Referat.me

Название: Сходимость рядов

Вид работы: контрольная работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 207.81 Kb

Скачать файл: referat.me-216294.docx

Краткое описание работы: КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9 ВАРИАНТ 9.3. Найти область сходимости указанных рядов 9.3.1. По признаку Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)

Сходимость рядов

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 9

ВАРИАНТ 9.3.


Найти область сходимости указанных рядов

9.3.1.

а)

По признаку Лейбница для знакопеременных рядов ряд сходится условно (соответствующий ряд Дирихле расходиться)

.

б)

Отсюда следует, что при ряд сходится, т.е. при . При ряд расходится.

Рассмотрим случай

Для данного ряда выполняется теорема Лейбница для знакопеременных рядов Ряд сходится условно, т.к. ряд

При аналогично получим ряд , ряд сходится условно.

Ответ:

9.3.2.

а)

. По признаку Даламбера ряд сходится, если .

Ряд будет сходится при

Первый случай или

В промежутке ряд сходится.

Второй случай

В промежутке 1<x<l ряд сходится. Объединяем интервалы и получим . Рассмотрим концы интервала.

При x=1 получим ряд , т.е. ряд вида — -1+1-1+1-1+…

Данный ряд расходится, т.к. его сумма имеет два различных предела (колеблющийся ряд).

При получим ряд т.е. ряд вида 1+1+1+…; ряд расходится, т.к.

б)

Ряд будет сходиться при .


1)

в интервале ряд сходится.

2)

в интервале 3<x<8 ряд сходится.

Общий интервал сходимости –2<x<8.

На концах интервала х=-2, имеем ряд:

— расходящийся гармонический ряд.

в п.9.3.1 б) показано, что ряд сходится условно.

Ответ: (-2,8]


9.3.3.

а)

Ряд сходится при условии

1)

Решим неравенство:

корней нет, следовательно: — всегда.

Ветви параболы направлены вверх, получаем два интервала: Здесь ряд сходится.

Исследуем концы интервалов:

1) . Получаем ряд: . Ряд расходится, т.к. все его члены не меньше расходящегося гармонического ряда .

2)

б)

.

Ряд сходится при .

1) интервал сходимости .

2) интервал сходимости .

Исследуем границы интервала.


1)

По теореме Лейбница ряд сходится, причем условно, т.к. ряд — расходится.

2) .

Сравним с рядом по второму признаку сравнения

расходится, то расходится и ряд .

3.9.4.

а)


Ряд сходится при

1) тогда

корней нет, .

Решаем неравенство:

.

Решаем полученное неравенство:

В промежутке (1,3) ряд сходится.

На концах интервала имеем:

1)

Ряд расходится, т.к. .

2)

б)

Ряд сходится при условии или

Интервал сходимости .

На концах интервала.

1)

— ряд расходится, т.к. расходится ряд .

2)

Ряд, как предыдущий, но все члены отрицательны.

9.3.5.

а)

Ряд сходится при условии .

1)

2)

Исследуем концы интервала:

1)


2)

б)

Ряд сходится при условии откуда


9.3.6.

а)

Ряд сходится при

и корней нет, следовательно, имеет условие

Интервал сходимости .

Исследуем концы интервалов:

1)


Ряд знакочередующийся, проверим условие Лейбница

— выполняется

Ряд сходится при

Получим такой же ряд.

б)

Проверяем признак Даламбера:

Условие сходимости

На концах интервала имеем:


1)

Ряд знакочередующийся, признак Лейбница выполняется.

Ряд сходится условно при .

Получим такой же ряд, но члены имеют обратные знаки.

.

9.3.7.

а)

Проверяем концы интервалов

1)

Признак Лейбница выполняется, ряд сходится.

При получится такой же ряд (т.к. x в четной степени).

б)

9.3.8.

а)

Условие сходимости .

Найдем дискриминант знаменателя: D=64-72<0. Условие принимает вид

Интервал сходимости .

На концах интервала

Получаем один и тот же ряд

.

Члены этого ряда не меньше членов ряда , следовательно, ряд расходится.

б)

Условие сходимости

На краях интервалов:

1) . Получается ряд:

Ряд знакочередующийся, по признаку Лейбница сходится.

2)

9.3.9.

а)

1. Если , т.е. и необходимо решить неравенство: . Получается интервал .

2.

Интервал с учетом .

На концах интервала:

1)

Ряд сходится. Аналогично при .

.

б)

Интервал сходимости определяется неравенством


9.3.10.

а)

Найдем дискриминант числителя


б)

1)

2)


1.

2.

Похожие работы

  • Типовой расчет

    Условия и анализ заданий по математике: найти сумму ряда, область сходимости функционального ряда, исследовать ряд на сходимость, вычислить сумму ряда с точностью альфа, используя метод неопределённых коэффициентов, признак Даламбера и признак Лейбница.

  • Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда

    Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.

  • Числовые ряды 3

    Числовые ряды Основные понятия Числовым рядом называется выражение вида – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда общим членом

  • Высшая математика

    Основные теоремы и определения.

  • Повторные ряды

    План работы Введение……………………………...………………….…… 5 §1 Повторные ряды ……………….......................................... 6 §2. Сходимость повторных рядов …………………………... 7

  • Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

    Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Содержание 1. Признак Даламбера 2. Признак Коши 3. Интегральный признак сходимости ряда 4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

  • Числовые ряды

    ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые ряды Содержание Лекция. Числовые ряды 1. Определение числового ряда. Сходимость 2. Основные свойства числовых рядов 3. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости

  • Интегралы. Функции переменных

    Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.

  • Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов

    Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.

  • Степенные ряды

    Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.