Название: Высшая математика, интегралы шпаргалка
Вид работы: шпаргалка
Рубрика: Математика
Размер файла: 189.69 Kb
Скачать файл: referat.me-215399.docx
Краткое описание работы: Равномерная непрерывность Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: Пояснение:
Высшая математика, интегралы шпаргалка
Равномерная непрерывность
Определение 28.7:
Функция называется равномерно непрерывной на множестве
, если:
. (в отличие от критерия Коши:
).
Пояснение:
Пусть:
. Тогда:
Т.е. функция
не является равномерно непрерывной на множестве
.
Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5:
Если функция определена и ограничена на отрезке
, и если
можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на
. Причём общая длина этих интервалов меньше
. То
- интегрируема на
.
Замечание:
Очевидно, что если - интегрируема на
, а
отличается от
только в конечном числе точек, то
- интегрируема на
и
.
Существование первообразной
Определение 28.9:
Пусть - интегрируема на
,
, тогда:
функция
интегрируема на
и функция
называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция
- интеграл с переменным нижним пределом.
Теорема 28.6:
Если функция - непрерывна на
, то у неё существует на
первообразная, одна из которых равна:
, где
.
Замечание 1:
Из дифференцируемости функции следует её непрерывность, т.е.
Замечание 2:
Поскольку - одна из первообразных
, то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных:
. Это связь между определённым и неопределённым интегралами
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка
.
Теорема.
Если 1. Функция и ее производная
непрерывны при
2. множеством значений функции при
является отрезок [a;b]
3. , то
=
.
Док-во:
Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница =
. Т.к.
, то
является первообразной для функции
,
. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
=
.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2. часто вместо подстановки применяют подстановку t=g(x)
3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.
Интегрирование заменой переменной .
а). Метод подведения под знак дифференциала
Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функция
и функция
такие, что подынтегральное выражение
может быть записано в виде:
.
Тогда: . Т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
(который может оказаться проще) и последующей подстановке
.
Пример:
Вычислить .
.
Подстановка: .
б). Метод подстановки
Пусть требуется вычислить интеграл , где
. Введём новую переменную формулой:
, где функция
дифференцируема на
и имеет обратную
, т.е. отображение
на
- взаимно-однозначное. Получим:
. Тогда
. Т.е. вычисление интеграла
сводится к вычислению интеграла
(который может оказаться проще) и последующей подстановке
.
Пример:
Вычислить .
, откуда:
.
Интегрирование по частям
.
Пусть - дифференцируемые функции, тогда справедлива формула:
, или короче:
. Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение
можно так представить в виде
, что интеграл
вычисляется проще исходного.
Пример:
Вычислить .
Положим . Тогда
. В качестве
выберем первообразную при
. Получим
. Снова
. Тогда
. Окончательно получим:
.
Замечание 26.5:
Иногда при вычислении интеграла методом интегрирования по частям получается зависимость:
. Откуда можно получить выражение для первообразной:
.
Интегрирование рациональных функций
Постановка задачи:
1). ![]() |
2). ![]() |
3). ![]() |
т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).
Теорема 1:
Пусть , тогда, если:
, где
, то
Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:
1. ![]() |
2. ![]() |
3. ![]() |
4. ![]() |
5. ![]() |
6. ![]() |
7. ![]() |
8. ![]() |
9. ![]() |
10. ![]() |
Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей
Сделав подстановку: , получим:
.
тогда
a). Подстановки Эйлера.
1). Корни многочлена - комплексные, сделав подстановку:
, получим:
.
2). Корни многочлена - действительные:
. Подстановка:
, получаем:
.
b). Подстановка: , далее, если:
1). ![]() ![]() |
2). ![]() ![]() |
3). ![]() ![]() |
c).
Если подстановка -
Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических
Универсальная подстановка: , тогда:
подстановка:
или
- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала
Интегрируется по частям
Неопределенный интеграл
Определение 26.1:
Функция называется первообразной для функции
на
, если:
.
Пусть и
- первообразные функции
на
. Тогда:
.
Определение 26.2:
Неопределённым интегралом от функции на
называется объединение всех первообразных
на этом интервале. Обозначается:
.
Замечание 26.1:
Если - одна из первообразных
на
, то
.
Замечание 26.2:
Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной на
, т.е.
.
Замечание 26.3:
Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.
Св-ва неопределенного интеграла:
1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.
,
2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:
3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:
, где a
0-постоянная.
4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если, то и
, где u=
- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.
Табличные интегралы
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Определённый интеграл.
