Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

1) Основные понятия линейной алгебры. Задачи о перевозках.

Элементы линейной алгебры. Задачи о перевозках. На 2-х складах А1 и А2 сосредоточено а1, а2 тон однородного груза, которые нужно доставить в 3-и пункта назад в В1, В2, В3, потребн пунктов назначения, равны в1, в2, в3 тон. Известно стоимость перевозки одной тонны груза, из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения. Требуется составить такой план перевозки, при котором общая стоимость перевозок была бы наименьшей.

А1+А2=В1+В2+В3 Хij – груз(тон) Сij – цена 1т груза.

С=

Т.о задача ставится к нахожд неизвестного X и ij удовлетвор системе Ур-ий

Причем найден Ур-е должны быть такими чтобы ф-я приняла миним з-я. Для реш сформир задачи необходимо уметь решать системы лин Ур-й , т.к. система явл сист лин Ур-й относит xij. Сист m лин Ур-й с n нейзв x1, x2,…,Xn имеет вид а11x1+а12x2+…+a1nXn=b1; a21x1+a22x2+…+a2nXn=b2;…….;am1x1+am2x2+…amnxn=bm.Коэфициенты аij при неизвестн xij (j =1,2,…n), для удобства обозн одной буквой с 2-я индексами i-номер Ур-нии, j- неизвстного

10)Метод Гаусса.(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.Рассмотрим систему линейных уравнений:Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁  0, затем:1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения; 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т.д.Получим:, где d_1j = _1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1 d_ij = a_ij – a_i1d_1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.* = Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.Пример. Решить систему методом Гаусса.Составим расширенную матрицу системы.Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.Для самостоятельного решения: Ответ: {1, 2, 3, 4}.

11) Векторы, действия над ними.Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.Определение. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.Определение. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны. Определение. Векторы называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.Суммой векторов является вектор - Произведение -, при этом коллинеарен .Вектор сонаправлен с вектором ( ), если  > 0.Вектор противоположно направлен с вектором (), если  < 0.Линейные операции над векторами в координатах.Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат тогда

12)Скалярное произведение векторов, его св-ва и вычисления. Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними. = cos Свойства скалярного произведения: = ²; = 0, если  или = 0 или = 0. = ;(+) = + ;(m) = (m) = m();Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:;Пример. Найти (5 + 3)(2 - ), если 10- 5+ 6- 3 = 10, т.к..

13)Векторное произведение векторов. Его св-ва и вычисление. Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:1) , где  - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.Обозначается: или.



Свойства векторного произведения векторов:1) ;2) , если  или = 0 или = 0;3) (m)= (m) = m();4) (+ ) = +  ;5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то=6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .Пример. Найти векторное произведение векторов и . = (2, 5, 1); = (1, 2, -3).

14)Смешенное произведение векторов его св-ва и вычисления.Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю;б)два из векторов коллинеарны;в)векторы компланарны.

2)3)

4)5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен6)Если , , тоПример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов:,Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).Найдем координаты векторов: Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания CD.

S_осн = (ед²)Т.к. V = ; (ед)

15) Общее вычисление прямой на плоскостиОпределение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядкаАх + Ву + С = 0,причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:+ D = 0, где- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.Пусть в пространстве заданы две плоскости: + D₁ = 0 и + D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:Общие уравнения прямой в координатной форме:Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений., т.е. А(0, 2, 1).Находим компоненты направляющего вектора прямой.Тогда канонические уравнения прямой:Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:;2x – 9x – 7 = 0; x = -1; y = 3; Получаем: A(-1; 3; 0).Направляющий вектор прямой: .Итого:

17)Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями.1). Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными (на рис. 28 ||).

Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома). Таким образом, две плоскости пересекаются по прямой (на рис. 28 и пересекаются по прямой a, a и - по прямой b).

Пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Если один из них прямой, тогда и остальные углы тоже прямые, а плоскости называются перпендикулярными. В качестве параллельных плоскостей на каждом шагу встречаем параллельные грани одного дома. Плоскости стен домов перпендикулярны плоскости земли.

18) Взаимное расположение двух прямых на плоскости.Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.1)Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек - параллельные прямые. 2)Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку - прямые пересекаются. 3)В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны). Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с - скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость || b (в плоскости указана прямая a₁ || b).

Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

2)Матрицы,действия над матрицами.Привести пример.Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы.Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А = Основные действия над матрицами.Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.Определение. Матрица вида:= E,называется единичной матрицей.Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.Пример.- симметрическая матрицаОпределение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:Определение.Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.c_ij = a_ij  b_ij С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. (А+В) =А  В А() = А  АПример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.2А = , 2А + В = .

20)Взаимное расположение прямой и плоскости. Для выяснения взаимного расположения прямой (x=b1t+x0; y=b2t+y0; z=b3t+z0) b(b1, b2, b3)-направляющий вектор прямой Ax+By+Cz+D=0 Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, надо решить сист Ур-ий A(b1t+x0)+B(b2t+y0)+C(b3t+z0)+D=0; Ab1t+Ax0+Bb2t+By0+Cb3t+Cz0+D=0; (Ab1+Bb2+Cb3)t=-(Ax0+By0+Cz0+D).

1Случай: Ab1+Bb2+Cb3=0, определяет единственное решение, т.к. получаем конкретное значение параметра t, подставив которое в исходное Ур-е прямой получаем точки пересеч с данной плоскостью

2Случай: Пусть выражение Ab1+Bb2+Cb3=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, т.к. левая часть не может быть равна правой, это говорит о том что прямая параллельна плоскости.

3Случай: Пусть Ab1+Bb2+Cb3=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, Ур-ям удовлетворяют любые знач t след прямая лежит в плоскости.

Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .Определение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

М

r₁

r₂

F₁ F₂

F₁, F₂ – фокусы. F₁ = (c; 0); F₂(-c; 0)

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:a² = b² + c².Доказательство: В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r₁ + r₂ = 2(по теореме Пифагора). В случае, если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r₁ + r₂ = a – c + a + c. Т.к. по определению сумма r₁ + r₂ – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:a² = b² + c² r₁ + r₂ = 2a. Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.Е = с/a. Т.к. с Определение. Величина k = b/a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = (a – b)/a называется сжатием эллипса.Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k² = 1 – e².Если a = b (c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.Если для точки М(х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.Теорема. Для произвольной точки М(х, у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:r₁ = a – ex, r₂ = a + ex. Доказательство. Выше было показано, что r₁ + r₂ = 2a. Кроме того, из геометрических соображений можно записать:После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых: Аналогично доказывается, что r₂ = a + ex. Теорема доказана.С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения: x = a/e; x = -a/e.Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: Координаты нижней вершины: x = 0; y² = 16; y = -4. Координаты левого фокуса: c² = a² – b² = 25 – 16 = 9; c = 3; F₂(-3; 0). Уравнение прямой, проходящей через две точки: Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F₁(0; 0), F₂(1; 1), большая ось равна 2.Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:2c = , таким образом, a² – b² = c² = Ѕпо условию 2а = 2, следовательно а = 1, b = Итого: .

22)ГиперболаОпределение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

y M(x, y)

b

r₁

r₂

x

F₁ a F₂

c

По определению r₁ – r₂= 2a. F₁, F₂ – фокусы гиперболы. F₁F₂ = 2c.Выберем на гиперболе произвольную точку М(х, у). Тогда:

обозначим с² – а² = b² (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.Ось 2а называется действительной осью гиперболы.Ось 2b называется мнимой осью гиперболы.Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.С учетом того, что с² – а² = b²:Если а = b, e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a/e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого- либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r/d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

23)Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.Расположим начало координат посередине между фокусом и директрисой.

А у М(х, у)

О F x

p/2

p/2

Величина р (расстояние от фокуса до директрисы) называется параметром параболы. Выведем каноническое уравнение параболы.Из геометрических соотношений: AM = MF; AM = x + p/2;MF² = y² + (x – p/2)² (x + p/2)² = y² + (x – p/2)² x² +xp + p²/4 = y² + x² – xp + p²/4 y² = 2px Уравнение директрисы: x = -p/2. Пример. На параболе у² = 8х найти точку, расстояние которой от директрисы равно 4. Из уравнения параболы получаем, что р = 4. r = x + p/2 = 4; следовательно:x = 2; y² = 16; y = 4. Искомые точки: M₁(2; 4), M₂(2; -4).

