Геометрия

БИЛЕТ 6 Отрезки параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями, равны.

Для док-ва рассмотрим отрезки АВ и СD двух параллельных прямых, заключенные м/у параллельными плоскостями a и b. Докажем, АВ=СD. Плоскость j, проходящая ч/з параллельные прямые АВ и СD, пересекается с плоскостями a и b по параллельным прямым АС и ВD. Таким образом, в четырехугольнике ABDC противолеж. стор. паралл., т.е. ABDC-параллел-м

Но в пар-ме прот. леж. стороны равны, значит AB=CD.

S_п.п. =2pR(H+R)

БИЛЕТ 5 Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Для док-ва данного св-ва рассмотрим прямые а и b , по которым параллельные плоскости a и b пересекаются с плоскостью j. Докажем, что а|| b.

Эти прямые лежат в одной плоскости (j) и не пересекаются. В самом деле, если бы прямые а и b пересекались, то пл. a и b имели бы общ. точку, что невозможно, т.к. a||b. Итак, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, а|| b.

2. V_{пирамиды} = 1/3*S_осн. *H

БИЛЕТ 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Док-во: Рассмотрим

две плоскости a и b. В

плоскости a лежат

пересекающиеся в т.М

прямые a и b, а в b -

- прямые а₁ и b₁ ,

причем а|| а₁ и b|| b₁ .

Докажем, что плоскос.

-ти a и b не параллель

ны. Тогда они перес.

по прямой с. Мы получили, что плоскость a проходит ч/з прямую а, параллельную плоскости b, и пересекает плоскость b по прямой с. Отсюда следует, что

а|| с.

Но плоскость a проходит также ч/з прямую b, параллельную плоскости b. Поэтому b || с. Таким обр. ч/з т.М проходят две прямые а и b, || с. Но это невозможно, т.к. по теореме о параллельных прямых ч/з т. М проходит только одна прямая || с.

Значит, наше допущение неверно и a||b. Ч.Т.Д.

- - - - - - - -

БИЛЕТ 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая и плоскость

называются параллельными, если они не имеют общих точек.

ТЕОРЕМА. Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Док-во: Пусть a-плоскость,

а - не лежащая в ней прямая

и а₁ - прямая в плоскости a,

параллельная прямой а.

Проведем плоскость a₁ ч/з

прямые а и а₁ .

Она отлична от a,

т.к. прямая а не ле-

жит в плоскости a. Плоскости a и a₁ пересекаются по прямой а₁ . Если бы прямая а пересекала плоскость a, то точка пересечения принадлежала бы прямой а₁ . Но это невозможно, т.к. прямые а и а₁ параллель-

ны. Итак, прямая а не пересекает плоскость a, а значит, параллельна плоскости a. Ч.Т.Д.

2. V_{параллелепипеда} = S_осн. *H

БИЛЕТ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

ТЕОРЕМА. Через точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Док-во: проведем ч/з а и

М плоскость a, а ч/з М в

в плоскости a прямую

b|| a. Докажем, что b|| a

единственна.

Допустим, что существует другая прямая b₂ || a, и

проходящая ч/з т.М. Через b₂ и а можно провести

плоскость a₂ , которая проходит ч/з М и а, след-но,

по Т.14.1(ЧЕРЕЗ ПРЯМ. И ТОЧКУ НЕ ЛЕЖ. НА

ЭТОЙ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ПЛОСКОСТЬ И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНУ) она

совпадает с a. По аксиоме о параллельных

прямых b₂ и а совпадают. Ч.Т.Д.

2. V_ус.кон. =1/3*pH(R₁ ² +R₁ R₂ +R₂ ² )

БИЛЕТ 1 А₁ Какова бы ни была плоскость, существуют точки принадлежащие этой плоскости

и точки, не принадлежащие ей.

А₂ Если две различные плоскости имеют общую

точку, то они пересекаются по прямой.

А₃ Если две различные прямые имеют общую

точку, то ч/з них можно провести плоскость, и

притом только одну.

2. S_п.п. =S_бок. +S_осн. ; S_бок. =P_осн. *A

БИЛЕТ 12 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол м/у ними равен 90⁰ .

ТЕОРЕМА: Если одна из двух плоскостей проходит ч/з прямую,перпендикулярную к др.

плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Док-во: Рассмотрим плоскости a и b такие, что плоскость a проходит ч/з прямую АВ, перпендикулярную к плоскости b и пересекающуюся с ней в точке А. Докажем, что a^b. Плоскости a и b пересекаются по прямой АС, причем АВ^АС, Т.к. по усл. АВ^b, и, значит, прямая АВ^ к любой прямой, лежащей в плоскости b.

Проведем в плоскости b прямую АD,^АС. Тогда ÐBAD - линейный угол двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей a и b. Но ÐBAD=90⁰ (т.к. AB^b). След-но, угол м/у плоскостями a и b равен 90⁰ , т.е. a^b. Ч.Т.Д.

