].P +R[2].P-R[1].P*R[2].P+R[3].P-R[3].P*
(R[1].P+R[2].P-R[1].P*R[2].P))*R[4].P*
(R[5].P +R[6].P-R[5].P*R[6].P+R[7].P-R[7].P*
(R[5].P+R[6].P-R[5].P*R[6].P));
End;
Procedure Init_Condit;
Var i : Byte;
Begin
For i := 1 To k Do Begin
R[i].Works := False;
If Random <= R[i].P Then R[i].Works := True;
End;
Gone := (R[1].Works Or R[2].Works Or R[3].Works)
And R[4].Works And (R[5].Works Or R[6].Works Or R[7].Works);
End;
Begin
ClrScr; Randomize;
R[1].P := 0.5; R[2].P := 0.45; R[3].P := 0.6; R[4].P := 0.9;
R[5].P := 0.39; R[6].P := 0.42; R[7].P := 0.6;
WriteLn; WriteLn(' Расчетнаявероятность: ', Calc:0:3); WriteLn;
WriteLn(' n p*'); WriteLn; m := 0; w := 0;
For j := 1 To 18 Do Begin
For i := 1 To 1000 Do Begin
Inc(w);
Init_Condit;
If Gone Then Inc(m);
End; Fr := m / w;
WriteLn(w : 10, Fr:15:3);
End;
Repeat Until KeyPressed;
End.
Результаты программы:
Расчетная вероятность: 0.688
N,числоопытов |
p*,частота |
1000 | 0.675 |
2000 | 0.678 |
3000 | 0.676 |
4000 | 0.680 |
5000 | 0.681 |
6000 | 0.682 |
7000 | 0.684 |
8000 | 0.683 |
9000 | 0.683 |
10000 | 0.684 |
11000 | 0.685 |
12000 | 0.685 |
13000 | 0.685 |
14000 | 0.686 |
15000 | 0.687 |
16000 | 0.687 |
17000 | 0.687 |
18000 | 0.688 |
Проверка в ручную:
Первый способ:
Вывод: при большом числе опытов частота события приближается (точнее - сходится по вероятности) к вероятности этого события. Следовательно, можно сделать вывод, что теорема Бернулли верна.
Задание 2,3. Моделирование дискретной случайной величины, имеющей закон распределения Пуассона. Подтверждение гипотезы о том, что полученная случайная величина имеет данный закон распределения с помощью критерия Колмогорова.
Закон Пуассона
Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать целые, неотрицательные значения:0,1,2,... ,m,...
Говорят, что эта СВ X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение т, выражается формулой:
(m=0,1,2...), а - некоторая положительная величина называемая параметром закона Пуассона. Ряд распределения СВ X, распределенный по закону Пуассона, имеетвид:
![]() |
0 | 1 | 2 | … | m | … |
![]() |
![]() |
(a/1!)![]() |
(а2
/2!)![]() ![]() |
… | (am
/m!)![]() |
… |
Это распределение зависит от одного параметра а, на рисунке 1 показан вид распределения Пуассона при различных а.
Математическое ожидание данного распределения случайной величины равно параметру закона Пуассона а: ; Дисперсия также равна этому параметру: Dx
=a. Таким образом дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна ее математическому ожиданию и равна параметру а.
Это свойство применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина X, распределена по закону Пуассона, для этого определяют из опыта статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то гипотеза является правдоподобной.
Дискетной называется случайная величина возможные значения которой есть отдельные изолированные числа(т.е. между двумя возможными соседними значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).
Законом распределения называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Текстпрограммы:
Program Puasson_Kolmagor;
Uses CRT, Graph;
Const a = 2.0; d = 8; n = 500; k = d+1; Lkr = 1.2;
Top = 68; Left = 45; Width = 550; Height = 340; Ny = 14;
Type Real = Extended;
Var GrDriver, GrMode, X1, Y1, X2, Y2 : Integer;
i, j, w : Word; SumS, SumA, Ran, Dk, Kol : Real;
Xmin, Xmax, Ry, Mx, Dx, Rx, Sx, Ex, Sk, h : Real;
HZoom, VZoom, Lx, Ly : Real; Txt : String[20];
S, AL, AY, Y : Array[0..d] Of Real;
X : Array[1..n] Of Byte;
Procedure Bue; Far;
Begin
AssignCrt(Output); Rewrite(Output); CloseGraph;
Window(1, 1, 80, 25); ClrScr;
WriteLn ('Programed by Yuri Melnikov RD-2');
WriteLn ('All rights reserved. (c) 2004.');
WriteLn ('Thanks for attention.');
End;
Procedure Pause;
Var TextAtt, i : Byte;
Begin
Delay(1000); While KeyPressed Do ReadKey;
TextAtt := TextAttr; TextColor(7);
GoToXY(1, 25); For i := 1 To 5 Do WriteLn;
Write(' Press any key to continue or <ESC> to exit...');
Repeat Until KeyPressed; If ReadKey = #27 Then Halt;
TextAttr := TextAtt; GoToXY(1, 1); ClearDevice;
End;
Function Pwr(x, p: Real) : Real; {Возведениевстепень}
