Название: Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
Вид работы: контрольная работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 113.03 Kb
Скачать файл: referat.me-217632.docx
Краткое описание работы: Определение вероятности наступления определенного события по законам теории вероятности. Вычисление математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения. Нахождение выборочного уравнения регрессии по данным корреляционной таблицы.
Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики
Вариант 1
№ 1
Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,8, р3 = 0,7.
Найти вероятности того, что:
а) все три стрелка попадают в цель;
б) только один из них попадает в цель;
в) хотя бы один стрелок попадает в цель.
Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.
Вероятности промахов равны соответственно: q1 = 0,1, q2 = 0,2, q3 = 0,3.
а) Р(А) = р1 р2 р3 = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.
б) Р(В) = p1 q2 q3 + q1 p2 q3 + q1 q2 p3 = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.
в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда
Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994.
№ 11
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз
У нас nдостаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,
№ 21
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
хі | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
рі | 0,05 | 0,18 | 0,23 | 0,41 | 0,13 |
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хі рі = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.
i=1
5
D(X) = ∑ xi ²pi – M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1
1,1579.
σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.
№ 31
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) ÞP= F(1) – F
=
– 0 =
.
Графики функций поданы далее.
№ 41
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.
Используем формулу Р(α < x < β) =
Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф
– Ф(–2).
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
Ф– Ф(–2) = Ф
+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.
№ 51
Поданному статистическому распределению выборки
хі | 4 | 5,8 | 7,6 | 9,4 | 11,2 | 13 | 14,8 | 16,6 |
mі | 5 | 8 | 12 | 25 | 30 | 20 | 18 | 6 |
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию;в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
, где С – одно из значений хі
, как правило, соответствующее наибольшему значению mі
, а h– это шаг (у нас h = 1,8).
Пусть С = 11,2. Тогда .
Заполним таблицу:
xi | mi | xi ´ | xi mi | (xi ´)²mi |
4 | 5 | – 4 | – 20 | 80 |
5,8 | 8 | – 3 | – 24 | 72 |
7,6 | 12 | – 2 | – 24 | 48 |
9,4 | 25 | – 1 | – 25 | 25 |
11,2 | 30 | 0 | 0 | 0 |
13 | 20 | 1 | 20 | 20 |
14,8 | 18 | 2 | 36 | 72 |
16,6 | 6 | 3 | 18 | 54 |
∑ = 124 | ∑ = – 19 | ∑ = 371 |
Используя таблицу, найдём ;
D(x´) = ∑(xi
´)²mi
– (xi
´)² =
– (– 0,1532)² = 2,9685.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
_
x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242;D(x) =D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;
σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.
№ 61
По данной корреляционной таблиценайти выборочное уравнение регрессии.
![]() |
у х | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | ny |
5 | 4 | 2 | 6 | ||||
15 | 5 | 23 | 28 | ||||
25 | 18 | 44 | 5 | 67 | |||
35 | 1 | 8 | 4 | 13 | |||
45 | 4 | 2 | 6 | ||||
nx | 4 | 7 | 42 | 52 | 13 | 2 | n= 120 |
Для упрощения расчетов введем условные переменные
u = , v =
.Составим таблицу:
vu | – 3 | – 2 | – 1 | 0 | 1 | 2 | nv | nuv uv |
– 2 | 4 6 | 2 4 | 6 | 32 | ||||
– 1 | 5 2 | 23 1 | 28 | 33 | ||||
0 | 18 0 | 44 0 | 5 0 | 67 | 0 | |||
1 | 1–1 | 8 0 | 4 1 | 13 | 3 | |||
2 | 4 2 | 2 4 | 6 | 16 | ||||
nu | 4 | 7 | 42 | 52 | 13 | 2 | n = 120 | ∑ = 84 |
Последовательно получаем:
;
;
;
;
σu
² =
– (u)² = 1,058 – (– 0,425)² = 0,878; σu
= √0,878= 0,937;
σv
² =
– (v)² = 0,742 – (– 0,125)² = 0,726; σv
= √0,726 = 0,8521;
По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuv uv = 84.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x= u∙h1 + C1 = – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h2 + C2 = – 0,125∙10 + 25 = 23,75;
σx = σu ∙h1 = 0,937∙3 = 2,811; σy = σv ∙h2 = 0,8521∙10 = 8,521.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению:
ух=12 = 2,457∙12 – 9,968 = 19,516; ε1 = 19,762 – 19,516 = 0,246;
2) при х = 18 по таблице имеем
по уравнению:
ух=18 = 2,457∙18 – 9,968 = 34,258; ε2 = 34,258 – 34,231 = 0,027.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
Вариант 2
№ 2
Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р1 = 0,9, р2 = 0,95, р3 = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:
а) только одного устройства;
б только двух устройств;
в) всех трёх устройств.
Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q1 = 0,1, q2 = 0,05, q3 = 0,15. Тогда
а) Р(А) = p1 q2 q3 + q1 p2 q3 + q1 q2 p3 = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.
б) Р(В) = p1 p2 q3 + p1 q2 p3 + q1 p2 p3 = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725.
в) Р(С) = р1 р2 р3 = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.
№ 12
В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.
По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона:
.
Таким образом,
№ 22
По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).
хі | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
рі | 0,25 | 0,15 | 0,27 | 0,08 | 0,25 |
Последовательно получаем:
5
М(Х) = ∑ хі рі = 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.
i=1
5
D(X) = ∑ xi
²pi
– M² = 2²∙0,25 + 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25 – 4,43² і=1
= 5,0451.
σ(Х) = √D(X) = √5,0451= 2,246.
№ 32
Случайная величина Х задана интегральной функцией
а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);
б) математическое ожидание и дисперсию величины х;
в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу
;
г) построить графики функций F(x) и f(x).
Последовательно получаем:
а) ;
в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a) ÞP= F(1) – F
=
Графики функций приводятся далее.
№ 42
Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α;β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 5; β = 14; а = 9; σ = 5.
Используя формулу имеем
Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:
№ 52
По данному статистическому распределению выборки
хі | 7,6 | 8 | 8,4 | 8,8 | 9,2 | 9,6 | 10 | 10,4 |
mі | 6 | 8 | 16 | 50 | 30 | 15 | 7 | 5 |
Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию;в) выборочное среднее квадратическое отклонение.
Для решения задачи введём условную переменную
где С – одно из значений хі , как правило, соответствующее наибольшему значению mі , а h – это шаг (у нас h = 0,4).
Пусть С = 8,8. Тогда
Заполним таблицу:
xi | mi | xi ´ | xi mi | (xi ´)²mi |
7,6 | 6 | – 3 | – 18 | 54 |
8 | 8 | – 2 | – 16 | 32 |
8,4 | 16 | – 1 | – 16 | 16 |
8,8 | 50 | 0 | 0 | 0 |
9,2 | 30 | 1 | 30 | 30 |
9,6 | 15 | 2 | 30 | 60 |
10 | 7 | 3 | 21 | 63 |
10,4 | 5 | 4 | 20 | 80 |
∑ = 137 | ∑ = 51 | ∑ = 335 |
Используя таблицу, найдём
;
D(x´) = ∑(xi
´)²mi
– (xi
´)² =
– 0,3723² = 2,3067.
Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):
x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961;
σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.
№ 62
По данной корреляционной таблице
![]() |
у х | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | ny |
10 | 2 | 5 | 7 | ||||
20 | 6 | 8 | 4 | 18 | |||
30 | 8 | 46 | 10 | 64 | |||
40 | 5 | 20 | 4 | 29 | |||
50 | 3 | 14 | 2 | 5 | 22 | ||
nx | 2 | 19 | 62 | 48 | 6 | 3 | n = 140 |
найти выборочное уравнение регрессии.
