Referat.me
/ / Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Название: Интеграл помогает доказать неравенство Коши

Вид работы: доклад

Рубрика: Математика

Размер файла: 21.97 Kb

Скачать файл: referat.me-215580.docx

Краткое описание работы: Доказательство не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора

Интеграл помогает доказать неравенство Коши

С. Берколайко

[Решил добавить к уже выложенным доказательствам неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим ещё одно. Оно не такое потрясное по оригинальности как доказательства Бора и Гурвица, а любопытно, скорее, простотой используемых средств и ловкостью автора. – E.G.A.]

Пусть a1 , a2 , ..., an – положительные числа, среди которых есть различные. Тогда выполняется неравенство Коши:

a1 + a2 + ... + an

n

 > n a1 a2 ... an .
(1)

Обозначим левую часть неравенства Коши через Sn и докажем его в такой форме:

(Sn ) n > a1 a2 ... an . (2)

Очевидно, не ограничивая общности, можно считать, что для некоторого k такого, что 1 ≤ k ≤ n – 1,

a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ ak ≤ Sn ≤ ak+1 ≤ ... ≤ an–1 ≤ an . (3)

Основой доказательства неравенства (2) будет неравенство

b

b – a

b

 < ∫

dt

t

 = ln

b

a

 <

b – a

a

 ,
a
(4)

где 0 < a < b (см. рисунок). Заметим, что при a = b вместо (4) имеем

b – a

b

 = ln

b

a

 =

b – a

a

 .

Из (3) и (4)

Sn – a1

Sn

+

Sn – a2

Sn

+ ... +

Sn – ak

Sn

≤ ln

Sn

a1

+ ln

Sn

a1

+ ... + ln

Sn

ak

,
(5)

или

kSn – (a1 + a2 + ... + ak )

Sn

≤ ln

(Sn )k

a1 a2 ... ak

.
(6)

Опять-таки из (3) и (4)

ln

ak+1

Sn

+ ln

ak+2

Sn

+ ... + ln

an

Sn

≤

ak+1 – Sn

Sn

+

ak+2 – Sn

Sn

+ ... +

an – Sn

Sn

,
(7)

или

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn ) n–k

≤

(ak+1 + ... + an ) – (n – k)Sn

Sn

.
(8)

Легко проверить, что левая часть неравенства (6) равна правой части неравенства (8). Значит, из (6) и (8)

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn ) n–k

≤ ln

(Sn )k

a1 a2 ... ak

.
(9)

Поскольку среди чисел a1 , a2 , ..., an есть различные, в цепочке неравенств (3) какие-то неравенства выполняются «строго». Тогда эти «строгие» неравенства перейдут в (5) или (7). Значит, по крайней мере, одно из неравенств (6), (8) тоже будет «строгим». Поэтому вместо (9) мы можем утверждать

ln

ak+1 ak+2 ... an

(Sn ) n–k

< ln

(Sn )k

a1 a2 ... ak

,

или

ak+1 ak+2 ... an

(Sn ) n–k

<

(Sn )k

a1 a2 ... ak

,

откуда вытекает (2).

Если же a1 = a2 = ... = an , то, очевидно,

a1 + a2 + ... + an

n

 = n a1 a2 ... an .

Похожие работы

  • Математическое моделирование в задачах расчета и проектирования систем автоматического управления

    Решение дифференциального уравнения методом Адамса. Нахождение параметров синтезирования регулятора САУ численным методом. Решение дифференциального уравнения неявным численным методом. Анализ системы с использованием критериев Михайлова и Гурвица.

  • Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

    Примеры неравенств, доказываемых техникой одномонотонных последовательностей. Обоснование данного метода для случая с произвольным числом переменных. Доказательство неравенств с минимальным числом переменных. Сравнение метода с доказательством Коши.

  • Применение неравенств при решении олимпиадных задач

    Данный электронный учебник по математике предназначен для изучения темы "Использование неравенств при решении олимпиадных задач". Постановка и реализация задачи. Теоретические сведения по неравенствам Йенсена, Коши, Коши-Буняковского и Бернулли.

  • Комплексный анализ

    Поле комплексных чисел. Топологии в С (открытость, замкнутость, связность). Отображения в С (пути, кривые, функции комплексного переменного).

  • Интеграл Пуассона

    Определение интеграла Пуассона и ядра Пуассона, основные теоремы.

  • Основная теорема алгебры

    Доказательство основной теоремы алгебры.

  • Преобразование Фурье

    Kalmiik-forever Глава I Преобразование Фурье. §1. Класс Шварца. Преобразование Фурье отображает класс Шварца на себя. Определение . Следующее множество комплекснозначных функций действительного переменного называется классом Шварца.

  • Интеграл Пуассона

    Пусть    –суммируемые на     - периодические, комплекснозначные функции. Через

  • Биография Огестена Луи Коши

    Коши, Огюстен Луи Дата рождения: 21 августа 1789 Место рождения: Париж Дата смерти: 23 мая 1857 (67 лет) Место смерти: Со (О-де-Сен) Страна: Франция Научная сфера:

  • Основы математического анализа

    Основные обозначения и понятия, относящиеся к множествам, операции над ними. Объединение, пересечение и разность двух множеств и непринадлежность к нему элемента. Первая и вторая теорема Вейерштрасса, Ферма и Ролля. Вычисление интеграла вероятности.