25)Общее ур-е линии второго порядкаКривые 2го порядка описываются с помощью общего ур-я:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0, где

а) Каноническое ур-е эллипса

- Каноническое ур-е эллипса

Если a=b, то x²+b²=a² - ур-е окружности.

б) Ур-е гиперболы: x²/a²-y²/b²=1

в) ур-е параболы: y²=2px или y=ax²

г) ур-е сферы: x²+y²+z²=а² (r²=(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²)

д) ур-е эллипса: x²/a²-y²/b²+z²/c²=1

Определение. Комплексным числом z называется выражение , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.Определение. Числа и называются комплексно – сопряженными. Определение. Два комплексных числа и называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная - мнимой осью. A(a,b)

B

a

Таким образом, на оси ОХ располагаются действительные числа, а на оси ОY – чисто мнимые.С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.1) Сложение и вычитание.

;;2) Умножение.

В тригонометрической форме:,

С случае комплексно – сопряженных чисел:

3) Деление.В тригонометрической форме:4) Возведение в степень.Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:,где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой Муавра.(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.Пример. Найти формулы sin2 и cos2.Рассмотрим некоторое комплексное число Тогда с одной стороны .По формуле Муавра:

Приравнивая, получим Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.5) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

27) Комплексные числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.(продолжение 26-1-2)

Тригонометрическая форма числа.Из геометрических соображений видно, что . Тогда комплексное число можно представить в виде: Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона  - аргументом комплексного числа..Из геометрических соображений видно:

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

28)Основные элементарные ф-ии.Функция - это зависимость одной величины от другой.

Если существует взаимооднозначное соответствие между переменной х одного множества и переменной у другого множества, то она называется функциональной зависимостью. y=f(x).

Определение способа задания:

-аналитически (y=kx+b)

-графический (график)

-таблично

-алгоритмически (с помощью ЭВМ)

Классификация функций:

Элементарные: - функции, которые получаются из основных элементарных ф-ций с помощью алгебраических действий (+,-,*,/,введение в степень). Основные элементарные ф-ции:

1. y=xⁿ - степенная

2. y=a^x - показательная

3. y=log_ax - логарифмическая

4. y=sinx, y=cosx - тригонометрические.

Сложные:

Y=f(U), где U=(x), Y=f[(x)]

Если ф-ция у зависит от промежуточного аргумента U, который зависит от независимой переменной х, то y=f[(x)] называется сложным заданием х.

29)Предел ф-ии

f(x)

A + 

A

A - 

a -  a a +  x

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что0 < x - a <  верно неравенство f(x) - A< . То же определение может быть записано в другом виде: Если а -  < x < a + , x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + . Запись предела функции в точке: Определение. Если f(x)  A₁ при х  а только при x - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A₂ при х  а только при x > a, то называется пределом функции f(x) в точке х = а справа. f(x)

А₂

А₁

a

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А₁ и А₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).

3)Обратная матрица, ее вычисление.Привести пример.Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну. Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.Исходя из определения произведения матриц, можно записать:AX = E  , i=(1,n), j=(1,n), e_ij = 0, i  j,

e_ij = 1, i = j .Таким образом, получаем систему уравнений: Решив эту систему, находим элементы матрицы Х. Пример. Дана матрица А = , найти А-

Таким образом, А^-1=.Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:,где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.det A = 4 - 6 = -2.M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1 x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2Таким образом, А^-1=.Cвойства обратных матриц. Укажем следующие свойства обратных матриц:(A^-1)^-1 = A; 2) (AB)^-1 = B^-1A^-1 3) (A^T)^-1 = (A^-1)^T.Пример. Дана матрица А = , найти А³.А² = АА = = ; A³ = = .Отметим, что матрицы и являются перестановочными. Пример. Вычислить определитель .=-= -1(6 – 4) – 1(9 – 1) + 2(12 – 2) = -2 – 8 + 20 = 10. = = 2(0 – 2) – 1(0 – 6) = 2.= = 2(-4) – 3(-6) = -8 + 18 = 10.Значение определителя: -10 + 6 – 40 = -44.

30)Основные теоремы о пределахТеорема 1. , где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.Теорема 3. Следствие. Теорема 4. при Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.Теорема 6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или, .е.где М =  + АТеорема доказана.

