Название: Классический метод математического описания и исследования многосвязных систем
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 59.29 Kb
Скачать файл: referat.me-217604.docx
Краткое описание работы: Математическая модель линейной непрерывной многосвязной системы. Уравнение движения и общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений. Сигнальный граф системы и структурная схема. Динамики САУ и определение ее характеристик.
Классический метод математического описания и исследования многосвязных систем
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ МНОГОСВЯЗНЫХ СИСТЕМ
1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ
Математическая модель линейной непрерывной многосвязной системы в физических переменных "вход-выход" при детерминированных воздействиях может быть представлена векторным дифференциальным уравнением в символическом виде [*]:
, (1.1.1)
где – вектор размерности n выходных координат системы;
– вектор размерности m управляющих воздействий;
– вектор размерности m1 возмущающих воздействий;
,
,
- полиномные матрицы размерностей
,
,
соответственно, элементы которых являются полиномами от р с постоянными коэффициентами (например
,
- линейная комбинация относительно выходной координаты yj и ее производных);
- символическое обозначение производной; t – время. При этом предполагается существование соответствующих производных от y(t), u(t), r(t) по t и kL>kG, kL>kN, где через kL, kG, kN обозначены порядки старших производных полиномов от р в соответствующих матрицах L(p), G(p) и N(p).
Уравнение движения САУ составляется на основе ее структуры и математического описания, входящих в систему элементов, и имеет вид уравнения (1.1.1), где u(t)=z(t) и z(t) - вектор задающих воздействий на систему.
Уравнение движения САУ (1.1.1), записанное относительно у(t), называется уравнением автоматического управления (УАУ)
, (1.1.2)
где ,
- матричные передаточные функции по задающему z(t) и возмущающему r(t) каналам соответственно.
Для определения собственных движений системы (1.1.1), то есть когда u(t)=0 (или z(t)=0) и r(t)=0, и ее порядка необходимо записать характеристический определитель
, (1.1.3)
и найти корни λj характеристического уравнения
. (1.1.4)
Система будет устойчивой, если вещественная часть всех корней характеристического уравнения (нули функции ) будет неположительной.
Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений может быть представлено в виде суммы общего решения yo(t) однородной системы и частного решения уч(t) исходной неоднородной системы
, (i=1,…,n), (1.1.5)
где: Cij - коэффициенты, определяемые начальными условиями дифференциальных уравнений; q - степень характеристического уравнения.
1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1.1.1
Построить сигнальный граф математической модели динамического режима САУ, записанной в переменных "вход–выход" в символической форме векторно-дифференциальным уравнением вида:
,
,
(1.2.1)
и определить характер свободного движения процесса по каналу “возмущающее воздействие r2 – выходная переменная y1“.
Решение
Сигнальный граф рассматриваемой САУ, в соответствии с уравнением (1.2.1) представлен на рис. 1.1.
Независимость выходных переменных yi в САУ определяется ее физическими свойствами и математически выражается в виде диагональности матрицы процесса L(p). На рис.1.1 независимость выходных переменных между собой отображается не связанностью вершин у1 и у2 сигнального графа, то есть независимостью уравнений между собой. Это позволяет решать уравнения независимо (отдельно) друг от друга.
![]() |
y1
z1 r1
z2 r2
y2
Рис. 1.1. Сигнальный граф системы уравнений (1.2.1)
Для определения переходного процесса по каналу “возмущающее воздействие r2 – выходная переменная y1“ запишем его уравнение динамики
, (1.2.2)
которое представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение данного уравнения дается формулой (1.1.5) при j=2.
Для определения корней λ1,2 запишем характеристическое уравнение соответствующего однородного дифференциального уравнения
, (1.2.3)
и решая его, получим ,
.т. е. переходный процесс по рассматриваемому каналу является колебательным асимптотически сходящимся.
Задача 1.1.2
Математические модели динамических режимов управляемой и управляющей подсистем в переменных "вход–выход" в символической форме описываются векторно-дифференциальными уравнениями вида:
а) управляемая подсистема
,
, (1.2.12)
б) управляющая подсистема
, (1.2.13)
при нулевых начальных условиях, где yi(t), ui(t), ri(t), zi(t) – выходные, управляющие, возмущающие переменные и задающие воздействия соответственно.
Задание
1. Составить структурную схему многомерной САУ на основе принципа управления по отклонению и сформировать в ней отрицательные обратные связи.
2. Получить уравнение динамики многомерной САУ и ее характеристическое уравнение.
Решение
1.Структурная схема двумерной САУ с информационными каналами в подсистемах представлена на рис. 1.2. Настоящая схема синтезируется на основе принципа управления по отклонению и уравнений (1.2.12), (1,2.13).