Для упрощения расчетов введём условные переменные
Составим таблицу.
![]() |
– 2 | – 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | nv | nuv uv |
– 2 | 2 4 | 5 2 | 7 | 18 | ||||
– 1 | 6 1 | 8 0 | 4 –1 | 18 | 2 | |||
0 | 8 0 | 46 0 | 10 0 | 64 | 0 | |||
1 | 5 0 | 20 1 | 4 2 | 29 | 28 | |||
2 | 3 0 | 14 2 | 2 4 | 5 6 | 22 | 66 | ||
nu | 2 | 19 | 62 | 48 | 6 | 3 | n = 140 | ∑ = 114 |
Последовательно получаем:
;
;
;
;
σu
² =
– (u)² = 0,9 – 0,329² = 0,792; σu
= √0,792 = 0,89;
σv
² =
– (v)² = 1,164 – 0,293² = 1,079; σv
= √1,079 = 1,0385;
По таблице, приведённой выше, получаем ∑nuv uv = 114.
Находим выборочный коэффициент корреляции:
Далее последовательно находим:
x = u∙h1 + C1 = 0,329∙4 + 12 = 13,314; y = v∙h2 + C2 =0,293∙10 + 30 = 32,929;
σx = σu ∙h1 = 0,89∙4 = 3,56; σy = σv ∙h2 = 1,0385∙10 = 10,385.
Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,
упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:
Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.
1) при х = 12 по таблице имеем
по уравнению: ух=12 = 2,266∙12 + 2,752 = 29,944; ε1 = 30,484 – 29,944 = 0,54;
2) при х = 16 по таблице имеем
по уравнению: ух=16 = 2,266∙16 + 2,752 = 39,008; ε2 = 39,167 – 39,008 = 0,159.
Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.
Похожие работы
-
Математические модели окружающей среды
Расчет моментов ряда, построение функции распределения и плотности функции распределения, ее аппроксимация теоретическими зависимостями. Определение стационарности ряда. Вычисление куммулятивной частоты превышения уровня. Прогноз превышения уровня.
-
Определение вероятности событий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 11 ВАРИАНТ 3 1. Монета подброшена 3 раза. Найти вероятность того: что герб появится два раза Применяя классическое определение вероятности, находим:
-
Вариационные ряды
Задание № 1. По данной выборке: а) Найти вариационный ряд; б) Построить функцию распределения; в) Построить полигон частот; г) Вычислить среднее значение СВ, дисперсию, среднеквадратичное отклонение.
-
Формула Бернулли, Пуассона. Коэффициент корреляции. Уравнение регрессии
В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным.
-
Вычисления по теории вероятностей
Применение классического определения вероятности в решении экономических задач. Определение вероятности попадания на сборку бракованных и небракованных деталей. Вычисление вероятности и выборочного значения статистики при помощи формулы Бернулли.
-
Первичная статистическая обработка информации
400 45 431 394 362 436 343 403 483 462 395 467 420 411 391 397 455 412 363 449 439 411 468 435 313 486 463 417 369 377 409 390 389 386 409 379 412 370 391 421 459 390 415 415 366 323 469 399 486 393 361 407
-
Контрольная работа по Эконометрике
Построим поле корреляции (на отдельном листе) и сформулируем гипотезу о форме связи, предполагая, что генеральное уравнение регрессии – линейное: Найдем оценки b0 и b1 параметров модели парной линейной регрессии
-
Функция плотности распределения
Графическое изображение теоретической и эмпирической функций плотности распределения; критерии их согласования. Определение доверительных интервалов для математического ожидания. Расчет диапазона рассеивания значений при заданной вероятности риска.
-
Математическая статистика
Исследование сходимости рядов. Степенной ряд интеграла дифференциального уравнения. Определение вероятности событий, закона распределения случайной величины, математического ожидания, эмпирической функции распределения, выборочного уравнения регрессии.
-
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.