Название: Теория вероятностей и математическая статистика
Вид работы: контрольная работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 16.08 Kb
Скачать файл: referat.me-218896.docx
Краткое описание работы: Определение вероятности потери в ожесточенном бою одновременно глаза, рук, ноги; выбор возможных вариантов женитьбы; выигрыша, смерти. Расчет максимальной страховой риск компании и не оказаться в убытке.
Теория вероятностей и математическая статистика
Контрольная работа
по дисциплине
Теория вероятностей
Решение задач
Задание 1
Имеется четверо мужчин и шесть женщин. Каждый мужчина женился на одной из женщин. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
A(4;6) = 6!/2! = 3*4*5*6 = 360
Ответ: 360 способов
Задание 2
В ожесточенном бою не менее 70% бойцов потеряли один глаз, не менее 75% - одно ухо, не менее 80% - одну руку, не менее 85% - одну ногу. Какое минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногу?
Решение: Я решила данную задачу двумя способами.
1. Т(Ч+Н)=Т(Ч)+Т(Н)-Т(ЧН)б
где X+Y означает объединение множеств X и Y, XY - пересечение, функция N - число элементов множества. Обозначим через A, B, C, D - множества бойцов, потерявших глаз, ухо, руку, ногу. В данном примере обозначим через N - процентное содержание множества.
Тогда
N(AB)=N(A)+N(B)-N(A+B)>=70+75-100=45
Аналогично
N(CD)=N(C)+N(D)-N(C+D)>=80+85-100=65.
Окончательно имеем
Т(ФИСВ)=Т(ФИ)+Т(СВ)-Т(ФИ+СВ)Ю=45+65-100=10 ю
2. Всего 100%. Минус 30% тех, кто имеет оба глаза, минус 25% оба уха, минус 20% обе руки и 15% обе ноги. 100-30-25-20-15 = 10 процентов минимум
Ответ: минимальное число потерявших одновременно глаз, ухо, руку, ногусоставляет 10 %.
Задание 3
Двое поочередно бросают монетку. Выиграет тот, у кого раньше выпадет герб. Определить вероятность выигрыша для каждого игрока.
Решение:
A = {выиграл тот, кто начал бросать монетку первым}
A = A1 + A2 + A3 + ... A1 = {у первого игрока выпал герб}
A2 = {у первого игрока выпала решка, у второго - решка, у первого - герб}
A3 = {у первого игрока выпала решка, у второго - решка, у первого - решка, у второго - решка, у первого - герб} и так далее
P(A1) = 1/2 P(A2) = (1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4) P(A3) =
(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = (1/2)*(1/4)*(1/4) = (1/2)*((1/4)^2)
итакдалее
P(A) = P(A1+A2+A3+...) = [события A1, A2, A3, ... несовместны] =
P(A1) + +P(A2) + P(A3) + ... = (1/2) + (1/2)*(1/4) + (1/2)*((1/4)^2) + ... =
[сумма геометрической прогрессии] = (1/2)/(1 - 1/4) = (1/2)/(3/4) = 2/3
P(A) = 2/3 B = {выиграл тот, кто начал бросать монетку вторым} B = не
A P(B) = P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 2/3 = 1/3
Ответ: для первого 2/3, для второго 1/3.
Задание 4
В кошельке лежат 8 монет достоинством по 5 копеек и 2 монеты достоинством в 3 копейки. Наудачу выбирается монета и бросается 5 раз. Какова вероятность того, что в сумме будет 15 очков, если "герб" принимается за "0"?
