Название: Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 120.12 Kb
Скачать файл: referat.me-217815.docx
Краткое описание работы: Определение системы натуральных чисел (системы Пеано), аксиоматической системы Пеано, доказываются теоремы математической индукции, вводится определение чисел Фиббоначи и формула Бине для вычисления чисел Фиббоначи с доказательством.
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции
п.1. Аксиоматическая система натуральных чисел.
Определение. Системой натуральных чисел (системой Пеано) называется алгебра , где
- бинарные операции,
- унарная операция (функция «следования»),
- выделенный элемент в множестве
, для которой выполнены следующие аксиомы:
Для ,
(элемент
называется следующим за
).
Для ,
,
.
,
.
Для ,
.
,
.
Для ,
.
Аксиома индукции: Пусть . Если множество
удовлетворяет условиям:
а) ;
б) для ,
;
то .
Система аксиом Пеано обладает тем свойством, что ни одна из аксиом системы не является следствием других аксиом.
Из системы аксиом Пеано можно вывести все известные нам свойства натуральных чисел.
п.2. Теоремы математической индукции.
Теорема 1. (принцип полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на
, который удовлетворяет условиям:
- истина.
(
- истина ®
- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на
.
Доказательство. Обозначим через множество всех тех
, для которых
истина. Проверим, что
удовлетворяет условиям аксиомы индукции.
Т.к. - истина, то
.
Если , то
- истина и по второму условию теоремы индукции
- истина. Поэтому
.
Множество удовлетворяет условиям аксиомы индукции. Поэтому
.
Обозначение. Множество целых чисел состоит из натуральных чисел, нуля и чисел противоположных натуральным.
Для обозначим
.
Теорема 2. (обобщение принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на
, где
, который удовлетворяет условиям:
- истина.
(
- истина ®
- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на
.
Теорема 3. (сильная форма принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на
, который удовлетворяет условиям:
- истина.
(
- истины®
- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на
.
Теорема 4. (обобщение сильной формы принципа полной математической индукции). Пусть - одноместный предикат на
, где
, который удовлетворяет условиям:
- истина.
(
- истины ®
- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на
.
Числа Фибоначчи
Определение. Числа Фибоначчи , для
, определяются рекуррентно
(1) ,
;
для всех
.
Из определения чисел Фибоначчи следует, что
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Для вычисления чисел Фибоначчи справедлива следующая формула Бине
(3) ,
.
Из (1) и (2) следует, что индукционное предположение, при доказательстве формулы Бине, должно предполагать справедливость (3) для и
, и значит, начальные условия должны требовать выполнение (3) для
и
. Поэтому доказательство формулы Бине может проводиться по следующей теореме математической индукции.
Теорема 5. Пусть - одноместный предикат на
, который удовлетворяет условиям:
- истины.
(
- истины ®
- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на
.
Проведём доказательство формулы Бине по теореме 5.
Для и
равенство (3) принимает вид
,
.
Очевидно, что эти равенства верны.
Предположим, что равенство (3) истинно для чисел и
. Тогда из (2) следует, что
.
После простых преобразований правой части получим, что
По индукции формула Бине доказана.
Теорема 6. Пусть - одноместный предикат на
, который удовлетворяет условиям:
- истина.
(
- истины ®
- истина).
Тогда предикат тождественно истинен на
.
п.3. Основное свойство ассоциативных операций.
Теорема. Если бинарная операция на множестве
ассоциативна, то
при любой расстановке скобок, задающих порядок выполнения операций
в произведении
значения произведений будут одинаковыми, то есть значение произведения не зависит от способа расстановки скобок.
Доказательство. Проводится индукцией по . Проверим утверждения теоремы для
и
.
Для - очевидно, так как порядок выполнения операций единственен.
Для произведение
может быть вычислено двумя способами:
или
. В силу ассоциативности
- эти произведения равны.
Предположим, что теорема доказана для всех чисел , где
.
Докажем теорему для числа . При любой расстановке скобок в произведении
, такое произведение есть произведение двух скобок
(1), где
. Внутри каждой скобки расставлены свои скобки. Так как в каждой скобке
множителей, то по индукционному предположению значение произведения в скобках не зависит от того, как в них расставлены скобки. Поэтому произведение (1) можно записать в виде
, применяя закон ассоциативности и индукцирования к множителям. Получим, что произведение (1) равно
и так далее продолжая, получим
, поэтому произведение (1) не зависит от способа расстановки скобок.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Похожие работы
-
Число пи четверками
Известна задача четырех четверок, в которой предлагается, записав четыре -ки и какие угодно обычные математические символы в любых количествах получить как можно более точное приближение числа .
-
Теорема Безу
Этьен Безу французский математик, член Парижской Академии Наук( с 1758 года ), родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года. С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.
-
Метод математической индукции
Брянский Городской Лицей №1 Исследовательская работа на тему: Метод Математической Индукции Выполнил елешко онстантин ученик 10 физико-математического
-
Счётные множества
Определение счетного множества. Критерий счетного множества. Теоремы характеризующие счётные множества. Объединения счетных множеств. Интересные примеры счётных множеств.
-
Великая теорема Ферма
История Великой теоремы Ферма весьма занимательна и поучительна, и не только для математиков. Пьер де Ферма внес вклад в развитие самых различных областей математики, однако основная часть его научного наследия была опубликована лишь посмертно.
-
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
-
Теорема Геделя
Курт Гедель как крупнейший специалист по математической логике, краткий очерк его жизни и личностного становления, достижения в сфере профессиональной деятельности. История и основные этапы создания теоремы о неполноте, первой и второй, дискуссии вокруг н
-
Доказательство великой теоремы Ферма
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.
-
Дедукция и индукция
В основу всякого научного исследования, в том числе и математического, лежат дедуктивный и индуктивный методы.
-
Метод математической индукции
Полная и неполная индукция, принцип математической индукции, метод математической индукции, примеры.