31)Первый замечательный пределДоказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на промежутке Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х>0, то ,

2. следовательно, что

1. Покажем, что

2. Докажем, что

3. Последнее утверждение:

32) Второй замечательный предел

lim(n)(1+1/n)^n=e Док-во:

x+ n x:n=[x] => nx 1/(n+1)<1/x<1/n

Посколько при ув-нии основания и степени у показательной ф-ции, ф-ция возрастает, то можно записать новое неравенство (1/(n+1))^n(1+1/n)^x (1+1/n)^(n+1) (4)

Рассмотрим пос-ти стоящие справа и слева. Покажем что их предел число е. Заметим (х+, n)

lim(n)(1+1/(n+1))=lim(n)(1+1/(n+1))^n+1-1= lim(n)(1+1/(n+1))^n+1lim(n)1/(1+1/(n+1))=e

lim(n)(1+1/n)^n+1= lim(n)(1+1/n)^n lim(n)(1+1/n)=e1=e

33)Бесконечно малые величины и их св-ваОпределение. Функция f(x) называется бесконечно малой при ха, где а может быть числом или одной из величин , + или -, если .Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х0 и не является бесконечно малой при х1, т.к. .Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при ха имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + (x),где (х) – бесконечно малая при х  а ((х)0 при х  а). Свойства бесконечно малых функций:

1. Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

2. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при ха тоже бесконечно малая функция при ха.

3. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при ха.

4. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая.

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше.Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где, тогдаf(x)  g(x) = (A + B) + (x) + (x)

A + B = const, (х) + (х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана.Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где, тогда

AB = const, (х) и (х) – бесконечно малые, значитТеорема доказана.

34)Эквивалентные бесконечно малые величины и их св-ваПусть (х), (х) и (х) – бесконечно малые функции при х  а. Будем обозначать эти функции ,  и  соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.Например, функция f(x) = x¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.Определение. Если , то функция  называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция . Определение. Если , то  и  называются бесконечно малыми одного порядка. Определение. Если то функции  и  называются эквивалентными бесконечно малыми. Записывают  ~ .Пример. Сравним бесконечно малые при х0 функции f(x) = x¹⁰ и f(x) = x.т.е. функция f(x) = x¹⁰ – бесконечно малая более высокого порядка, чем f(x) = x. Определение. Бесконечно малая функция  называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой функции , если предел конечен и отличен от нуля. Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой. Например, если отношение не имеет предела, то функции несравнимы. Пример. Если , то при х0 , т.е. функция  - бесконечно малая порядка 2 относительно функции . Пример. Если , то при х0 не существует, т.е. функция  и  несравнимы.Свойства эквивалентных бесконечно малых.1)  ~ , 2) Если  ~  и  ~ , то  ~ , 3) Если  ~ , то  ~ , 4) Если  ~ ₁ и  ~ ₁ и , то и или .Следствие: а) если  ~ ₁ и , то и б) если  ~ ₁ и , то Свойство 4 особенно важно на практике, т.к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов.Пример. Найти предел

Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х  0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:Пример. Найти предел .Так как 1 – cosx = при х0, то . Пример. Найти предел Если  и  - бесконечно малые при ха, причем  - бесконечно малая более высокого порядка, чем , то  =  +  - бесконечно малая, эквивалентная . Это можно доказать следующим равенством .Тогда говорят, что  - главная часть бесконечно малой функции . Пример. Функция х² +х – бесконечно малая при х0, х – главная часть этой функции. Чтобы показать это, запишем  = х²,  = х, тогда.

35)Связь мж бесконечно малыми и бесконечно большими ф-миОпределение. Предел функции f(x) при ха, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число >0, что неравенствоf(x)>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < x - a <  Записывается . Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие f(x)>M на f(x)>M, то получим: а если заменить на f(x)

Определение. Функция называется бесконечно большой при ха, где а – чосли или одна из величин , + или -, если , где А – число или одна из величин , + или -.Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.Теорема. Если f(x)0 при ха (если х ) и не обращается в ноль, то

