Название: Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

Вид работы: контрольная работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 103.58 Kb

Скачать файл: referat.me-214618.docx

Краткое описание работы: Определение типа кривой по виду уравнения, уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Определение медианы, уравнения средней линии в треугольнике. Вопросы по линейной алгебре. Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы.

Краткие сведения и задачи по курсу векторной и линейной алгебры

Контрольная работа

Краткие сведенияи задачи по курсу векторной и линейной алгебры

Векторная алгебра

Вариант №21

1. Найти скалярное произведение .

2. При каком значении α векторы и ортогональны?

;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.

3. Для прямой М₁ М₂ написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М₁ (0,-3) М₂ (2,1).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁ =k(x-x₁ ),

значит для прямой М₁ М₂

у+3=kx

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

значит для прямой М₁ М₂

Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:

,

Здесь

Уравнения прямой в отрезках для прямой М₁ М₂

;

4. В треугольнике М₀ М₁ М₂ найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М₀ , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М₁ М₂ .(М₀ (-1,-2); М₁ (0,-3); М₂ (2,1)).

Найдём координаты точки М₃ , координаты середины стороны М₁ М₂ :

уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

уравнение для высоты М₀ М₃ :

Найдём уравнение прямой М₁ М₂ :

Из условия перпендикулярности (k₂ =-1/k₁ ) следует, что k₂ =1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁ =k(x-x₁ ),

тогда уравнение для высоты примет вид:

y+1= (x+2)/2

или

x+2y=0.

Расстояние от точки М(x₀ ,y₀ ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:

Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М₀ (-3,-5) до прямойМ₁ М₂ , уравнение которой имеет вид -x+2y-4=0. Подставим данные в формулу(1):

Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-5/2; E(-1/2;-5/2).

Для точки F: x=1/2; y=-1/2; F(1/2;-1/2).

Уравнение прямой EF:

y+5/2=-2x-1 или 2x+y+3,5=0.

5. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

(1)

Воспользуемся параллельным переносом (O’(-3,-1))

(2)

Подставим (2) в (1), получим

кривая второго порядка является эллипсом.

F₁ (c;0); F₂ (-c;0).

т.к.

Координаты центра: O’(-3,-1).

6. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.

1)

2)

Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно, получаем:

Линейная алгебра

Матрицы

Ответы на вопросы

1. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

2. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде: .

Решение системы уравнения при помощи обратной матрицы:

3. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

1. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

2. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

Задача1.

X4-свободная переменная

r = 3

система совместима.

Задача2

т.к. detA0, то матрица является невырожденной.

А₁₁ =3;А₁₂ = -1;А₁₃ = -10;А₂₁ =0;А₂₂ =0;А₂₃ = -1;А₃₁ =0;А₃₂ = -1;А₃₃ = -1.

;

.

.

.

5. Найти скалярное произведение .

6. При каком значении α векторы и ортогональны?

;;;

;;;

Два вектора ортогональны, когда их скалярное произведение равно нулю.

7. Для прямой М₁ М₂ написать уравнение с угловым коэффициентом, в отрезках и общее уравнение. Начертить график прямой. М₁ (2,-2) М₂ (1,0).

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁ =k(x-x₁ ),

значит для прямой М₁ М₂

у+2=k(x-2)

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

значит для прямой М₁ М₂

Общий вид уравнения прямой в отрезках записывается в виде:

,

здесь

Уравнения прямой в отрезках для прямой М₁ М₂

;

y=-2x+2

8. В треугольнике М₀ М₁ М₂ найти уравнение медианы, высоты, проведенных их вершины М₀ , а также уравнение средней линии EF, параллельной основанию М₁ М₂ .(М₀ (-3,-5); М₁ (2,-2); М₂ (1,0)).

Найдём координаты точки М₃ , координаты середины стороны М₁ М₂ :

уравнения прямой, проходящей через две точки записывается в виде:

,

уравнение для высоты М₀ М₃ :

Найдём уравнение прямой М₁ М₂ :

Из условия перпендикулярности (k₂ =-1/k₁ ) следует, что k₂ =-1/2.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом записывается в виде:

y-y₁ =k(x-x₁ ),

тогда уравнение для высоты примет вид:

y+5= -(x+3)/2

или

x+2y+13=0.

Расстояние от точки М(x₀ ,y₀ ) до прямой Ax+By+c=0 находится по формуле:

Чтобы найти длину высоту, найдём расстояние от точки М₀ (-3,-5) до прямойМ₁ М₂ , уравнение которой имеет вид 2x+y-2=0. Подставим данные в формулу(1):

Найдём координаты точек Е иF.

Для точки Е: x=-1/2; y=-7/2; E(-1/2;-7/2).

Для точки F: x=-1; y=-5/2; F(-1;-5/2).

Уравнение прямой EF:

y+7/2=-2x-1 или 2x+y+4,5=0.

9. По каноническому уравнению кривой второго порядка определить тип кривой, начертить её график. Найти координаты фокусов, вершин и центра (для центральной кривой).

(1)

Воспользуемся параллельным переносом (O’(-2,2))

(2)

Подставим (2) в (1), получим

кривая второго порядка является эллипсом.

F₁ (c;0); F₂ (-c;0).

т.к.

Координаты центра: O’(-2,2).

10. Преобразовать к полярным координатам уравнения линии.

1)

2)

Первое уравнение представляет собой (при любых значениях φ) полюс О. Второе – дает все точки линии, в том числе полюс,. Поэтому первое уравнение можно отбросить. Следовательно получаем:

Ответы на вопросы

4. Дайте определение обратной матрицы. Какие вы знаете способы вычисления обратной матрицы?

Матрица В называется обратной для матрицы А, если выполняется условие АВ=ВА=Е, где Е – единичная матрица. Способы вычисления обратной матрицы: 1) использование алгебраических дополнений; 2) привести исходную матрицу к ступенчатому виду методом Гаусса, после чего необходимо преобразовать её в единичную .

5. Как записывается система уравнений в матрично-векторной форме? Как найти решение системы уравнений при помощи обратной матрицы?

Система уравнений в матрично-векторной форме записывается в виде:

.

Решения системы уравнения при помощи обратной матрицы:

6. Сформулируйте, в чем состоит процедура Гаусса и для решения каких линейных задач применяется?

Процедура Гаусса используется для решения систем линейных уравнений и состоит в следующем:

Выполняются элементарные преобразования, вследствие чего можно получить два исхода:

3. получается строчка, в которой до черты стоят нули, а после – ненулевое число, тогда решения нет;

4. система приводится к лестничному виду.

Если в системе лестничного вида число уравнений совпадает с числом неизвестных, то решение единственное.

Если число уравнений меньше чем число неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные разделяются на зависимые и свободные. Число зависимых неизвестных совпадает с числом уравнений.

Задача1.

r=2; система совместима.

х 3,x4 – свободные переменные

;.

Задача2.

т.к. detA0, то матрица невырождена.

А₁₁ =-1; А₁₂ =-3; А₁₃ =-1;А₂₁ =-3;А₂₂ =1;А₂₃ =2;А₃₁ =2;А₃₂ =-1;А₃₃ = -3.

.