Begin
If x > 0 Then Pwr := exp(p*ln(x))
Else Pwr := 0;
End;
Function Fact(x : Word) : Real;
{Справка для Егоровой Т.П. Считает до 1000!}
Var i : Word; F : Real;
Begin
F := 1;
If x > 0 Then For i := 1 To x Do F := F * i;
Fact := F;
End;
Function f(m : Word) : Real;
Begin
If m >= 0 Then f := Pwr(a, m)*exp(-a) / Fact(m)
Else f := 0;
End;
Begin
Assign(Output, ''); Rewrite(Output); Randomize; ExitProc := @Bue;
DetectGraph(GrDriver, GrMode); InitGraph(GrDriver, GrMode, 'BGI');
SumS := 0;
For i := 0 To d Do Begin
S[i] := f(i); SumS := SumS + S[i];
End;
For i := 0 To d Do Begin al[i] := 0;
For j := 0 To i Do al[i] := al[i] + S[j] / SumS;
End;
For w := 1 To n Do Begin
Ran := Random;
For i := 0 To d Do Begin
If al[i] > Ran Then Begin
x[w] := i; Break;
End;
End;
End; WriteLn; Write(' Смоделирована ');
WriteLn('последовательность случайных чисел (з. Пуассона):');
WriteLn; Mx := 0;
For i := 1 To n Do Begin
Write(X[i]:2, ' ');
Mx := Mx + X[i] / n;
End; Pause; Dx := 0; Sk := 0;
Xmin := X[1]; Xmax := Xmin;
For i := 1 To n Do Begin
Dx := Dx + Sqr(x[i]-Mx) / (n - 1);
If Xmin > X[i] Then Xmin := X[i];
If Xmax < X[i] Then Xmax := X[i];
End;
Sx := Sqrt(Dx); WriteLn;
Rx := d; h := Rx / k; Ex := -3;
For i := 1 To n Do Begin
Sk := Sk + Sqr(x[i]-Mx)*(x[i]-Mx)/(Dx*Sx*k);
Ex := Ex + Sqr(x[i]-Mx)*Sqr(x[i]-Mx)/(k*Sqr(Dx));
End;
WriteLn(' Диапазонзначений: ', Xmin:0:3, ' - ', Xmax:0:3);
WriteLn(' Мат. ожидание: ', Mx:0:3);
WriteLn(' Дисперсия: ', Dx:0:3);
WriteLn(' Ср. кв. отклонение: ', Sx:0:3);
WriteLn(' Коэффициент скошенности: ', Sk:0:3);
WriteLn(' Эксцесс: ', Ex:0:3); Pause;
For i := 1 To n Do Begin
j := Trunc((x[i]-Xmin) / h); If j > d Then j := d;
y[j] := y[j] + 1/n;
End; Dk := 0;
For i := 0 To d Do Begin ay[i] := 0; al[i] := 0;
For j := 0 To i Do Begin
ay[i] := ay[i] + y[j];
al[i] := al[i] + f(j);
End;
If Dk < Abs(ay[i]-al[i]) Then Dk := Abs(ay[i]-al[i]);
End; Ry := 0;
For i := 0 To d Do Begin
If Ry < y[i] Then Ry := y[i];
End;
HZoom := Width / Rx; VZoom := Height / Ry;
WriteLn; WriteLn(' Гистограмма смоделированной СВ :');
Lx := Rx / k; Ly := Ry / Ny; SetTextStyle(0,1,0);
SetViewPort(Left, Top, Left + Width, Top + Height, False);
For i := 0 To k Do Begin
X1 := Round(Lx*i*HZoom);
SetColor(7); Line(X1, 0, X1, Height + 5);
Str((Lx*i+Xmin):0:2, Txt);
OutTextXY(X1+4, Height+10, Txt);
SetColor(DarkGray); Line(X1, 0, X1, Height);
End; SetTextStyle(0, 0,0);
For i := 0 To Ny Do Begin
Y1 := Round(Height-Ly*i*VZoom);
SetColor(7); Line(-5, Y1, Width, Y1); Str(Ly*i:0:2, Txt);
OutTextXY(-40, Y1-4, Txt);
SetColor(DarkGray); Line(0, Y1, Width, Y1);
Y1 := Round(Height-Ly*(i-0.5)*VZoom);
If i > 0 Then Line(0, Y1, Width, Y1);
End;
SetColor(White); SetFillStyle(8, 7);
For i := 1 To k Do Begin
X1 := Round((i-1)*Lx*HZoom-Lx*HZoom*0.05);
X2 := Round(i*Lx*HZoom-Lx*HZoom*0.95);
Y1 := Round(Height - y[i-1]*VZoom); Y2 := Height;
Bar3D(X1, Y1, X2, Y2, 0, False);
End;
MoveTo(0, Round(Height-f(0)*VZoom));
For i := 1 To d Do
LineTo(Round(i*HZoom), Round(Height-f(i)*VZoom));
Line(0, -30, 0, Height+5); Line(0, -28, 2, -15); Line(0, -28, -2, -15);
Line(-5, Height, Width + 30, Height);
OutTextXY(-36,-30,'f(x)');
OutTextXY(Width+20, Height+5,'x');
Line(Width + 28, Height, Width + 15, Height-2);
Line(Width + 28, Height, Width + 15, Height+2);
Pause; WriteLn;
Kol := Dk * Sqrt(n);
WriteLn(' Критерий Колмогорова:'); WriteLn;
WriteLn(' F(x) F~(x) '); WriteLn;
For i := 0 To d Do WriteLn(al[i]:10:2, ay[i]:14:2);
WriteLn; WriteLn(' Максимум модуля разности: ', Dk:0:2);
WriteLn(' Значение лямбда: ', Kol:2:2);
WriteLn(' Лямбда критическое (а=0.1): ', Lkr:2:2);
Write(' Так как ', Kol:0:2, ' ');
IfKol < LkrThenBegin
WriteLn('< ', Lkr:0:2, ' то расхождения можно считать случайными.');
WriteLn(' Нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении');
Write(' данной совокупности по закону Пуассона.');
End;
If Kol > Lkr Then Begin
WriteLn('> ', Lkr:0:2, ' то расхождения следует считать неслучайными.');
WriteLn(' Нет оснований принять гипотезу о распределении');
Write(' данной совокупности по закону Пуассона.');
End;
Pause;
End.