36)Непрерывность ф-ииОпределение. Функция f(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.Тот же факт можно записать иначе: Определение. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.Пример непрерывной функции:

f(x₀)+

f(x₀)

f(x₀)-

x₀- x₀ x₀+

Пример разрывной функции:

f(x₀)+

f(x₀)

f(x₀)-

x₀

Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа >0 существует такое число >0, что для любых х, удовлетворяющих условиюверно неравенство .Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀ является бесконечно малой величиной.f(x) = f(x₀) + (x) где (х) – бесконечно малая при хх₀. Свойства непрерывных функций. 1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀ функций – есть функция, непрерывная в точке х₀. 2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, что g(x) не равна нулю в точке х₀.3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.Это свойство может быть записано следующим образом:Если u = f(x), v = g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функция v = g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

37)Св-ва функций непрерывных на отрезке.Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса (Вейерштрасс Карл (1815-1897)- немецкий математик)). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M.Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х₀, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х₀, то образуется некоторая окрестность точки х₀.Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения.Т.е. существуют такие значения х₁ и х₂, что f(x₁) = m, f(x₂) = M, причем m  f(x)  M Отметим эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (например – f(x) = sinx). Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х₀, то существует некоторая окрестность точки х₀, в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (Первая теорема Больцано (1781-1848) – Коши). Если функция f(x)- непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. Т.е. если sign(f(a))  sign(f(b)), то  х₀: f(x₀) = 0. Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если для любого >0 существует >0 такое, что для любых точек х₁[a,b] и x₂[a,b] таких, что х₂ – х₁<  верно неравенство f(x₂) – f(x₁) <  Отличие равномерной непрерывности от “обычной” в том, что для любого  существует свое , не зависящее от х, а при “обычной” непрерывности  зависит от  и х. Свойство 6: Теорема Кантора (Кантор Георг (1845-1918)- немецкий математик). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем.(Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Пример.

Функция непрерывна на интервале (0, а), но не является на нем равномерно непрерывной, т.к. существует такое число >0 такое, что существуют значения х₁ и х₂ такие, чтоf(x₁) – f(x₂)>,  - любое число при условии, что х₁ и х₂ близки к нулю.Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна. Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть. в точке х = -1 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть.

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода

38) Производная ф-ииОпределение. Производной функции f(x) в точке х = х₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует. f(x)

f(x₀ +x) f P

M

f(x₀)

 x  x₀ x₀ + x

Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

,где  - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x₀, f(x₀)).Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.Уравнение касательной к кривой: Уравнение нормали к кривой: .Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции- скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х₀ называется правое (левое) значение предела отношения при условии, что это отношение существует.

Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х₀, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х₀, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х₀, она может быть в ней не дифференцируема.Например: f(x) = x- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х₀, то она непрерывна в этой точкеПонятно, что это условие не является достаточным.

1.   , C=const. 2.  . 3.  . 4.   . 5.  . 6. . 7. . 8.  , a О R. 9. . 10. , где а ОR+. 11. . 12., a О R, a № 1. 13. . 14. . 15.. 16.. 17.. 18.. 19.. 20.. 21. . 22. =23. = 24. = 25. = 26. = Доказательство.Докажем формулу .Пусть аргументу x дано приращение h; при этом функция получает приращение , а функция  -- приращение . Их сумма получит тогда приращение

Значит, Совершенно аналогично доказывается формула . Докажем теперь формулу . Пусть снова и  -- приращения функций, соответствующие приращению аргумента . Тогда , и приращением произведения будет

Поэтому, по свойствам пределов, При этом мы вынесли множители и за знак предела как постоянные, не зависящие от переменного , к которому относится база предела.

Докажем теперь формулу . Заметим, что Поэтому, согласно правилам вычисления пределов,

4)Определители 2-го порядка.Св-ва.Определители 2-ого и 3-го порядков Любые 4 числа, расположенные в виде квадратной таблицы, называются квадратной матрицей второго порядка. Каждой квадратной матрице 2-ого порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем и обозначаемое D=|A|.Определители n-ного порядка.Определитель n-ого порядка равен сумме произведений элементов 1-ой строки на их алгебраические дополнения (A_ij соответствующее элементу a_ij и равно Aij = (-1)^i+j *M_ij) Результат разложения не зависит от того, по какой строке (столбцу) производится разложение:

2 -1 0

4 0 3 = (3 столбец) =

-2 4 5

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det A^T;

Свойство 2.det ( A  B) = det A  det B.Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁  d₂ , e = e₁  e₂ , f = f₁  f₂ , то верно:

40)Логарифмич дифференцирование.Производная степеннопоказ ф-ииРассмотрим функцию .Тогда (lnx)= , т.к. .Учитывая полученный результат, можно записать .Отношение называется логарифмической производной функции f(x).Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную самой функции по формуле Способ логарифмического дифференцирования удобно применять для нахождения производных сложных, особенно показательных функций, для которых непосредственное вычисление производной с использованием правил дифференцирования представляется трудоемким.Производная показательно- степенной функции.Функция называется показательной, если независимая переменная входит в показатель степени, и степенной, если переменная является основанием. Если же и основание и показатель степени зависят от переменной, то такая функция будет показательно – степенной.Пусть u = f(x) и v = g(x) – функции, имеющие производные в точке х, f(x)>0.Найдем производную функции y = u^v. Логарифмируя, получим:lny = vlnu

Пример. Найти производную функции .По полученной выше формуле получаем: Производные этих функций: Окончательно:

41)Производная сложной ф-ииТеорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.ТогдаДоказательство.

( с учетом того, что если x0, то u0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция) Тогда

Теорема доказана.

42)Производная ф-и задана неявно и параметрическиОпр. Функция z=f(x,y) наз. Заданной неявно, если она определена равенством, неразрешенным относительно z .F(x,y,z)=0 x+y+z=e^z - это равенство задаем некоторую функцию z=f(x,y), которую нельзя выразить в полном виде.x²+y²+z²=0 - не задает никакой функции. Теорема: Если ф-я F(x,y,z)  непрерывна в т. р₀(x₀,y₀,z₀) и ее производная по z F_z(x,y,z)0, то равенство F(x,y,z)=0 однозначно определяет в неявном виде функцию z=f(x,y), при этом эта функция дифференцируема и ее производная находится по формулам: z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z) z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)Док-во: Найдем полный дифференциал функции dF(x,y,z)=F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz F(x₀,y₀,z₀)=0dF=0F/x*dx+F/y*dy+F/x*dz=0 dz=(F/x)/(F/z)*dx(F/y)/(F/z)*dy (*) С другой стороны: z=f(x,y), dz=z/x*dx+z/y*dy (**) Сравнивая (*) и(**) z/x= F_x(x,y,z)/F_z(x,y,z)z/y=F_z (x,y,z)/F_y(x,y,z)

Пусть дана функцияпо определению производной имеем Производная параметрически заданной функции.Пример:Логарифмическое дифференцирование Если дифференцируемая функция имеет сложный вид, а именно содержит степени, произведения, частное, то перед дифференцированием её целесообразно прологарифмировать, при этом функция примет линейный или более простой вид, дифференцирование которой намного проще. Дифференцирование степенно-показательных функций проводится только после предварительного логарифмирования.Пример: y=x^x ln(y)=xlnx y`=xx(lnx+1)

43) Диффиренциал ф-ии, его свойства.ОпределениеФункция y=f(x) называется диф. в точке x, если приращение функции можно представить в виде Df = Dx+o(Dx), A- const Если f(x) диф. в точке x, то df=A·Dx­­­– дифференциал функции в точке x Функция имеет в точке x производную Ы она дифференцируема. в этой точке Док-во:

$ f’(x)= lim Df/DxЮ Df/Dx=f’(x)+a

Df=f’(x)Dx+aDxЮf-диф.

Df = ADx+aDx

Df/Dx=A+a Ю $ lim Df/Dx =A = f’(x) Следствие: для диф. функции константа A равна производной функции в точке x

Свойства:

Пусть f(x) и g(x)- диф.

• d(cf) = cdf

• d(f+g) = df+dg

• d(f*g)= gdf+fdg

• d(f/g)= (gdf-fdg)/ g*g

Доказательство: d(f*g)= (fg)’ dx= (gf’+fg’) dx = gf’ dx+ fg’ dx= gdf+fdg

Дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности формы при замене независимой переменной

Доказательство: y= f(x) dy= f’(x) dx x=j(t) dx=j’(t)dt y= f(j(t)) dy= (f(j)))’dt= f’(j(t))*j(t) dt = f’(x) dx

Смысл Физический смысл дифференциала: x=x(t) dx= x(t) dt= u (мгновенное) Физич. диф.- это путь, который прошла бы точка, если ее движение стало бы равномерным со скоростью, взятой в момент времени t Геометрический смысл дифференциала: Геометрически дифференциал равен приращению ординаты вдоль касательной к графику функции, проведенной в заданной точке.

