Referat.me

Название: Дифференцирование. Интегрирование

Вид работы: контрольная работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 83.04 Kb

Скачать файл: referat.me-215770.docx

Краткое описание работы: Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.

Дифференцирование. Интегрирование

Задание 1. Найти производные функций

a)

Пусть , , тогда

b)

Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле .

Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:

По свойству логарифма

Таким образом,

c)

Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:

Задание 2. Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции

Областью определения функции являются все действительные числа,

кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна .

Функция нечетная , т. к.

Функция не пересекается с осями координат (уравнение y =0 не имеет решений).

Найдем производную функции:

.

Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.


Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)

и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).

Функция имеет экстремумы : максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.

Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость .

Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.

В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0) <0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞) >0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.

Асимптоты графика функции :

1) вертикальная асимптота – прямая х=0

Т.к. и

2) горизонтальных асимптот нет,

т. к. и

3) наклонных асимптот нет,

т. к.

и

Задание 3 . Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x 2 + 2 x y 2 )

Найдем частные производные первого порядка.

М (1; 0) – стационарная точка.

Найдем вторые производные и их значения в точке М.

>0 Следовательно, функция Z = ln (3 – x 2 + 2 x y 2 ) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к. A < 0.

Задание 4 . Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием

a)

Решаем методом замены переменной. Положим ,

тогда ,

Таким образом, получаем

Вернемся к переменной х.

Проверим дифференцированием:

b)

Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]

С

Проверим дифференцированием:

c)

Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем


Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем

Подстановка приводит интеграл к виду

Возвращаясь к аргументу х, получаем

Таким образом, ,

где С=С12

Проверим дифференцированием:

Задание 5 . Вычислить определенный интеграл

Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим

Вернемся к переменной х.


Таким образом ,


Библиографический список

1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.

2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.

3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.

Похожие работы

  • Формулы шпаргалка

    Предел функции: Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.

  • Формулы по математическому анализу

    Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие

  • Преобразование графиков функции

    Тема: « Преобразование графиков функции Цели: 1) Систематизировать приемы построения графиков. 2) Показать их применение при построении: а) графиков сложных функций;

  • Определение предела числовой функции

    31. . Односторонние пределы. Свойства пределов. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n€N (xn≠x0), сходящейся к х0

  • Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений

    Содержание Введение 2 §1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 4 §2. Основные теоремы операционного исчисления 6 2.1 Свертка оригиналов. 6 Свойство линейности. 7

  • Производная дифференциал и интеграл

    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по высшей математике Содержание: 1. Пределы последовательностей и функций. 2 2. Производная и дифференциал. 3 3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4

  • Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными

    Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.

  • Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)

    Лабораторная работа № 4. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых). Гребенникова Марина 12-А класс Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида

  • Приближенное вычисление определенных интегралов

    Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.

  • Контрольные билеты по алгебре

    Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).