Название: Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 79.3 Kb
Скачать файл: referat.me-215251.docx
Краткое описание работы: Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Кафедра: Высшая математика
Реферат
по дисциплине «Высшая математика»
Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»
Тольятти, 2008
Введение
Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных
Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .
Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают
z = f ( x , y ).
Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .
Так, для функции z = x 2 + 3xy
при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,
при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,
при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.
Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :
u = F ( x , y , z ).
Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .
Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz
при х = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,
при х = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,
при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.
Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается
u = f (x , y , z , …, t ).
Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.
Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0 (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0 ) и обозначается f (М 0 ) = f (x 0 , y 0 , z 0 , …, t 0 ).
Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.
Функция двух переменных z = f ( x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.
Функцию трех переменных u = F ( x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.
Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f ( x , y ) имеет предел в точке (х 0 , у 0 ), равный числу А , обозначаемый так:
(1)
(пишут еще f ( x , y ) →А при ( x , y ) → (х 0 , у 0 )), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
(2)
какова бы ни была стремящаяся к (х 0 , у 0 ) последовательность точек (xk , yk ).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0 , у 0 ) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
| f ( x , y ) – A | < ε(3)
для всех ( x , y ) , удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ. (4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0 , у 0 ) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0 , у 0 ), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0 , у 0 ) можно записать в виде х = х 0 + Δх , у = у 0 + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0 , у 0 ), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть ω = (ωх , ωу ) – произвольный вектор длины единица (|ω|2 = ωх 2 + ωу 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
(х 0 + t ωх , y 0 + t ωу ) (0 < t )
образуют луч, выходящий из (х 0 , у 0 ) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
f (х 0 + t ωх , y 0 + t ωу ) (0 < t < δ)
от скалярной переменной t , где δ – достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t )
f
(х
0
+ t
ωх
, y
0
+ t
ωу
),
если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0 , у 0 ) по направлению ω.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x
,
y
) за исключением точки х
0
= 0, у
0
= 0. Имеем (учесть, что и
):
Отсюда
(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f
(
x
,
y
)
| < ε, если < δ).
Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kx равенство
из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx , х > 0, имеет вид
).
Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию
(х
4
+ у
2
≠ 0).
Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
при х
→ 0.
Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2
и
Будем писать , если функция f
определена в некоторой окрестности точки (х
0
, у
0
), за исключением, быть может, самой точки (х
0
, у
0
) и для всякого N
> 0 найдется δ > 0 такое, что
|f ( x , y ) | > N ,
коль скоро 0 < < δ.
Можно также говорить о пределе f , когда х , у → ∞:
(5)
Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство
|f ( x , y ) – А | < ε.
Справедливы равенства
(6)
(7)
(8)
где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.
Докажем для примера (7).
Пусть (xk , yk ) → (х 0 , у 0 ) ((xk , yk ) ≠ (х 0 , у 0 )); тогда
(9)
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (xk , yk ) стремится к (х 0 , у 0 ) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f ( x , y ) ∙φ ( x , y ) в точке (х 0 , у 0 ).
Теорема. если функция f ( x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0 , у 0 ), т.е.
то существует δ > 0 такое, что для всех х , у , удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ, (10)
она удовлетворяет неравенству
(12)
Поэтому для таких ( x , y )
т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (
x
,
y
)
следует откуда
при A
> 0 и
при
A < 0 (сохранение знака).
По определению функция f ( x ) = f ( x 1 , …, xn ) = A имеет предел в точке
x
0
= , равный числу А
, обозначаемый так:
(пишут еще f ( x ) → A (x → x 0 )), если она определена на некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел
какова бы ни была стремящаяся к x 0 последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0 .
Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0 предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
(13)
для всех х , удовлетворяющих неравенствам
0 < |x – x 0 | < δ.
Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U
(
x
0
)
точки x
0
такая, что для всех х
U
(
x
0
)
, х
≠ x
0
, выполняется неравенство (13).