S_бок =P*a (а - бок. ребро, Р-периметр)

БИЛЕТ 11 ТЕОРЕМА: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны.

Док-во: Рассмотрим прямые а и b , перпендикулярные к плоскости a. Докажем, что а ½½b .

Через какую-нибудь точку М прямой b проведем прямую b₁ , параллельную прямой a. Докажем, что прямая b₁ совпадает с прямой b. Тем самым будет доказано, что a½½b. Допустим, что прямые b и b₁ не совпадают. Тогда в плоскости b, содержащей прямые b и b₁ , ч/з точку М проходят две прямые, перпендикулярные к прямой c, по которой пересекаются плоскости a и b. Но это невозможно, след-но, a½½b. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 13 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Расстояние м/у одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей ч/з другую прямую параллельно первой, называется расстоянием м/у скрещивающимися прямыми.

S_полн =S_бок +2S_осн ; S_бок =P*H(ребро)

БИЛЕТ 14 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае наклонной.

ТЕОРЕМА: Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Док-во: Бок.грани прямой призмы - прямоугольники, основания которых - стороны основания призмы, а высоты равны высоте h призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей указанных прямоугольников, т.е. равна сумме произведений сторон основания на высоту h . Вынося множитель h за скобки, получим в скобках сумму сторон основания призмы, т.е. его периметр Р. Итак, S_бок =P*h. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 15 Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁ B₁ C₁ D₁ , расположен-

ных в плоскостях так, что отрезки AA₁ ,BB₁ ,CC₁ , и

DD₁ параллельны.

Поверхность составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁ B₁ C₁ D₁ и четырех параллелограммов называется параллелепипедом м обозначается ABCDA₁ ..D₁ .

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями , их стороны - ребрами , а вершины параллелограммов - вершинами параллелепипеда .

ТЕОРЕМА: Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Док-во: Рассмотрим четырехугольник A₁ D₁ CB, диагонали которого являются диагоналями параллелепипеда ABCDA₁ ..D₁ . Т.к. A₁ D₁ ½½ BC и

A₁ D₁ =BC, то A₁ D₁ CB - параллелограмм. Поэтому диагонали A₁ C и D₁ B пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 18 Рассмотрим многоугольник A₁ A₂ ..A_n

и точку P не лежащую в плоскости этого многоугольника. Соединив точку P отрезками с вершинами многоугольника, получим n треуголь-

ников: PA₁ A₂ ,PA₂ A₃ ,...,PA_n A₁ .

Многогранник, составленный из n -угольника A₁ A₂ ..A_n и n треугольников, называется пирамидой

Многоугольник A₁ A₂ ..A_n называется основанием , а треугольники - боковыми гранями пирамиды. Точка P называется вершиной пирамиды, а отрезки PA₁ , PA₂ , ..., Pa_n - ее боковыми ребрами.

ТЕОРЕМА: Плоскость, параллельная основанию пирамиды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.

Док-во: S-вершина пирамид

A - верш.основания и A¹ -

точка пересечения секущей

плоскости с боковым ребр.

SA. Подвергнем пирамиду

преобразованию гомотетии

относительно вершины S с

коэф. гомотет. k=SA¹ /SA

При этом плоск-ть основания переходит в паралл. плоск-ть, проходящую ч/з точку A¹ , т.е. в секущую

плоскость, а след-но, вся пирамида - в отсекаемую это плоскостью часть. Т.к. гомотет. есть преобразование подобия, то отсек. часть явл

пирамид., подобной данной. Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 17 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Параллелепипед называется прямоугольным , если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

ТЕОРЕМА: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

Док-во: Докажем,

что

AC₁ ² =AB² +AD² +AA₁ ²

Так как ребро CC₁

перпендикулярно

к основанию ABCD,

то ÐACC₁ -прямой.

Из прямоугольного

треугольника ACC₁

по теореме Пифагора получаем AC₁ ² =AC² +CC₁ ² .

Но AC -диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC² =AB² +AD² . Кроме того, CC₁ =AA₁ .

След-но AC₁ ² =AB² +AD² +AA₁ ² Ч.Т.Д.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

БИЛЕТ 16 ТЕОРЕМА: Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Док-во: Докажем равенство граней ABB₁ A₁ и DCC₁ D параллелепипеда ABCA₁ ..D₁ . Т.к. ABCD и ADD₁ A₁ - параллелограммы, то AB½½DC и AA₁ ½½DD₁ . Таким обр., две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум прямым CD и DD₁ другой грани. Отсюда по признаку параллельности плоск.

следует, что грани ABB₁ A₁ и DCC₁ D₁ параллельны.

Докажем равенство этих граней. Т.к. все грани параллелепипеда - параллелограммы, то AB=DC и AA₁ =DD₁ . По той же причине стороны углов A₁ AB и D₁ DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таким обр., две смежные стороны и Ð м/у ними паралл-ма ABB₁ A₁ соотв.

равны двум смежным сторонам у Ð м/у ними пар-ма DCC₁ D₁ , поэтому эти параллелограммы равны