При формировании отрицательных обратных связей в системе необходимо учитывать, что количество элементов обратного действия в контуре управления должно быть нечетным.
1.1. Контур управления выходным параметром у1(t).
Управляемая подсистема по каналу “” – элемент обратного действия. Рассогласование
вводится в управляющее устройство в виде
, то есть сумматор (элемент сравнения) является элементом обратного действия. Следовательно, канал управляющей подсистемы в рассматриваемом контуре должен содержать элемент обратного действия, поэтому элемент (р+1) матрицы должен быть со знаком минус [-(p+1)].
![]() |
r1
r2
z1
u21 u11 y11
z2
u22 u12 y12
![]() |
![]() |
y22
y21
Рис. 1.2. Структурная схема двумерной САУ
1.2. Контур управления выходным параметром у2(t).
Управляемая подсистема по каналу “” – элемент прямого действия. Рассогласование
вводится в управляющее устройство в виде
, то есть сумматор (элемент сравнения) является элементом обратного действия. Следовательно, канал управляющей подсистемы в рассматриваемом контуре должен содержать элемент прямого действия.
2. Составление уравнения динамики многомерной САУ и определение ее характеристического уравнения.
Заданные уравнения (1.2.12), (1.2.13) в общем виде можно записать как
. (1.2.14)
Исключив из системы уравнений (1.2.14) промежуточную переменную u, получим
(1.2.15)
Перенося в левую часть уравнения многочлен от y(t) и оставляя в правой части многочлены от независимых переменных z(t), r(t) и учитывая, что , получим уравнение динамики
(1.2.16)
Характеристическое уравнение
. (1.2.17)
Задача 1.1.3
Математические модели динамических режимов управляемой и управляющей подсистем в переменных "вход–выход" описываются дифференциальными уравнениями вида:
а) управляемая подсистема
, (1.2.24)
при нулевых начальных условиях;
б) управляющая подсистема
, (1.2.25)
где yi(t), ui(t), ri(t), zi(t) – выходные, управляющие, возмущающие переменные и задающие воздействия соответственно.
Задание
1. Записать данные уравнения в символической форме и представить в векторно-дифференциальном виде;
Решение
Для записи данных уравнений в символическом виде необходимо обозначение производной заменить на символ р, то есть положить , а интеграл – на
. После замены получим
а) управляемая подсистема
, (1.2.26)
б) управляющая подсистема
. (1.2.27)
Вводя векторы y(t)=[y1(t), y2(t)]T, u(t)=[u1(t), u2(t)]T, r(t)=[r1(t), r2(t)]T и учитывая, что
, (1.2.28)
получим следующие уравнения:
а) управляемая подсистема
,
. (1.2.29)
б) управляющая подсистема
, (1.2.30)
которые соответствуют уравнениям (1.2.12), (1.2.13) задачи 2.
Похожие работы
-
Математическая модель системы в переменных пространства состояний
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ В ПЕРЕМЕННЫХ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ Математическая модель системы в переменных пространства состояний имеет вид
-
Математические модели электромеханических систем в пространстве состояний
Способы получения уравнений состояния реальных физических объектов ничем не отличаются от способов описания этих объектов с помощью дифференциальных уравнений. Уравнения состояния записываются на основе физических законов, положенных в основу работы объекта.
-
Линейные системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами
Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации Донской Государственный Технический Университет кафедра “Высшей математики”
-
Жозеф Луи Лагранж
Лагранж, Жозеф Луи (Lagrange, Joseph Louis) (1736–1813), французский математик и механик.
-
Анализ устойчивости системы автоматизированного управления двумя методами по критерию устойчивос
РЕФЕРАТ Контрольная работа: 12 страниц, 4 рисунков, 1 таблицу. Данная контрольная работа выполнена студентом факультета энергетического на тему: Анализ устойчивости САУ.
-
Решение произвольных систем линейных уравнений
Рассмотрение систем линейных алгебраических уравнений общего вида. Сущность теорем и их доказательство. Особенность трапецеидальной матрицы. Решение однородных и неоднородных линейных алгебраических уравнений, их отличия и применение метода Гаусса.
-
Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования
Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений для сравнительно простых объектов. Выражение входной и выходной величины элемента в долях, введение безразмерных координат. График кривой разгона, коэффициент усиления.
-
Математическая экономика
Понятия, результаты, методы М. э. удобно и принято излагать в тесной связи с их экономическим происхождением, интерпретацией и практическими приложениями. Особенно существенна связь с экономической наукой и практикой.
-
Однородные и неоднородные системы линейных дифференциальных уравнений
Федеральное Агентство по образованию государственное Образовательное Учреждение высшего профессионального образования Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет
-
Задачи по Математике
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.