Referat.me

Название: Системы линейных уравнений и неравенств

Вид работы: учебное пособие

Рубрика: Математика

Размер файла: 25.1 Kb

Скачать файл: referat.me-218910.docx

Краткое описание работы: Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.

Системы линейных уравнений и неравенств

Системы линейных уравнений и неравенств


Основные вопросы лекции: основные понятия и определения теории систем уравнений; система n линейных уравнений с n неизвестными; метод обратной матрицы; метод Крамера; метод Гаусса; теорема Кронекера-Капелли; система n линейных уравнений с m неизвестными; однородные системы линейных уравнений; фундаментальная система решений; структура общего решения.

Система mлинейных уравнений с nпеременными имеет вид:

или

(1)

где a11 , a12 , … , amn — произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и b1 ,b2 , … , bm - свободными членами уравнений.

Решением системы(1) называется такая совокупность nчисел х1 , х2 , ... , хn , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим:


; В=(b1 , b2 , … , bn )т ; Х=(x1 , x2 , … , xn )т

где А— матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, X матрица-столбец переменных; В — матрица-столбец свободных членов.

На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в виде:

А*Х=B (2)

А матрица состоящая из А, В, Х матриц называется расширенной матрицей:

- расширенная матрица.

Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных — заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Рассмотрим решение системы (1) mлинейных уравнений с nпеременными в общем виде:

(3)


Если m=n, то рассмотрим расширенную матрицу. Учитывая правую часть, приведем данную матрицу к треугольному виду:

Ситема линейных уравнении соотвествующее данной матрице запишем в следуюшем виде

(4)

Если в данном уравнении cnn ≠0, cn-1n-1 ≠0, ... , c33 ≠0, c22 ≠0, a11 ≠0 то, в первую очередь найдем

xn , а затем постепенно поднимаясь находим остольные решения - xn-1 , … , x3 , x2 , x1 .

Формула Крамера

Теорема Крамера. Пусть |A|— определитель матрицы системы А, а Δj — определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если Δ ≠0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(5)

Формулы (5) получили название формул Крамера.

Метод обратной матрицы

Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель Δ=|A| называется определителем системы.

(1) уравнение можно записать в матричном виде

А*Х=B (6)

, , .

Умножая слева обе части матричного равенства (6) на матрицу А-1 ,получим А-1 (АХ)=А-1 В. Так как А-1 (АХ)=( А-1 А)Х=ЕХ=Х,то решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

Х=А-1 *B (7).

Система n линейных уравнений с n переменными

Решение системы n линейных уравнений с n переменными находять ниже укаженными методами:

1) Метод обратной матрицы;

2) Формула Крамера;

3) Метод Гаусса.

Теорема Кронекер – Капелли. Система m линейных уравнений с n переменными

Теорема Кронекера—Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1) имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (1) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

Системы линейных однородных уравнений

Система mлинейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородныхуравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

(8)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (или тривиальное) решение (0; 0; ...; 0).

Систему (8) можно записать а виде:

А*Х=0 (9).

Если в системе (8) m=n, а ее определитель отличен от нуля, то такая система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы и формул Крамера. Ненулевые решения, следовательно, возможны лишь для таких систем линейных однородных уравнений, в которых число уравнений меньше числа переменных или при их равенстве, когда определитель системы равен нулю.

Иначе: система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при r(A)<n.

Похожие работы

  • Определитель матрицы 2

    Оглавление Задача 2 3 Задача 3 5 Задача 4 7 Задача 1 Вычислить определитель 4-го порядка. Решение: Определитель 4-го порядка находится по формуле: aij – элемент матрицы;

  • Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

    Понятие и специфические черты системы линейных алгебраических уравнений. Механизм и этапы решения системы линейных алгебраических уравнений. Сущность метода исключения Гаусса, примеры решения СЛАУ данным методом. Преимущества и недостатки метода Гаусса.

  • Система линейных уравнений

    Общий вид системы линейных уравнений и ее основные понятия. Правило Крамера и особенности его применения в системе уравнений. Метод Гаусса решения общей системы линейных уравнений. Использование критерия совместности общей системы линейных уравнений.

  • Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

    Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

  • Метод Крамера

    Министерство рыбного хозяйства Владивостокский морской колледж ТЕМА: “ Системы 2-х , 3-х линейных уравнений. Правило Крамера. ” г. Владивосток

  • Матрицы Метод Гаусса

    КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ Кафедра «Автоматизации управления войсками» Только для преподавателей "Утверждаю"

  • Решение произвольных систем линейных уравнений

    Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.

  • Задачи по Математике

    ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.

  • Системы 2-х, 3-х линейных уравнений, правило Крамера

    Краткая теория. Методические рекомендации по выполнению заданий. Примеры выполнения заданий.

  • Системы линейных уравнений

    Критерий совместности. Метод Гаусса. Формулы Крамера. Матричный метод.