Название: Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Вид работы: статья
Рубрика: Математика
Размер файла: 39.31 Kb
Скачать файл: referat.me-215216.docx
Краткое описание работы: Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.
Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n .
Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x
=
a
-
b
,
y
=2
ab
,
z
=
a
+
b
.
Другие формулы: x
= + b
,
y
=
+ a
,
z
=
+ a
+ b
(1).
В (1) a
и b
любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них – чётное, другое – нечётное. Пусть a
– чётное, b
–
нечётное: a
=2
c
,
b
=
d
,
откуда
=2
cd
.
После подстановки значений a и b в (1) получим:
X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d
(2),
где c и d любые целые положительные числа; c ,d и их суммы взаимно просты;
X , Y , Z – взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d , то определены и целы все три числа X , Y , Z .
Предположим, что уравнение Ферма x
+ y
= z
имеет тройку целых положительных решений x
,
y
,
z при нечётном целом положительном значении показателя n
,
n
>2
. Запишем это уравнение следующим образом:
(
x
)
+ (
y
)
= (
z
)
(4).
Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:
x
=
X
;
y
=
Y
;
z
=
Z
;
где X
,
Y
,
Z
из (2) (5).
Чтобы числа x , y , z были целыми, из всех трёх чисел X , Y , Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n – нечётное положительное целое число):
x
== (
)
;
y
=
= (
)
;
z
=
.
Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и
( n
– нечётное ):
=
=
и
=
=
.
Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n :
d
=
g
; 2
c
=
h
,
следовательно,
=
;
=
.
Так как x
,
– целые, x
– по условию, а
– из-за нечётн. n
, то g
+
h
=
k
,
где k
– целое.
Тройка решений g
,
h
,
k
удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x
первой тройки решений, потому что наибольшее число k
из g
,
h
,
k
меньше , так как
=g
,
а
<
x
,
так как x
=(
)
. Число k
заведомо меньше числа z
.
Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g , h , k , начиная с (4):
(
g
)
+ (
h
)
= (
k
)
;
g
=
=(
)
;
h
=
=(
)
;
k
=
.
=
=
и
=
=
.
d
=
p
; 2
c
=
q
,
следовательно,
=
;
=
.
p
+
q
=
r
,
где r
– целое число. Все три числа p
,
q
,
r
меньше числа
из второй тройки решений и r
<
k
. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до
.
При данных конечных целых положительных числах x , y , z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n ( n >2) не существует.
Для чётных n
=2
m
не кратных 4
: (x
)
+(y
)
=(z
)
, m
– нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m
, то их нет и для 2
m
(это показал Эйлер). Для n
=4
и n
=4
k
(
k
=1,2,3…)
уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.
А. Ф. Горбатов
Похожие работы
-
Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью Малой теоремы
Файл: FERMA-PR-ABCfor © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО BЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА C ПОМОЩЬЮ МАЛОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
-
Доказательство великой теоремы Ферма 5
Файл: FERMA-forum © Н. М. Козий, 2009 Авторские права защищены свидетельством Украины 29316 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА Оригинальный метод
-
Доказательство Великой теоремы Ферма для степени n 3
Файл: FERMA-n3-algo © Н. М. Козий, 2009 Украина, АС № 28607 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ n=3 Великая теорема Ферма для показателя степени n=3 формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
-
Элементарное доказательство великой теоремы Ферма
Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.
-
Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени
Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.
-
Доказательство великой теоремы Ферма
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.
-
Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора
Выведены формулы, возможно ранее неизвестные, для решений уравнения Пифагора, Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян.
-
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
-
Теорема Ферма Бесконечный спуск для нечетных показателей n
Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.
-
Краткое доказательство великой теоремы Ферма
Теорема Ферма, ее формулировка и доказательство в случаях, если показатель степени n - нечетное число и если n - четное число. Теорема о единственности факторизации. Дополнительные обоснования теоремы. Состав наибольшего составного числового множителя.