Результаты работы программы
Смоделирована последовательность случайных чисел (з.Пуассона)
F(x) F~ (x)
0.14 0.15
0.41 0.45
0.68 0.71
0.86 0.88
0.95 0.95
0.98 0.98
1.00 0.99
1.00 1.00
1.00 1.00
Воспользуемся критерием Колмогорова. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистическим распределениями рассматривается максимальное значение модуля разности между статистической функцией распределения F*(x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x).
D = max | F*(x)- F(x)|
D = 0.04
Далее определяем величину l по формуле:
,
где n – число независимых наблюдений.
Основанием для выбора в качестве меры расхождения величины D является исключительная простота её закона распределения. А.Н. Колмогоров доказал, что, какова бы ни была функция распределения F(x) непрерывной случайной велечины X, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдении n вероятность неравенства
стремится к пределу
Значения вероятности , подсчитанные по формуле приведённой выше занесены в таблицу, по данной таблице находим вероятность
P(l) = 0,711.
Это есть вероятность того, что (если величина х действительно распределена по закону F(x)) за счёт чисто случайных причин максимальное расхождение между F*(x) и F(x) будет не меньше, чем наблюдаемое.
Нет оснований отвергать гипотезу о том, что наш закон распределения является геометрическим законом распределения.
Критерий Колмогорова:
F(x) F~ (x)
0.14 0.15
0.41 0.46
0.68 0.71
0.86 0.88
0.95 0.95
0.98 0.98
1.00 0.99
1.00 1.00
1.00 1.00
Список используемой литературы
1. «Теория вероятностей» В.С. Вентцель
2. «Теория вероятностей (Задачи и Упражнения)» В.С. Вентцель, Л.А. Овчаров
3. «Справочник по вероятностным расчётам».
4. «Теория вероятностей и математическая статистика» В.Е. Гмурман
5. «Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике» В.Е. Гмурман.
Похожие работы
-
Математическая статистика
Основные понятия: статистическая модель, выборка, выборочные характеристики, статистики, функция правдоподобия.
-
Проверка статистической гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОУ ВПО ТОмский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОЛОГО-ГЕОГРАФИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА КАРТОГРАФИИ И ГИС Лабораторная работа №3
-
Теория случайных функций
В курсовой работе рассмотрены варианты задач, по теории случайных функций.
-
Моделирование дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения
Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения, проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Математическое моделирование в среде Turbo Pascal. Теоретический расчёт вероятности работы цепи.
-
Первичная статистическая обработка информации
400 45 431 394 362 436 343 403 483 462 395 467 420 411 391 397 455 412 363 449 439 411 468 435 313 486 463 417 369 377 409 390 389 386 409 379 412 370 391 421 459 390 415 415 366 323 469 399 486 393 361 407
-
Прогнозирование функций по методу наименьших квадратов
Министерство общего и профессионального образования Московский Авиационный институт (государственный технический университет) «МАИ» ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
-
Теория вероятности и математическая статистика
Особенности выполнения теоремы Бернулли на примере электрической схемы. Моделирование случайной величины по закону распределения Пуассона, заполнение массива. Теория вероятности, понятие ожидания, дисперсии случайной величины и закон распределения.
-
Теория вероятности и математическая статистика
Теорема Бернулли на примере моделирования электросхемы. Моделирование случайной величины, имеющей закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону. Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив закон распределения.
-
Теория вероятности
Формулировка теоремы Бернулли, проверка ее с помощью программы. Моделирование случайной величины методом кусочной аппроксимации. График распределения Коши, построение гистограммы и нахождения числовых характеристик, составление статистического ряда.
-
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.