Очевидно, что если число А есть предел f ( x ) в x 0 , то А есть предел функции f ( x 0 + h ) от h в нулевой точке:
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x 0 , кроме, быть может, точки x 0 ; пусть ω = (ω1 , ..., ωп ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x 0 + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x 0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
(0 < t
< δω
)
от скалярной переменной t , где δω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )
если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0 по направлению вектора ω.
Будем писать , если функция f
определена в некоторой окрестности x
0
, за исключением, быть может, x
0
, и для всякого N
> 0 найдется δ > 0 такое, что |f
(
x
)
| >N
, коль скоро 0 < |x
–
x
0
| < δ.
Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:
(14)
Например, в случае конечного числа А
равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N
> 0, что для точек х
, для которых |x
| > N
, функция f
определена и имеет место неравенство .
Итак, предел функции f ( x ) = f ( x 1 , ..., хп ) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.
Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.
Число А называется пределом функции f ( M ) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f ( M ) – А | < ε.
Предел обозначают В случае функции двух переменных
Теоремы о пределах. Если функции f 1 ( M ) и f 2 ( M ) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:
а)
б)
в)
Пример 1.
Найти предел функции:
Решение. Преобразуем предел следующим образом:
Пусть y
=
kx
, тогда
Пример 2.
Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда
Пример 3.
Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда
Непрерывность функции нескольких переменных
По определению функция f ( x , y ) непрерывна в точке (х 0 , у 0 ), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0 ) и если предел f ( x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:
(1)
Условие непрерывности f в точке (х 0 , у 0 ) можно записать в эквивалентной форме:
(1')
т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0 ), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.
Можно ввести приращение Δи функции и = f ( x , y ) в точке ( x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов
Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f ( x , y )
и на этом языке определить непрерывность f в ( x , y ) : функция f непрерывна в точке ( x , y ) , если
(1'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 , у 0 ) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0 ) ≠ 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию f ( x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что
|f
(
x
,
y
)
– f
(х
0
, у
0
) | = |с – с
| = 0 0.
Следующими по сложности являются функции f ( x , y ) = х и f ( x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от ( x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f ( x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке ( x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке ( x , y ) может быть доказана так:
| f
(х
+ Δх
, у
+ Δу)
– f
(
x
,
y
)
| = |f
(х
+ Δх) – х
| = | Δх
| ≤
0.
Если производить над функциями x
,
y
и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x
,
y
. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x
,
y
– непрерывные функции от этих переменных для всех точек (
x
,
y
)
R
2
.
Отношение P / Q двух многочленов от ( x , y ) есть рациональная функция от ( x , y ) , очевидно, непрерывная всюду на R 2 , за исключением точек ( x , y ) , где Q ( x , y ) = 0.
Функция
Р ( x , y ) = х 3 – у 2 + х 2 у – 4
может быть примером многочлена от ( x , y ) третьей степени, а функция
Р ( x , y ) = х 4 – 2х 2 у 2 + у 4
есть пример многочлена от ( x , y ) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема. Пусть функция f ( x , y , z ) непрерывна в точке ( x 0 , y 0 , z 0 ) пространства R 3 (точек ( x , y , z ) ), а функции
x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)
непрерывны в точке ( u 0 , v 0 ) пространства R 2 (точек ( u , v ) ). Пусть, кроме того,
x 0 = φ ( u 0 , v 0 ), y 0 = ψ ( u 0 , v 0 ), z 0 = χ ( u 0 , v 0 ) .
Тогда функция F ( u , v ) = f [ φ ( u , v ), ψ ( u , v ), χ ( u , v ) ] непрерывна (по
( u , v ) ) в точке ( u 0 , v 0 ) .
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
Теорема. Функция f ( x , y ) , непрерывная в точке (х 0 , у 0 ) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х 0 , у 0 ) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ).
