Referat.me

Название: Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

Вид работы: статья

Рубрика: Математика

Размер файла: 24.13 Kb

Скачать файл: referat.me-218787.docx

Краткое описание работы: Разработан алгоритм, сочетающий точность и быстродействие, что позволяет рекомендовать его для практического использования.

Эффективный алгоритм обращения матрицы Вандермонда

Доц. Кольвах В. Ф., инж. Кольвах Д. В.

Кафедра промышленной электроники.

Северо-Кавказский горно-металлургический институт (государственный технологический университет)

Разработан алгоритм, сочетающий точность и быстродействие, что позволяет рекомендовать его для практического использования.

Многие задачи расчета электронных схем, теории аппроксимации, теории прогнозирования и т. п. основаны на получении и обращении матрицы Вандермонда:

, (1)

2 Труды молодых ученых №4, 2003
где сi – различные действительные или комплексные числа.

Особый характер формирования столбцов матрицы v требует возведения в степень чисел сi . Если размер матрицы р достаточно велик, это приводит к плохой обусловленности матрицы. Например, для всех чисел |сi| >1 компоненты последующих строк будут много больше единицы, а для всех чисел |сi| < 1 эти компоненты оказываются много меньше единицы. Поэтому применение стандартных алгоритмов обращения не позволяет получить высокую точность из-за погрешностей обработки чисел в машине.

Существенно лучший результат достигается при использовании разработанной авторами и изложенной ниже последовательности операций.

1. На первом этапе находят общий характеристический многочлен:

. (2)

Обычно этот многочлен уже известен заранее из других этапов решения задачи получения матрицы v. В противном случае для его определения можно воспользоваться формулами Вьета [1] или следующей рекуррентной процедурой:

(3)

2. На втором этапе определяют частный характеристический многочлен для произвольной i-й строки матрицы v -1:

(4)

где

3. На третьем и заключительном этапе находят все элементы i-й строки искомой матрицы v -1 :

(5)

Следует отметить, что значение характеристического многочлена и его коэффициенты вычисляются один раз для всей строки с номером i.

Таким образом, матрица v -1 может быть представлена в следующем виде:

. (6)

Справедливость формулы (6) доказывается перемножением матриц vv -1 = v -1 v в общем виде. В результате получаем единичную матрицу.

Иногда требуется найти не всю матрицу v -1, а только одну из ее строк. В этом случае определение частного многочлена рациональнее сразу проводить по формулам (3).

Изложенный алгоритм обеспечивает точное обращение матрицы Вандермонда при минимальном количестве операций перемножения-деления. Дополнительное сокращение объема вычислений достигается за счет того, что комплексно-сопряженные компоненты сi и сj исходной матрицы v дают в итоге комплексно-сопряженные строки в матрице v -1.

Следует отметить, что действительный столбец исходной матрицы v дает при обращении соответствующую действительную строку в матрице v -1, а умножение любого столбца на ненулевое число в матрице v приводит к делению на это же число соответствующей строки в матрице v -1 .

Список литературы

1. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.

2. Кольвах В. Ф., Кольвах Д. В. Расчет и оптимизация электронных схем. Владикавказ, СКГТУ, изд. "Терек", 1998.

Похожие работы

  • Двумерная кластеризая по предельному расстоянию. Дискретная математика

    Изучение основных вопросов теории графов и области ее применения на практике. Разработка алгоритма кластеризации по предельному расстоянию и построение минимального остовного дерева каждого кластера. Результаты тестирований работы данного алгоритма.

  • Численные методы

    Подавляющее большинство процессов реального мира носит линейный характер. Область, использования линейных моделей ограничена, в то же время для построения нелинейных моделей хорошо разработан математический аппарат. Методо МНК для линейной функции.

  • Алгоритмы сортировки

    Проблема упорядочивания данных с практической точки зрения: достоинства и недостатки пяти различных методов сортировки.

  • Вычисление определенного интеграла методом трапеций и средних прямоугольников

    БЕЛОРУССКИЙ АГРАРНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КУРСОВАЯ РАБОТА на тему “вычисление определенного интеграла методами трапеций и средних прямоугольников”

  • Площадь треугольника

    Задача Дано: треугольник с вершинами в точках А [4; 0] B [3; 20] [5; 0]. Найти: a) Уравнение прямой b) Уравнение высоты , проведенной к стороне c) Уравнение прямой

  • Метод квадратных корней

    Система линейных алгебраических уравнений. Основные формулы Крамера. Точные, приближенные методы решения линейных систем. Алгоритм реализации метода квадратных корней на языке программирования в среде Matlab 6.5. Влияние мерности, обусловленности матрицы.

  • Графическое представление графа

    Алгоритм перехода к графическому представлению для неориентированного графа. Количество вершин неориентированного графа. Чтение из матрицы смежностей. Связи между вершинами в матрице. Задание координат вершин в зависимости от количества секторов.

  • Построение матрицы достижимости

    Понятие матрицы достижимости и связности. Операция удаления вершины из графа. Алгоритм выделения компонент сильной связности. Разработка и листинг программы на языке Turbo Pascal, осуществляющей вычисление матрицы достижимости по заданному алгоритму.

  • Исследования и теории Габриеля Крамера

    Преподавательская работа швейцарского математика Габриэля Крамера, введение в анализ алгебраических кривых. Система произвольного количества линейных уравнений с квадратной матрицей Крамера. Классификация и порядок математических и алгебраических кривых.

  • Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной

    Окружение и локализация корня нелинейной функции действительной переменной Важной проблемой поиска корня нелинейной функции действительной переменной является выяснение интервала, на котором корень содержится. Ниже приведен алгоритм поиска такого интервала и ограничения на его применение.