Название: Элементарные конфортные отображения
Вид работы: доклад
Рубрика: Математика
Размер файла: 309.22 Kb
Скачать файл: referat.me-217453.docx
Краткое описание работы: Элементарные функции комплексной переменной. Решение задач.
Элементарные конфортные отображения
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка.
Пусть имеются два множества комплексных точек и
. Если задан закон
, ставящий в соответствие каждому
точку (или точки)
, то говорят, что на множестве
задана функция комплексной переменнойсо значениями в множестве
. Обозначают это следующим образом:
. (Часто говорят также, что
отображает множество
в множество
.)
Задание функции эквивалентно заданию двух действительных функций
и тогда
, где
,
. Как и в обычном анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1. - линейная функция. Определена при всех
. Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость
. Функция
и обратная ей
- однозначны. Функция
поворачивает плоскость
на угол, равный
, растягивает (сжимает
) ее в
раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину
. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. . Определена на всей комплексной плоскости, причем
,
. Однозначна, непрерывна всюду, за исключением точки
. Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость
, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3.
- показательная функция. По определению
, т.е.
,
,
. Из определения вытекают формулы Эйлера:
;
;
;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней. периодична с периодом
. Отображает каждую полосу, параллельную оси
, шириной
в плоскости
в полную комплексную плоскость
. Из свойств
отметим простейшие:
,
4.
- логарифмическая функция (натуральный логарифм
). По определению:
.
Выражение
называется главным значением
, так что
. Определен для всех комплексных чисел, кроме
.
- бесконечно-значная функция, обратная к
.
,
5.
- общая показательная функция. По определению,
. Определена для всех
, ее главное значение
, бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции ;
;
;
По определению,
;
;
;
7. Гиперболические функции. Определяются по аналогии с такими же функциями действительной переменной, а именно:
,
Определены и непрерывны на всей комплексной плоскости.
Задачи с решением.
1) Найти модули и главные значения аргументов комплексных чисел: ,
,
,
,
Решение.
По определению, ,
,
; если
, то очевидно,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Найти суммы:
1)
2)
Решение.
Пусть: , а
. Умножим вторую строчку на
, сложим с первой и, воспользовавшись формулой Эйлера, получим:
; Преобразуя, получим:
,
3. Доказать
, что: 1) 2)
3) 4)
Доказательство:
1) По определению,
2)
3) ;
Выразить через тригонометрические и гиперболические функции действительного аргумента действительные и мнимые части, а также модули следующих функций: 1) ; 2)
; 3)
;
Решение:
и, учитывая результаты предыдущего примера, получим:
,
,
,
Напомним, что
2)
,
,
3)
,
,
,
.
Найти действительные и мнимые части следующих значений функций: ;
;
Решение. Следуя решению примера 4, будем иметь:
;
;
;
;
;
Вычислить:
1) ; 3)
; 5)
;
2) ; 4)
; 6)
;
Решение.
По определению, ,
1),
,
,
2) ,
,
,
3) ,
,
,
4),
,
,
5),
,
,
6),
,
,
Найти все значения следующих степеней:
1) ; 2)
; 3)
; 4)
;
Решение.
Выражение для любых комплексных
и
определяются формулой
1)
2)
3)
4) .
8. Доказать следующие равенства:
1) ;
2) ;
3)
Доказательство:
1) , если
, или
, откуда
, или
.
Решив это уравнение, получим , т.е.
и
2) , если
, откуда
, или
, следовательно,
,
3) , если
, откуда
, или
.
Отсюда , следовательно,
Похожие работы
-
Задача по Математике
Исследовать абсолютную устойчивость нелинейной системы: 1. Определить K = Kгр, при котором система находится на границе устойчивости: Параметры реле:
-
Решение матриц
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
-
Комплексный анализ
Поле комплексных чисел. Топологии в С (открытость, замкнутость, связность). Отображения в С (пути, кривые, функции комплексного переменного).
-
Приближенное вычисление определенных интегралов
Приближенное вычисление определенных интегралов; формула трапеций и формула парабол.
-
Двойной интеграл в полярных координатах
усть в двойном интеграле при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая x = r cos , y = r sin . (2) бласть интегрирования S разобьем на элементарные ячейки
-
Дуальные числа
Определение дуальных чисел. Свойства дуальных чисел. Функция и дифференциал функции. Аналог уравнений Коши-Римана. Оператор дифференцирования в области дуальных чисел.
-
Основные элементарные функции, их свойства и графики
Национальный научно-исследовательский университет -ИрГТУ- Кафедра прикладной геологии Реферат по высшей математике На тему: «Основные элементарные функции,
-
Универсальная тригонометрическая подстановка
Контрольная работа Дисциплина: «Высшая математика» Тема: «Универсальная тригонометрическая подстановка» 1. Универсальная тригонометрическая подстановка
-
Элементарные частицы. Античастицы, взаимные превращения частиц
Одним из самых важных результатов в физике высоких энергий является открытие античастиц. Первая античастица -позитрон теоретически предсказан и открыт в начале 30 годов. Он имеет точно такую же массу и абсолютную величину заряда, как и электрон.
-
Элементарные частицы. Ускорители
Исторически термин элементарные частицы был введен для тех частиц, которые считались неделимыми и бесструктурными, и из которых построена вся материя.