Название: Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 110.83 Kb
Скачать файл: referat.me-216408.docx
Краткое описание работы: БЕЛОРУССКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА на тему “вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников”
Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников
БЕЛОРУССКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ
КУРСОВАЯ РАБОТА
на тему “вычисление определенного интеграла
методами трапеций и средних прямоугольников”
Студента 2-го курса: Полушкина О.А.
Научный руководитель: Севернева Е.В.
Минск, 1997
Содержание.
Введение, математическое обоснование и анализ задачи...............................................................................................................................
Алгоритм и его описание..................................................................
Листинг программы..............................................................................
Исходные данные. Результаты расчетов и анализ...........
Заключение и выводы........................................................................
Список литературы..............................................................................
Введение, математическое обоснование и анализ задачи.
Известно, что определенный интеграл функции
типа{2203_1}
численно представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной кривыми x
=0
, y
=
a
, y
=
b
и y
=
(Рис. 1). Есть два метода вычисления этой площади или определенного интеграла — метод трапеций (Рис. 2) и метод средних прямоугольников (Рис. 3).
Рис. 1<2203_2>. Криволинейная трапеция.
Рис. 2<2203_3>. Метод трапеций.
Рис. 3{2203_4}. Метод средних прямоугольников.
По методам трапеций и средних прямоугольников соответственно интеграл равен сумме площадей прямоугольных трапеций, где основание трапеции какая-либо малая величина (точность), и сумма площадей прямоугольников, где основание прямоугольника какая-либо малая величина (точность), а высота определяется по точке пересечения верхнего основания прямоугольника, которое график функции должен пересекать в середине. Соответственно получаем формулы площадей —
для метода трапеций:{2203_5}
,
для метода средних прямоугольников:{2203_6}
.
Соответственно этим формулам и составим алгоритм.
Алгоритм. <2203_7>
Рис. 4. Алгоритм работы программы integral . pas .
Листинг программы.
Программа написана на Tubro Pascla 6.0 для MS-DOS. Ниже приведен ее листинг:
program Integral;
uses
Crt, Dos;
var
dx,x1,x2,e,i:real;
function Fx(x:real):real;
begin
Fx:=2+x; {В этом месте запишите функцию, для вычисления интеграла.}
end;
procedure CountViaBar;
var
xx1,xx2:real;
c:longint;
begin
writeln('------------------------------------------------');
writeln('-->Метод средних прямоугольников.');
writeln(' Всего итераций :',round(abs(x2-x1)/e));
i:=0;
for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin
write('Итерация ',c,chr(13));
xx1:=Fx(x1+c*e);
xx2:=Fx(x1+c*e+e);
i:=i+abs(xx1+xx2)/2*e;
end;
writeln('------------------------------------------------');
writeln(' Интеграл =',i);
end;
procedure CountViaTrap;
var
xx1,xx2,xx3:real;
c:longint;
begin
writeln('------------------------------------------------');
writeln('--> Метод трапеций .');
writeln(' Всего итераций :',round(abs(x2-x1)/e));
i:=0;
for c:=1 to round(abs(x2-x1)/e) do begin
write('Итерация ',c,chr(13));
xx1:=Fx(x1+c*e);
xx2:=Fx(x1+c*e+e);
if xx2>xx1 then xx3:=xx1 else xx3:=xx2;
i:=i+abs(xx2-xx1)*e+abs(xx3)*e;
end;
writeln('------------------------------------------------');
writeln(' Интеграл =',i);
end;
begin
writeln('------------------------------------------------');
writeln('-=Программа вычисления определенного интеграла=-');
writeln('Введите исходные значения:');
write('Начальное значение x (x1)=');Readln(x1);
write('Конечное значение x (x2)=');Readln(x2);
write('Точность вычисления (e)=');Readln(e);
CountViaBar;
CountViaTrap;
writeln('------------------------------------------------');
writeln('Спасибо за использование программы ;^)');
end.
Исходные данные. Результаты расчетов и анализ.
Ниже приведен результат работы написанной и откомпилированной программы:
------------------------------------------------
-=Программа вычисления определенного интеграла=-
Введите исходные значения:
Начальное значение x (x1)=0
Конечное значение x (x2)=10
Точность вычисления (e)=0.01
------------------------------------------------
-->Метод средних прямоугольников.
Всего итераций:1000
------------------------------------------------
Интеграл= 7.0100000000E+01
------------------------------------------------
-->Метод трапеций.
Всего итераций:1000
------------------------------------------------
Интеграл= 7.0150000001E+01
------------------------------------------------
Спасибо за использование программы ;^)
Расчет проверялся для функции , а определенный интеграл брался от 0 до 10, точность 0,01.
В результате расчетов получаем:
Интеграл{2203_8} .
Методом трапеций {2203_9}.
Методом средних прямоугольников{2203_10} .
Также был произведен расчет с точностью 0,1:
Интеграл {2203_11}.
Методом трапеций{2203_12}.
Методом средних прямоугольников {2203_13}.
Заключение и выводы.
Таким образом очевидно, что при вычислении определенных интегралов методами трапеций и средних прямоугольников не дает нам точного значения, а только приближенное.
Чем ниже задается численное значение точности вычислений (основание трапеции или прямоугольника, в зависимости от метода), тем точнее результат получаемый машиной. При этом, число итераций составляет обратно пропорциональное от численного значения точности. Следовательно для большей точности необходимо большее число итераций, что обуславливает возрастание затрат времени вычисления интеграла на компьютере обратно пропорционально точности вычисления.
Использование для вычисления одновременно двух методов (трапеций и средних прямоугольников) позволило исследовать зависимость точности вычислений при применении обоих методов.
Следовательно при понижении численного значения точности вычислений результаты расчетов по обеим методам стремятся друг к другу и оба к точному результату.
Список литературы.
1. Вольвачев А.Н., Крисевич В.С. Программирование на языке Паскаль для ПЭВМ ЕС. Минск.: 1989 г.
2. Зуев Е.А. Язык программирования Turbo Pascal. М.1992 г.
3. Скляров В.А. Знакомьтесь: Паскаль. М. 1988 г.
Похожие работы
-
Вычисление определенного интеграла
Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
-
Применение квадратурной формулы Чебышева для вычисления определенного интеграла
Данная задача заключается в решении определенного интеграла по квадратурной формуле Чебышева. Как известно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению площади криволинейной трапеции, ограниченной кривыми.
-
Приближенное вычисление определенных интегралов
Приближенное вычисление определенных интегралов; формула трапеций и формула парабол.
-
Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
Лабораторная работа № 4. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых). Гребенникова Марина 12-А класс Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида
-
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
-
Приближенное вычисление определенного интеграла при помощи квадратурной формулы Чебышева
Вывод формул численного интегрирования с использованием интерполяционного полинома Лагранжа. Формула трапеций и средних прямоугольников. Общая формула Симпсона (параболическая формула). Квадратурная формула Чебышева.
-
Методы прямоугольников и трапеций
Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.20). В качестве точек
-
Интегрирование и производная функций
Осуществление интерполяции с помощью полинома Ньютона. Уточнение значения корня на заданном интервале тремя итерациями и нахождение погрешности вычисления. Применение методов Ньютона, Сампсона и Эйлера при решении задач. Вычисление производной функции.
-
Численное интегрирование функций
Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
-
Техника интегрирования и приложения определенного интеграла
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования.