Название: Числовая последовательность
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 65.54 Kb
Скачать файл: referat.me-216250.docx
Краткое описание работы: Содержание 1 Определение 2 Примеры 3 Операции над последовательностями 4 Подпоследовательности 4.1 Примеры 4.2 Свойства 5 Предельная точка последовательности
Числовая последовательность
Содержание
- 1Определение
- 2Примеры
- 3Операции над последовательностями
- 4Подпоследовательности
- 4.1Примеры
- 4.2Свойства
- 5Предельная точка последовательности
- 6Предел последовательности
- 7Некоторые виды последовательностей
- 7.1Ограниченные и неограниченные последовательности
- 7.1.1Критерий ограниченности числовой последовательности
- 7.1.2Свойства ограниченных последовательностей
- 7.2Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- 7.3Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- 7.4Монотонные последовательности
- 7.5Фундаментальные последовательности
- 7.2.1Свойства бесконечно малых последовательностей
- 7.3.1Свойства сходящихся последовательностей
Числовая последовательность — это последовательность элементов числового пространства.
Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе.
Определение
Пусть множество X
— это либо множество вещественных чисел , либо множество комплексных чисел
. Тогда последовательность
элементов множества X
называется числовой последовательностью
.
Примеры
- Функция
является бесконечной последовательностью целых чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид
.
- Функция
является бесконечной последовательностью рациональных чисел. Начальные отрезки этой последовательности имеют вид
.
- Функция, сопоставляющая каждому натуральному числу
одно из слов «январь», «февраль», «март», «апрель», «май», «июнь», «июль», «август», «сентябрь», «октябрь», «ноябрь», «декабрь» (в порядке их следования здесь) представляет собой последовательность вида
. В частности, пятым членом x 5 этой последовательности является слово «май».
Операции над последовательностями
На множестве всех последовательностей элементов множества X можно определить арифметические и другие операции, если таковые определены на множестве X . Такие операции обычно определяют естественным образом, т. е. поэлементно.
Пусть на множестве X определена N -арная операция f : Тогда для элементов |
Суммой числовых последовательностей (xn ) и (yn ) называется числовая последовательность (zn ) такая, что zn = xn + yn .
Разностью числовых последовательностей (xn ) и (yn ) называется числовая последовательность (zn ) такая, что zn = xn − yn .
Произведением
числовых последовательностей xn
и yn
называется числовая последовательность (zn
) такая, что .
Частным
числовой последовательности xn
и числовой последовательности yn
, все элементы которой отличным от нуля, называется числовая последовательность . Если в последовательности yn
на позиции
всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность
.
Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца.
Подпоследовательности
Подпоследовательность
последовательности (xn
) — это последовательность , где (kn
) — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.
Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.
Примеры
- Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
- Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.
Свойства
- Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
- Для всякой подпоследовательности


- Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
- Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
- Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
- Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
- Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
Предельная точка последовательности
Основная статья : Предельная точка
Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом.
Предел последовательности
Основная статья : Предел последовательности
Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.
Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.
Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.
Некоторые виды последовательностей
- Стационарная последовательность
— это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.
(xn
) стационарная
Ограниченные и неограниченные последовательности
В предположении о линейной упорядоченности множества X элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностией.
- Ограниченная сверху последовательность
— это последовательность элементов множества X
, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью
данной последовательности.
(xn
) ограниченная сверху
- Ограниченная снизу последовательность
— это последовательность элементов множества X
, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью
данной последовательности.
(xn
) ограниченная снизу
- Ограниченная последовательность
(ограниченная с обеих сторон последовательность
) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.
(xn
) ограниченная
- Неограниченная последовательность
— это последовательность, которая не является ограниченной.
(xn
) неограниченная
Критерий ограниченности числовой последовательности
Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.
(xn
) ограниченная
Свойства ограниченных последовательностей
- Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
- Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
- Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
- У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
- Для любого наперёд взятого положительного числа
все элементы ограниченной числовой последовательности
, начиная с некоторого номера, зависящего от
, лежат внутри интервала
.
- Если за пределами интервала
лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности
, то интервал
содержится в интервале
.
- Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
- Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.
- Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
- Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
- Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
- Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
- Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
- Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
- Если (xn ) — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / xn ), которая является бесконечно малой. Если же (xn ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / xn ) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n , и всё равно будет бесконечно малой.
- Если (αn ) — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность (1 / αn ), которая является бесконечно большой. Если же (αn ) всё же содержит нулевые элементы, то последовательность (1 / αn ) всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера n , и всё равно будет бесконечно большой.
Сходящиеся и расходящиеся последовательности
- Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества X , имеющая предел в этом множестве.
- Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.
Свойства сходящихся последовательностей
- Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
- Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
- Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
- Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
- Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
- Если последовательность (xn ) сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (1 / xn ), которая является ограниченной.
- Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
- Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
- Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
- Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
- Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
- Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
- Любую сходящуюся последовательность (xn ) можно представить в виде (xn ) = (a + αn ), где a — предел последовательности (xn ), а αn — некоторая бесконечно малая последовательность.
- Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).
Монотонные последовательности
Основная статья : Монотонная последовательность
Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.
Фундаментальные последовательности
Основная статья : Фундаментальная последовательность
Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.
Литература
- В. А. Зорич
Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104 — 114. — 544 с.
- Ю.С.Богданов - "Лекции по математическому анализу" - Часть 2 - Минск - Издательство БГУ им. В.И.Ленина - 1978.
Похожие работы
-
Алгебра и алгебраические системы
Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
-
Математические последовательности Предел функции
Задание 1 Вычислите последовательности Решение. Рассмотрим последовательность для любого натурального Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность
-
Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора
Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости. Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.)
-
Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
-
Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей
Примеры неравенств, доказываемых техникой одномонотонных последовательностей. Обоснование данного метода для случая с произвольным числом переменных. Доказательство неравенств с минимальным числом переменных. Сравнение метода с доказательством Коши.
-
Основы математики
Краткое изложение основ математики: комбинаторика, производные, числовые последовательности, многочлены и т.д.
-
Структура сходящихся последовательностей
Удмуртский государственный университет Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.
-
Предел последовательности. Теорема Штольца
Определение и этапы доказательства теоремы Штольца, ее теоретическое и практическое значение в прикладной математике, применение. Понятие предела последовательности, характерные примеры вычисления пределов последовательности с подробным разбором решения.
-
Нормированное пространство. Банахово пространство
Общая теория топологических и векторных пространств, внутренняя логика развития; аксиоматика. Структура построения нормированного пространства; рассмотрение и развитие понятия банахова пространства как определённого типа векторных пространств с нормой.
-
Разработка формальной системы
Министерство образования Российской Федерации Рязанская государственная радиотехническая академия Кафедра ВПМ Разработка формальной системы Пояснительная записка к курсовому проекту