Название: Алгебра и алгебраические системы
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 75.72 Kb
Скачать файл: referat.me-218818.docx
Краткое описание работы: Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть - непустое множество, то есть
.
Определение. Бинарной операцией на множестве называется отображение прямого произведения
.
Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов множества поставлен в соответствие единственный элемент из
, то говорят, что задана бинарная операция на множестве
.
Пример.
Пусть - произвольные высказывания
:
- бинарная операция на множестве высказываний.
Пусть - произвольные множества
:
- бинарная операция на множестве множеств.
Пусть
:
- бинарная операция на множестве действительных чисел.
:
- не является бинарной операцией на множестве
, так как
.
Если - произвольная бинарная операция на множестве
и паре
ставится в соответствие элемент
(то есть
), то вместо записи
пишут
, то есть имеем
. Элемент
называется композицией элементов
.
Определение. Пусть . Отображение
называется
- местной операцией на множестве
. Число
- ранг операции.
Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества
. Число
называется рангом нульместной операции.
Определение. Одноместные операции называются унарными операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества ставит в соответствие элемент из множества
, то есть унарная операция – это отображение множества
во множество
.
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть - множество натуральных чисел
- унарная операция
- не является унарной операцией
На множестве высказываний операция :
- унарная операция
На множестве подмножеств универсального множества операция дополнения – унарная операция.
Определение. Отображение из множества называется частичной
- местной операцией на множестве
, если область определения отображения не совпадает с
.
Виды бинарных операций
Пусть - бинарные операции на множестве
.
Операция - коммутативна на множестве
.
Операция - ассоциативна на множестве
.
Операция - дистрибутивна слева относительно операции
.
Операция дистрибутивна справа относительно операции
.
Пример.
Операция на множестве
- коммутативна, ассоциативна.
Операция на множестве
- коммутативна, ассоциативна.
На множестве множеств операции и
дистрибутивны относительно друг друга.
На множестве функций композиция функций - ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.
п.2. Понятие алгебры.
Определение. Алгебра , где
,
- множество операций на
.
Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть - множество высказываний
- алгебра логики высказываний.
Пусть - множество натуральных чисел
- алгебра натуральных чисел относительно операций
и
.
Определение. Алгебра называется подалгеброй алгебры
, если множество
;
- ограничение операции
.
Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка
, где
,
- множество операций на
;
- множество отношений на
.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Похожие работы
-
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
-
Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
-
Кольца. Примеры колец. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Подкольца. Кольцо целых чисел
Для изучения предлагаются понятия кольца, коммутативного кольца и области целосности, гомоморфизма и изоморфизма колец, подкольца, а так же свойства кольца целых чисел.
-
Система натуральных чисел. Принцип математической индукции. Теоремы математической индукции
Определение системы натуральных чисел (системы Пеано), аксиоматической системы Пеано, доказываются теоремы математической индукции, вводится определение чисел Фиббоначи и формула Бине для вычисления чисел Фиббоначи с доказательством.
-
Алгебраические системы замыканий
Изучение абстрактных систем замыканий на множестве. Теорема о взаимосвязи между системами замыканий и операторами замыкания. Понятие и структура алгебраических систем замыканий. Анализ соответствия Галуа как наиболее важного примера систем замыканий.
-
Конспект по дискретной математики
Дискретная математика Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации…
-
Некоторые примеры некоммутативных алгебр
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский педагогический государственный университет»
-
Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Учреждение образования "Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"
-
Представление бинарного дерева в виде массива
Понятие линейных и нелинейных списков, иерархическое упорядочение элементов. Дерево - нелинейная структура, состоящая из узлов и ветвей и имеющая направление от корня к внешним узлам. Разработка программы представления бинарных деревьев в виде массива.
-
Разработка формальной системы
Министерство образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра ВПМ Разработка формальной системы Пояснительная записка к курсовому проекту