44)Инвариантная форма записи дифференциала первого порядка.Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.Тогда dy = f(x)g(t)dt = f(x)dx.Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.Однако, если х- независимая переменная, то dx = x, но если х зависит от t, тох  dx. Таким образом форма записи dy = f(x)x не является инвариантной. Пример. Найти производную функции.Сначала преобразуем данную функцию:

Пример. Найти производную функции .

Пример. Найти производную функции Пример. Найти производную функции Пример. Найти производную функции

45)Основные теоремы о дифференцируемых ф-яхТеорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции. Таблица производных:

46)Правило Лопиталя.Пример(Лопиталь (1661-1704) – французский математик)К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения:Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.Доказательство. Применив формулу Коши, получим:

где  - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0:Пусть при ха отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка  лежит между точками а и х, то при ха получим а, а следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким образом, можно записать:.

Теорема доказана. Пример: Найти предел .Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.f(x) = 2x + ; g(x) = e^x;;

47)Экстремум ф-ииОпределение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +x) > f(x₂) при любом х (х может быть и отрицательным).Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:, т.е.Тогда

По определению:

Т.е. если х0, но х<0, то f(x₁)  0, а если х0, но х>0, то f(x₁)  0.А возможно это только в том случае, если при х0 f(x₁) = 0.Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.Теорема доказана. Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.Пример: f(x) = x Пример: f(x) =

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни производной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁)Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.Доказательство.

Пусть По теореме Лагранжа: f(x) – f(x₁) = f()(x – x₁), где x <  < x₁.Тогда: 1) Если х < x₁, то  < x₁; f()>0;f()(x – x₁)<0, следовательно f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).2) Если х > x₁, то  > x₁f()<0; f()(x – x₁)<0, след f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁). Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума. Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.Теорема доказана.

48)Точки перегиба граф ф-ии.ПримерОпределение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).Доказательство. Пусть х₀  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.Уравнение кривой: y = f(x);Уравнение касательной: Следует доказать, что .По теореме Лагранжа для f(x) – f(x₀): , x₀ < c < x.По теореме Лагранжа для Пусть х > x₀ тогда x₀ < c₁ < c < x. Т.к. x – x₀ > 0 и c – x₀ > 0, и кроме того по условию , следовательно, .Пусть x < x₀ тогда x < c < c₁ < x₀ и x – x₀ < 0, c – x₀ то.Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).Теорема доказана.Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую. Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.Доказательство. 1) Пусть f(x) (x) > 0 при x > a. Тогда при x a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.Теорема доказана.

49)АсимтотыПри исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

Вертикальные асимптоты.Из определения асимптоты следует, что если или или, то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.Наклонные асимптоты.Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра сасимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим . Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.По условию: , NMP = , .

Угол  - постоянный и не равный 90⁰, тогда

Тогда .Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b. В полученном выражении выносим за скобки х:

Т.к. х, то , т.к. b = const, то .Тогда , следовательно,

.Т.к. , то , следовательно,

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0. Пример. Найти асимптоты и построить график функции .1) Вертикальные асимптоты: y+ x0-0: y- x0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.2) Наклонные асимптоты:

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.Построим график функции:

5)Определители 3-го порядка.Св-ва. 9 элементов a_ij, где i-номер строка, а j-номер столбца, располагаются в квадратную таблицу, называемую квадратной матрицей третьего порядка. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем 3-го порядка. Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение: det A = det A^T; Свойство 2.det ( A  B) = det A  det B.Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу.)Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁  d₂ , e = e₁  e₂ , f = f₁  f₂ , то верно:

50)Общая схема исследования ф-ии.Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов:1)Область существования функции.Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.2)Точки разрыва. (Если они имеются).3)Интервалы возрастания и убывания.4)Точки максимума и минимума.5)Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.6)Области выпуклости и вогнутости.7)Точки перегиба.(Если они имеются).8)Асимптоты.(Если они имеются).9)Построение графика.Применение этой схемы рассмотрим на примере.Пример. Исследовать функцию и построить ее график.Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.Областью значений данной функции является интервал (-; ).Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. Находим критические точки.Найдем производную функцииКритические точки: x = 0; x = -; x = ; x = -1; x = 1. Найдем вторую производную функции

. Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках. - < x < -, y < x < -1, y < 0, кривая выпуклая -1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая 1 < x < , y > 0, кривая вогнутая < x < ,y > 0, кривая вогнутая Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. - < x < -,y > 0, функция возрастает - < x < -1,y < 0, функция убывает -1 < x < 0, y < 0, функция убывает 0 < x < 1,y < 0, функция убывает 1 < x < ,y < x < ,y > 0, функция возрастает Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3/2 и -3/2. Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше.Теперь найдем наклонные асимптоты. Итого, уравнение наклоннойасимптоты – y = x. Построим график функции:

6)Системы линейных уравнений (n=2,3)Теорема Крамера.(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.det A  0;Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю. Теорема. Система из n уравнений с n неизвестнымив случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:x_i = _i/, где  = det A, а _i – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i._i = Пример.A = ; ₁= ; ₂= ; ₃= ;x₁ = ₁/detA; x₂ = ₂/detA; x₃ = ₃/detA;Пример. Найти решение системы уравнений: = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30. x₁ = ₁/ = 1;₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.x₂ = ₂/ = 2;₃ = = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.x₃ = ₃/ = 3.Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.Если система однородна, т.е. b_i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.При  = 0 система имеет бесконечное множество решений.

7)Система линейных Ур-ий.Теорема Кронекра-Капели. (Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.RgA = RgA^*.Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:x₁ + x₂ + … + x_n Доказательство.1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация толбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^* не изменяют ранга.2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная вышеПример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A = ~ . RgA = 2.A* = RgA* = 3.Система несовместна.Пример. Определить совместность системы линейных уравнений. А = ; = 2 +

7)Продолжение.

+12 = 14  0; RgA = 2;A* = RgA* = 2.Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =1/2.

8)Ранг матрицы и его вычисление. Привести пример.Рангом матрицы А наз наивысший из порядков миноров этой матрицы не равных нулю.А=(аij)=(a11 a12 … a1n; a21 a22 … a2n; …; am1 am2 … amn) m*x Возьмем и выделим какой-нибудь минор порядка А (а11 а12; а21 а22). Если этот минор не равен нулю то его строки(столбцы) линейно независимы, тогда первые 2-е строки этой матрицы линейно независ. Ранг матрицы А будет не меньше 2-х. При нахождении ранга матрицы пользуются методом окомляющих миноров. Этот метод состоит в том что минор второго порядка окомляют одной строкой и одним столбцом, т.е строят минор 3-го порядка. Если же миноры 3-его порядка окомляющие данный минор 2-го порядка равны нулю, то матрица А не содержит миноров порядка большего 2-х, не равных нулю и ее ранг равен 2-м.Если же есть хотя бы один минор 3-го порядка который не равен нулю, то ранг матрицы не менее 3-х и процедуру окомления 3-порядка продолжают, в итоге будет найден минор 4-го порядка не равный нулю. Для которого все окомляющие миноры n+1-го порядка равны нулю. Тогда ранг матрицы А равен n. Разность матрицы обозн. R(A). Замечания: 1)Ранг нулевой матрицы равен нулю; 2)ранг матрицы равен max числу его линейно независимых строк.Найдите ранг матрицы . Решение. Первую строку оставляем без изменений. Чтобы избежать появления дробей, умножим вторую, третью и четвертую строки на 2: Первую строку умножим на и прибавим ко второй. Получим строку . Первую строку умножим на и прибавим к третьей. Получим строку . Первую строку умножим наи прибавим к четвертой. Получим строку.В итоге имеем матрицу Вторую строку оставляем без изменений. К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 2. Получим строку К четвертой строке прибавляем вторую. Получим нулевую строку. Преобразованная матрица имеет видПоменяем местами третий и четвертый столбцы:Базисный минор матрицы стоит в первых трех столбцах и первых трех строках, . Следовательно,

9)Сист лин уравненийОпределение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом: ,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.Определение. Для системы линейных уравнений матрицаА = называется матрицей системы, а матрицаА^*= называется расширенной матрицей системыОпределение. Если b₁, b₂, …,b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.