Решение:
H1 = {монета в 5 копеек} H2 = {монета в 3 копейки} P(H1) = 8/10 = 0.8 P(H2) = 2/10 = 0.2 A = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях} A
H1 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 5 копеек} = {при 5 бросаниях 3 решки и 2 герба} A
H2 = {в сумме будет 15 очков при 5 бросаниях, если бросается монета в 3 копейки} = {при 5 бросаниях 5 решек} n = 5 p = 1/2 - вероятность выпадения решки q = 1 - p = 1/2 m - количество бросаний, при которых выпадет решка P(A
Р1 = З(ь=3) = С(3ж5)*((1.2):3)*((1.2):2) = 10*(1.8)*(1.4) = 10.32 =0ю3125 З(Ф/Р2) = З(ь=5) = (1.2):5 = 1.32 = 0.03125 По формуле полной вероятности З(Ф) = З(Р1)З(Ф/Р1) + З(Р2)З(Ф/Р2) = (0ю8)*(0ю3125) + (0ю2)*(0ю03125) = 0ю25+ +0ю00625 = 0ю25625
Ответ: если бросается монета в 5 копеек 0.3125
если бросается монета в 3 копейки 0.03125
полная вероятность 0.25625
Задание 5
Для лица, дожившего до 20-летнего возраста, вероятность смерти на 21-м году жизни равна 0,006. Застрахована группа в 15000 человек 20-летнего возраста, причем каждый застрахованный внес по 20 у.е. Какую максимальную выплату наследникам следует установить, чтобы вероятность того, что к концу года страховое учреждение окажется в убытке, была не больше 0,0228?
Решение: Пусть случайная величина X - число страховых случаев за год. Xi - страховой случай для i-того клиента,
i = 1 ... 15000 Xi = {1, если страховой случай для i-того клиента произошел
{0, иначе Случайная величина Xi имеет распределение Бернулли при p = 0.006 M(Xi) = p = 0.006 D(Xi) = p(1-p) = (0.006)*(1 - 0.006) = (0.006)*(0.994) = 0.005964 X = sum_{i=1}^{15000} Xi M(X) = M(sum_{i=1}^{15000} Xi) = sum_{i=1}^{15000} M(Xi)=sum_{i=1}^{15000} 0.006 = (0.006)*(15000) = 90 D(X) = D(sum_{i=1}^{15000} Xi) = [события Xi независимы] = sum_{i=1}^{15000} D(Xi) = sum_{i=1}^{15000} 0.005964 = =(0.005964)*(15000) = 89.46 Пусть m - выплата за страховой случай Доход страховой компании равен D = 15000*20 - mX = 300000 - mX Необходимо найти m такое, что P(D <= 0) <= 0.0228 P(D <= 0) = P(300000 - mX <= 0) = P(mX >= 300000) = P(X > 300000/m) = = P((X-M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m - M(X))/sqrt(D(X))) = = P((X - M(X))/sqrt(D(X)) > (300000/m - 90)/sqrt(89.46)) ~ ~ [по центральной предельной теореме] ~
~ 0.5 - Ф((300000/m - 90/sqrt(89.46))) P(D <= 0) <= 0.0228 0.5 - Ф((300000/m - 90/sqrt(89.46))) <= 0.0228 Ф((300000/m - 90/sqrt(89.46))) >= 0.4772 (300000/m - 90)/sqrt(89.46) >= 2 300000/m >= 108.9166593... m <= 2754.399574... m(max) = 2754
Ответ: максимальная выплата 2754 у.е.
Похожие работы
-
Теория вероятности
Основные положения теории. Основные категории теории вероятности.
-
Элементы комбинаторики 2
Алтайский Государственный Аграрный Университет Индивидуальное задание по теории вероятности. Тема: Элементы комбинаторики. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретная случайная величина.
-
Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
-
Теория вероятностей
Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
-
Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром
Если математическая модель, описывающая некоторые опыт, подобрана достаточно хорошо, то независимым события реального опыта соответствуют событиям модели, независимые в смысле определения.
-
Теория вероятности и математическая статистика. Задачи
Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.
-
Теория вероятности и математическая статистика
Теорема Бернулли на примере моделирования электросхемы. Моделирование случайной величины, имеющей закон распределения модуля случайной величины, распределенной по нормальному закону. Проверка критерием Х2: имеет ли данный массив закон распределения.
-
Гидравлические потери
Решение типовой задачи.
-
Теория вероятностей: наука о случайном
Определения и основные понятия теории. Примеры, элементарные задачи. Метод «Монте-Карло».
-
Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.