Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

Выведены формулы (возможно ранее неизвестные, в широко доступной литературе не встречаются) для решений уравнения Пифагора x^2 + y^2 = z^2. Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян. Формулы древних индусов:

x= a – b, y=2ab, z= a+ b , a > b.

Вывод других формул

Известно, что уравнение x + y = z (1)

имеет целые решения, например, общеизвестные тройки чисел Пифагора. Таких решений, доказал ещё Евклид, имеется бесконечное множество. Тройку целых положительных чисел x , y , z не имеющих общих делителей, назовём оригинальным решением уравнения (1). Далее оригинальные решения будут обозначаться большими буквами X , Y , Z. Пусть далее везде x < y < z .

Так как x , y и z числа целые, то существуют целые положительные числа a иb , такие, что x = z – a и y = z – b , где b < a , так как по условию x < y . Тогда уравнение (1) запишется следующим образом: ( z - a ) + ( z - b ) = z (2).

После возведения в степень и группирования из (2) получится следующее уравнение:

z – 2 ( a + b ) z + ( a + b ) = 0 (3).

В результате решения уравнения (3) относительно z получим:

z = + a + b ; x = + b ; y = + a ; (4).

Корень не может быть отрицательным в результате решения уравнения (3), потому что по условию не может быть отрицательным или равным нулю ни одно из чисел x , y .

Все три числа целого решения содержат корень , который определяет такие решения и должен быть целочисленным. Кроме того, для получения оригинальных решений числа a и b должны быть взаимно просты, т.е. не иметь общих делителей отличных от 1.

Число является целым в следующих случаях:

- случай 1 : a =2 c , b = d , =2 cd ; после подстановки значений a и b в (4) получим:

X=d(2c+d); Y=2c(c+d); Z=2c(c+d)+ d; (5),

здесь a > b , a –чётное число,b –нечётное, следовательно, X , Z – нечётные, Y – чётное;

- случай 2 : a = c , b =2 d , =2 cd ; после подстановки значений a и b в (4) получим:

X=2d (c+d); Y=c(c+2d); Z=c(c+2d)+ 2d (6),

здесь a > b , a – нечётное число,b – чётное, следовательно, X – чётное, а Y и Z – нечётные;

примечание: в случаях 1 и 2 числа c и d целые и взаимно простые, потому что таковыми являются a и b . Если определены и целы c и d , то определены и целы все числа X , Y , Z.

Следствия

Общие формулы (46) для решений уравнения (1) доказывают бесконечность множества троек целых решений и могут быть использованы для получения целых решений, не имеющих общих делителей. Приэтом должно всегда быть a > b , атакже a иb должны быть взаимно просты. Так как число b меньшее из последних двух, то удобно обозначать ряды решений по его значению, например, если b =1, то ряд решений P 1 (Пифагор).

Ряд P 1: b = d =1, a =2 c , =2 c , где c =1,2,3,…

Подставляя d и c в (5) получим неограниченный ряд оригинальных целых решений X , Y , Z :

X = 2 c +1; Y = 2 c ( c +1); Z = 2 c ( c +1)+1.

Первые решения этого ряда: 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41; 11,60,61; 13,84,85; 15,112,113; 17,144,145; 19,180,181; 21,220,221; 23,264,265; 25,312,313; 27,364,365; 29,420,421; …

Ряд P 2: b =2 d =, a = c , =2 c , гдеc =3,5,7,…

Последовательность c начинается с 3 , потому что a > b , и нечётна, чтобы не было общих делителей с b . После подстановки d =1 иc в (6):

X = 2( c +1); Y = c ( c +2); Z = c ( c +2)+2.

Первые решения этого ряда: 8,15,17; 12,35,37; 16,63,65; 20,99,101; 24,143,145; 28,195,197; 32,255,257; 36,323,325; 40,399,401; 44,483,485; 48,575,577; 52,675,677; 56,783,785;…

Ряд P 8: b =2 d =, a = c , =4 c , гдеc =3,5,7,…

X = 4(c+2); Y = c(c+4); Z = c(c+4)+8.

20,21,29; 28,45,53; 36,77,85; 44,117,125; 52,165,173; 60,221,229; 68,285,293; 76,357,365; 84,437,445; 92,525,533; 100,621,629; 108,725,733; 116,837,845; 124,957,965; …

Ряд P9: b= d=3, a=2c, =6c . где c mod 30, c=4,5,7,8,10,11,…

33,56,65; 39,80,89; 51,140,149; 57,176,185; 69,260,269; 75,308,317; 87,416,425; 93,476,485; 105,608,617; 111,680,689; 123,836,845; 129,920,929; 141,1100,1109; 147,1196,1205; и т.д.

Диофант в своей «Арифметике» рассматривал особую группу троек целых решений уравнения (1), так называемые «хромые» треугольники, катеты которых, т.е. X и Y , отличаются на 1.

Для случая 1 условие существования таких решений: d = 2 c – 1.

Ряд D 1: 3, 4, 5; 119, 120, 169; 4059, 4060, 5741; 137903, 137904, 195025; 4684659, 4684660, 6625109; 159140519, 159140520, 225058681; 5406093003, 5406093004, 7645370045; 183648021599, 183648021600, 259717522849; …

Для случая 2 условие существования таких решений: 2 d = c – 1.

Ряд D 2: 20,21,29; 696 ,697, 985; 23660, 23661, 33461; 803760, 803761, 1136689; 27304196, 27304197, 38613965; 927538920, 927538921, 1311738121;

31509019100, 31509019101, 44560482149;

1070379110496, 1070379110497, 1513744654945; …

Первый и наименьший такой треугольник – 3,4,5, для которого c = d =1 (случай 1).С помощью простых формул, исходя из него, могут быть вычислены сколько угодно много других «хромых» треугольников ( m =1,2,3,…):

d = c + d ; c = 2 d + 1; X , Y , Z рассчитываются по (6);

c = c + d ; d = 2 c – 1; X , Y , Z рассчитываются по (5).

Например, вычислить 1-й треугольник ряда D 2:

d= c+ d = 1 + 1 = 2; c= 2d + 1 = + 1 = 9; c = 3.

X = 2d (c+d ) = 2*2(3+2) = 20; Y = c(c+2d ) = 3(3+2*2 ) = 21;

Z = c ( c +2 d )+ 2 d = 3(3+2*2)+2*2 = 29.

Следующим является треугольник 2 ряда D 1:

c= c+ d = 3 + 2 = 5; d= 2c – 1 = 2*25 – 1 = 49; d = 7.

X = d(2c+d) = 7(2*5+7) = 119; Y = 2c(c+d) = 2*5(5+7) = 120;

Z = 2 c ( c + d ) + d = 2*5(5+7)+7 = 169.

Формулы (4) могут быть использованы для доказательства большой теоремы Ферма, методом бесконечного спуска, для всех нечётных (в т.ч. всех простых > 2) значений показателя степени n.