Интегрируемость
Определение 28.1:
Множество точек отрезка таких, что:
называют разбиением отрезка
. Длины частичных отрезков разбиения обозначим:
. Мелкостью разбиения
(читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е.
.
Определение 28.2:
Пусть в определении 28.1 для всех точки
. Интегральной суммой функции
на отрезке
с разбиением
будем называть сумму (зависящую от разбиения
и выбора точек
) вида:
.
Определение 28.3:
Пределом интегральных сумм функции на отрезке
назовём такое число
, что
. Обозначается:
.
Определение 28.4:
Функция называется интегрируемой на отрезке
, если существует конечный предел её интегнральных сумм на
. Обозначается:
.
Теорема 28.1:
Если интегрируема на отрезке
, то она ограничена на нём.
Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).
Критерий интегрируемости функций
Теорема 28.2:
Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: .
Следствие 1:
Условие Т.2 эквивалентно условию: .
Следствие 2:
Если функция интегрируема на , то: .
Определение 28.8:
Определённым интегралом функции на
называется число
, равное пределу интегральных сумм
на
. Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.
Свойства определённого интеграла
1. Если с
– постоянное число и функция f(x) интегрируема на [a;b], то , т.е. пост. множитель с
можно выносить за знак определенного интег-ла.
2. Если функции f(x), g(x) интегрируемы на [a;b], тогда интегрируема на [a;b] их сумма и разность
,
3. Если , то:
4. Если функция f(x) интегрируема на [a;b] и a<c<b, то
, т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это св-во наз-ют аддивностью
определенного интеграла.
Сравнение определённых интегралов
Если - интегрируема на
и
, то:
.
Если - интегрируема на
и
, то:
Неравенство му непрерывными функциями на отрезке [a;b], можно интегрировать. Если - интегрируемы на
и почти для всех
, то:
Модуль определенного интег-ла не превосходит интег-ла от модуля подынтегральной функции. Если - интегрируема на
, то
- также интегрируема на
(обратное неверно), причём:
Оценка интеграла. Если m и M-соответственно наименьшее и наибольшее значения функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Если - интегрируемы на
и
, то:
Теорема о среднем значении
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то существует точка такая, что
.
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем
, где F’(x)=f(x). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим F(b)-F(a)=F’(c)*(b-a)=f(c)*(b-a).
Эта теорема при f(x)0 имеет простой геометрич. смысл: значение определенного интег-ла равно, при нек-ром
, площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-a.
Число наз-ся средним значением
функции f(x) на отрезке [a;b].
Формула Ньютона-Лейбница
Если - первообразная непрерывной функции
на
, то:
.
Док-во: Рассмотрим тождество
Преобразуем каждую разность в скобках по формуле Лагранжа
. Получим
т.е.
, где
есть нек-рая точка интервала
. Т.к. функция y=f(x) непрерывна на [a;b]. Поэтому существует предел интегральной суммы, равный определенному интегралу от f(x) на [a;b].
Переходя к пределу при , получаем F(b)-F(a)=
=, т.е.
.
интеграл с переменным верхним пределом
Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка [a;b], то величина интеграла будет изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела. Производная определенного интег-ла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в к-рой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.
.
Док-во: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:.
Следовательно,
=.
Это значит, что определенный интег-л с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.
Похожие работы
-
Собственные интегралы, зависящие от параметра
Глава 1. Пункт 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра Для того чтобы дать определение интеграла, зависящего от параметра, введем функцию . Пусть эта функция
-
Шпаргалка по Математике 4
наз. сходящимся, если сходимости ЧР: // Если ряд сходится, то 3. Интегральный ПК сх.Р: 5. Признак Коши: 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР: Признак Абеля:
-
Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Определения. Теоремы. Формулы.
-
Комплексный анализ
Поле комплексных чисел. Топологии в С (открытость, замкнутость, связность). Отображения в С (пути, кривые, функции комплексного переменного).
-
Преобразование Фурье
Kalmiik-forever Глава I Преобразование Фурье. §1. Класс Шварца. Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя. Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.
-
Основные определения и теоремы к зачету по функциональному анализу
Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. u: ║x-u║
-
Интегралы, зависящие от параметра
Министерство образования и науки РФ Федеральное Агентство по образованию ГОУ ПВО «Таганрогский государственный педагогический институт» Курсовая работа
-
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
-
Верхний центральный показатель некоторой линейной системы
Определение верхнего центрального показателя диагональной системы и поиск верхнего центрального числа соответствующего конечного семейства, условия их совпадения. Семейство кусочно-непрерывных и равномерно ограниченных функций. Норма матрицы Коши.
-
Тригонометрия
Шпаргалка по тригонометрическим преобразованиям.