По определению функция f ( x ) = f ( x 1 , ..., хп ) непрерывна в точке х 0 = (х 0 1 , ..., х 0 п ) , если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0 , и если предел ее в точке х 0 равен ее значению в ней:
(2)
Условие непрерывности f в точке х 0 можно записать в эквивалентной форме:
(2')
т.е. функция f ( x ) непрерывна в точке х 0 , если непрерывна функция f (х 0 + h ) от h в точкеh = 0.
Можно ввести приращение f в точке х 0 , соответствующее приращению h = ( h 1 , ..., h п ) ,
Δh f (х 0 ) = f (х 0 + h ) – f (х 0 )
и на его языке определить непрерывность f в х 0 : функция f непрерывна в х 0 , если
(2'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0 функций f ( x ) и φ ( x ) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 ) ≠ 0.
Замечание. Приращение Δh f (х 0 ) называют также полным приращением функции f в точке х 0 .
В пространстве Rn точек х = ( x 1 , ..., хп ) зададим множество точек G .
По определению х 0 = (х 0 1 , ..., х 0 п ) есть внутренняя точка множества G , если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .
Множество G
Rn
называется открытым, если все его точки внутренние.
Говорят, что функции
х 1 = φ1 (t) , ..., хп = φп (t) (a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [a , b ], определяют непрерывную кривую в Rn , соединяющую точки х 1 = (х 1 1 , ..., х 1 п ) и х 2 = (х 2 1 , ..., х 2 п ) , где х 1 1 = φ1 (а) , ..., х 1 п = φп (а) , х 2 1 = φ1 ( b ) , ..., х 2 п = φп ( b ) . Букву t называют параметром кривой.
Множество G называется связным, если любые его две точки х 1 , х 2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G .
Связное открытое множество называется областью.
Теорема. Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на Rn (во всех точках Rn ). Тогда множество G точек х , где она удовлетворяет неравенству
f ( x ) > с (или f ( x ) < с ), какова бы ни была постоянная с , есть открытое множество.
В самом деле, функция F
(
x
) =
f
(
x
)
– с
непрерывна на Rn
, и множество всех точек х
, где F
(
x
)
> 0, совпадает с G
. Пусть х
0
G
, тогда существует шар
| х – х 0 | < δ,
на котором F
(
x
)
> 0, т.е. он принадлежит к G
и точка х
0
G
– внутренняя для G
.
Случай с f ( x ) < с доказывается аналогично.
Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М 0 , если она удовлетворяет следующим трем условиям:
а) функция f (М) определена в точке М 0 и вблизи этой точки;
б) существует предел ;
в)
Если в точке М 0 нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G , если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln ( x 2 + y 2 ) .
Решение. Функция z = ln ( x 2 + y 2 ) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.
Пример 2.
Найти точки разрыва функции:
Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x 2 + y 2 – z 2 = 0. Следовательно, поверхность конуса
x 2 + y 2 = z 2 является поверхностью разрыва.
Заключение
Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.
В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).
Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.
Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.
Список использованной литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.
3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.
4. http://elib.ispu.ru/library/math/sem2/index.html
5. http://www.academiaxxi.ru/WWW_Books/HM/Fn/toc.htm
Похожие работы
-
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
-
Лекции по математическому анализу
Определение функций нескольких переменных. Предел и непрерывность функции. Частные производные и полный дифференциал.
-
Функции нескольких переменных
Высшая математика Функции нескольких переменных Содержание 1. Понятие функции двух и более переменных 2. Предел и непрерывность функции двух переменных
-
Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
-
Матанализ
1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N
-
Тригонометрия
Шпаргалки по тригонометрии.
-
Математический анализ
Определение функции нескольких переменных, Нахождение частных производных, Полный дифференциал ф-ции 2-х переменных
-
Тригонометрия
Действительные числа: Теорема: R - несчётное множество. Док-во: метод от противного. Несчётность (0;1) X1=0,n11n12n13…n1k… m1О{0,1,…,9}{9,n11}
-
Интеграл дифференциального уравнения
Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
-
Частные производные
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ ЭКОНОМИКИ И ИНФОРМАТИКИ