Название: Дифференцирование. Интегрирование
Вид работы: контрольная работа
Рубрика: Математика
Размер файла: 83.04 Kb
Скачать файл: referat.me-215770.docx
Краткое описание работы: Методика и основные этапы нахождения производной функции. Исследование методами дифференциального исчисления и построение графика функции. Порядок определения экстремумов функции. Вычисление неопределенных и определенных интегралов заменой переменной.
Дифференцирование. Интегрирование
Задание 1. Найти производные функций
a)
Пусть
,
, тогда
b)
Если функция имеет вид , то её производная находится по формуле
.
Перейдем от десятичного логарифма к натуральному:
По свойству логарифма
Таким образом,
c)
Продифференцируем уравнение, считая y функцией от х:
Задание 2.
Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график функции
Областью определения функции являются все действительные числа,
кроме х=0. В точке х=0 функция разрывна .
Функция нечетная
, т. к.
Функция не пересекается с осями координат (уравнение y =0 не имеет решений).
Найдем производную функции:
.
Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю.
![]() |
|||||||
![]() |
![]() |
||||||
![]() |
|||||||
![]() |
Функция возрастает в промежутке (-∞; – 1) U (1; ∞)
и убывает в промежутке (-1; 0) U (0; 1).
Функция имеет экстремумы : максимум – в точке х=-1, минимум – в точке х=1.
Исследуем функцию на выпуклость / вогнутость .
Для этого найдем производную второго порядка и, приравняв её к нулю, вычислим критические точки второго рода.
В точке х=0 вторая производная не существует, т. к. это точка разрыва функции. В интервале (-∞; 0)
<0, следовательно, график функции в этом интервале выпуклый. В интервале (0;∞)
>0, следовательно, график функции в этом интервале вогнутый.
Асимптоты
графика функции
:
1) вертикальная асимптота – прямая х=0
Т.к. и
2) горизонтальных асимптот нет,
т. к. и
3) наклонных асимптот нет,
т. к.
и
Задание 3 . Найти экстремумы функции Z = ln (3 – x 2 + 2 x – y 2 )
Найдем частные производные первого порядка.
М (1; 0) – стационарная точка.
Найдем вторые производные и их значения в точке М.
>0
Следовательно, функция
Z
=
ln
(3 –
x
2
+ 2
x
–
y
2
) имеет экстремум в точке М (1; 0) – максимум, т. к.
A
< 0.
Задание 4 . Вычислить неопределенные интегралы, результат проверить дифференцированием
a)
Решаем методом замены переменной. Положим ,
тогда ,
Таким образом, получаем
Вернемся к переменной х.
Проверим дифференцированием:
b)
Воспользуемся таблицей неопределенных интегралов [Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил. – С. 850]
С
Проверим дифференцированием:
c)
Неправильную рациональную дробь приводим к правильной делением числителя на знаменатель, получаем
![]() |
Согласно свойству интервала алгебраической суммы, имеем
Подстановка
приводит интеграл к виду
Возвращаясь к аргументу х, получаем
Таким образом, ,
где С=С1 +С2
Проверим дифференцированием:
Задание 5 . Вычислить определенный интеграл
Сначала вычислим неопределенный интеграл методом замены переменной. Полагая , находим
Вернемся к переменной х.
Таким образом
,
Библиографический список
1. Баврин, И.И. Высшая математика: учебник/ И.И. Баврин. – М.: Академия, 2003. – 616 с.:ил.
2. Выгодский, М.Я. Справочник по высшей математике/М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1972. – 872 с.:ил.
3. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М.Я. Выгодский. – СПб.: Изд. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. – 416 с.:ил.
Похожие работы
-
Формулы шпаргалка
Предел функции: Число А наз-ся пределом функции f(x) в точке x0 если для всех x достаточно близких к x0, отличных от x0 значения ф-ии f(x) сколь угодно мало отличаются от числа A.
-
Формулы по математическому анализу
Формулы дифференцирования Таблица основных интегралов Правила интегрирования Основные правила дифференцирования Пусть С—постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие
-
Преобразование графиков функции
Тема: « Преобразование графиков функции Цели: 1) Систематизировать приемы построения графиков. 2) Показать их применение при построении: а) графиков сложных функций;
-
Определение предела числовой функции
31. . Односторонние пределы. Свойства пределов. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х0, если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n€N (xn≠x0), сходящейся к х0
-
Применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений
Содержание Введение 2 §1. Оригиналы и изображения функций по Лапласу 4 §2. Основные теоремы операционного исчисления 6 2.1 Свертка оригиналов. 6 Свойство линейности. 7
-
Производная дифференциал и интеграл
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по высшей математике Содержание: 1. Пределы последовательностей и функций. 2 2. Производная и дифференциал. 3 3 Геометрические изложения и дифференцированные исчисления (построение графиков) 4
-
Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
Решение системы линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса. Решение задачи на нахождение производных, пользуясь правилами и формулами дифференцирования. Исследование заданных функций методами дифференциального исчисления.
-
Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых)
Лабораторная работа № 4. Приближенный метод решения интегралов. Метод прямоугольников (правых, средних, левых). Гребенникова Марина 12-А класс Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида
-
Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет Приближенное вычисление определенных интегралов. Формула парабол (формула симпсона) Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
-
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).