Название: Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Вид работы: курсовая работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 155.4 Kb
Скачать файл: referat.me-218808.docx
Краткое описание работы: Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Содержание
Введение
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Заключение
Список используемой литературы
Введение
В данной работе мы рассмотрим теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и пример приложения этой теоремы к выводу функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
Определим некоторые понятия. Пусть k - конечное расширение поля Q , a - некоторый главный идеал поля k. Рассмотрим его разложение на простые идеалы
где
для почти всех p.
Через N (a) обозначим абсолютную норму идеала a, т.е. Определим дзета-функцию Дедекинда
:
Кроме того каждому характеру сопоставим L-ряд
Глава 1. Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле
Докажем следующую теорему
Теорема. Пусть K - конечное абелево расширение поля k; тогда
где произведение справа распространяется на все примитивные характеры, согласованные с характерами группы классов
где S - исключительное множество в k,
- группа всех идеалов поля k, взаимно простых с S,
- подгруппа конечного индекса, образованная теми элементами из
, которые содержат нормы относительно k идеалов из K, взаимно простых с S,
- подгруппа в подгруппе главных идеалов в
, состоящая из таких главных идеалов
, для которых
и
Доказательство проводится в терминах локальных множителей, причем мы рассмотрим по отдельности неразветвленный и разветвленный случаи.
1. Пусть p - неразветвленный простой идеал из k, т.е.
где - различные простые идеалы в K. Согласно теории полей классов,
где
Поэтому соответствующий локальный множитель слева равен
в то время как соответствующий локальный множитель справа равен
Ввиду того, что f - наименьшее положительное число такое, что для всех
, имеет место следующее легко проверяемое тождество
отсюда, если положить, следует нужное равенство.
2. Доказательство для разветвленных простых идеалов сложнее и использует функциональные уравнения, которым удовлетворяют различные L-функции. Начнем с равенства
и докажем, что функциятождественно равна единице.
равна произведению конечного числа выражений вида
соответствующих разветвленным идеалам p.
теорема дзета функция дедекинд
Если это произведение непостоянно, оно имеет полюс или нуль в некоторой чисто мнимой точке , где
. В силу функционального уравнения
представляет собой отношение гамма-функций и, следовательно, имеет только вещественные нули и полюсы. Поэтому
, также является полюсом или нулем функции g. Мы знаем, однако, что
не является нулем или полюсом ни для L-рядов, ни для функций
. Следовательно, g постоянна, а именно равна 1.
Глава 2. Вывод функционального уравнения дзета-функции Дедекинда
Пусть k=Q
, K=Q
(
), где
- первообразный корень из 1 степени m,
. Тогда
(1)
где - дзета-функция Римана,
- L-функция Дирихле, произведение справа распространяется на все неглавные рациональные характеры по модулю m.
Выведем функциональное уравнение
Воспользуемся функциональным уравнением для :
,
где сумма Гаусса. Воспользуемся (1), получим
,
,
используя свойство сумм Гаусса, получим
,
.
Пусть для любого вещественного характера , тогда
,
.
Известно, что для каждого комплексного характера существует сопряжённый, тогда получим
,
,
,
.
Используя функциональное уравнение для дзета-функции Римана:
получим
где D - дискриминант поля K.
Таким образом мы получили функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда в случае, когда k=Q
, K=Q
(
).
Заключение
В данной работе мы доказали теорему о представлении дзета-функции Дедекинда в виде произведения L-функций и с помощью этой теоремы вывели функциональное уравнение дзета-функции Дедекинда в случае k=Q
, K=Q
(
), где
- первообразный корень из 1 степени m.
Список используемой литературы
1. Касселс Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел. - М., "Мир", 1969, с.328 - 330
Похожие работы
-
Зодиакальные созвездия: справочная информация
Происхождение названий. Описания звезд.
-
Созвездия Водолей, Козерог
Звезда дзета Водолея была расположена на две составляющие еще в 1777 г. С тех пор в этой системе обнаружено орбитальное движение с периодом (по современным данным) в 361 год.
-
Созвездие Рак
У древнего писателя Плиния Старшего есть такие строки: "В знаке Рака есть две малые звезды, называемые Ослятами, а среди них - маленькое облачко, которое называют Яслями".
-
Теорема Дирихле
Содержание 1.1 Определение характера. Основные свойства характеров 3 1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности 6 1.3 Характеры Дирихле 8 Введение
-
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
-
Аналитическая теория чисел. L-функция Дирихле
Характеры и L-функции Дирихле, функциональное уравнение. Аналитическое продолжение L-функции Дирихле на комплексную плоскость; тривиальные и нетривиальные нули. Теорема Вейерштрасса о разложении в произведение целых функций. Обобщенная гипотеза Римана.
-
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
-
Дзета функция Римана
Министерство образования Российской Федерации Ставропольский Государственный университет Кафедра математического анализа Курсовая работа на тему :
-
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
-
Созвездие "Корабль Арго" (Киль. Корма. Паруса. Компас.)
Корабль Арго был одним из наиболее широко раскинувшихся созвездий неба, занимавшим площадь в 1888 квадратных градусов. Оно намного превосходило обширное созвездие Девы, площадь которого 1290 квадратных градусов.