Название: Короткий курс теорії функції Зільберта
Вид работы: книга
Рубрика: Математика
Размер файла: 357.51 Kb
Скачать файл: referat.me-216368.pdf
Краткое описание работы: Министерство Образования и Науки Украины Харьковский национальный университет А.А. Тензор, В.В. Невязкин Краткий курс теории функции Зильберта (на русском и украинском языках)
Короткий курс теорії функції Зільберта
Министерство Образования и Науки Украины
Харьковский национальный университет
А.А. Тензор, В.В. Невязкин
Краткий курс теории функции Зильберта
(на русском и украинском языках)
ТОМ 1
Харьков 2007
DFGKJH5676
Издание первое и последнее
© 2007 А.А. Тензор, В.В. Невязкин кафедра теории функции Зильберта
ОГЛАВЛЕНИЕ :
Математический анализ |
|
4 |
Линейная алгебра |
|
5 |
Дифференциальные уравнения |
|
6 |
Теоретическая механика |
|
6 |
Функциональный анализ |
|
7 |
Теория вероятности |
|
8 |
Комплексный анализ |
|
9 |
Дифференциальная геометрия |
|
10 |
Теория управления |
|
14 |
Численные методы |
|
15 |
Задачи |
|
16 |
Список использованной литературы |
18 |
МАТАНАЛІЗ
Теорема (Зільберта-Штольца)
Функція Зiльберта З(x ) має в околі точки x похідні до (n –1) порядку включно.
Доведення (від приємного ) . Припустимо, що З(x ) має похідні до (n +8) порядку включно. Це дурниця.
Теорема (Штрассермана)
Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю) розкладається в ряд Тейлора з залишковим членом у вигляді функції Зільберта З(x ).
Доведення . Оскільки Функція Штрассермана досить приємна на вигляд, ми можемо записати нерівність:
ШТР(х,з,ю)
Отримали суперечність. Теорему доведено.
Зауваження 1 . Ви спитаєте, при чому у попередній теоремі функція Зільберта? Відповідаємо – просто так!
Зауваження 2 . Значення функції ШТР(π,з,ю) покладемо рівним πˆ (пі з дахом):
ШТР(π, ,з ю) ≡πˆ .
Якщо це не так, доповнимо інтеграл Пуассона порожніми брусами. Це корисна вправа.
Означення . Функція Штрассермана ШТР(x,з,ю), що діє на функцію Зільберта З(x ), називається оператором блабла ∇.
ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
Твердження
Якщо ранг матриці Якобі J
дорівнює –1, та у тому випадку, коли власні вектори ортонормованого базису кореневого підпростору Зільберта
<α,β, ,γσ,...,χ1 ,ω,ψ>
не усі нулі, можна записати тотожність:
k
k →1
j =−9
Доведення . Приймемо цю теорему на віру.
Наслідки
Згідно до цієї теорії можна потрапити до лікарні.
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Означення . Матрицею Петросяна називають матрицю П(x ), у якої елементи, що стоять на головній диагоналі, належать функції Зільберта З(x ).
Означення . Детермінант матриці Петросяна – петросяніан
П[З(x )].
Теорема (про замкненість петросяніана)
Якщо петросяніан задовольняє умовам теореми Зільберта-Штольца, і виконана достатня умова теореми Штрассермана, то петросяніан П[З(x
)] – замкнена множина на інтервалі [, π-arctgμ], де μ – неперервна функція.
Доведення
.
Наш інтервал [, π-arctgμ] – компакт ⇒ за теоре-
мою Вейєрштраса-Ляпунова, він має скінченне покриття. Спрямуємо μ на +∞ {2} та підставимо правий кінець інтервала у петросяніан. Отримали:
П,
а це означає, що петросяніан – замкнена множина, оскільки
). Теорему доведено.
ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКА
Принцип локалізації в’язей до (n-8) порядку включно
Якщо спочатку подивитися наліво, а потім направо, то, використовуючи метод віртуальних ітерацій, можемо найкоротшим шляхом прийти на схід.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Неравенство Треугольника * .
*Треугольник И.И. – выдающийся Харьковский математик, один из основателей теории функции Зильберта.
Теорема 1
Пусть α, ,b ξ – стороны треугольника.
Тогда α+b >ξ. (1)
Замечание . “> ” – знак “больше так сказать” – это то же самое, что знак “>” в пространстве Римана, только в пространстве Штрассермана ШТРn .
Теорема 2
В принятых обозначениях b +ξ>α. (8)
Теорема 3
В принятых обозначениях α+ξ>b . (9)
Доказательство теоремы 1 (от приятного). Пусть это не так, то есть α+b <ξ. (11)
Но это противоречит аксиоматике Зильберта, согласно которой все теоремы верны!
Упражнение . Теоремы 2,3 доказать самостоятельно.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ
В теории функции Зильберта существует сходимость “так сказать”, “как надо” и ”как не надо”, а именно:
Определение
.
Последовательность сходится “так сказать”
к числу ξ∈Z
(пространство Зильберта) ⇔ выполнены условия:
1. положим ξ=δ,
2. ∀ >ε 0 ∃δ: |ξk −δ|>ε.
3. мат. ожидание функции Зильберта M[З(x)] равно константе Бернулли.
Обозначается ξk ⎯так ⎯⎯⎯⎯сказать →ξ.
Определение
.
Последовательность сходится “как надо”
к числу ξ∈Z:
ξk
⎯⎯→КН
⎯. .
ξ ⇔ дисперсия случайной величины ξk
равна интегралу Пуассона от трансцендентной функции.
Определение
.
Последовательность сходится “как не надо”
к числу ξ∈Z:
ξk
⎯⎯ →К Н Н
.
⎯. .
ξ ⇔ дисперсия случайной величины ξk
равна нулю.
Определение . Функциональная последовательность f (ξk ) ← ⎯ ⎯⎯ ⎯→ Λ
ξ λ→→
коллинеарно сходится к Λ, когда ξ равномерно сходится к λ с
1
вероятностью ⇔ f
'(ξk
) > 0, ∀k
: λ<k
<Λ.
k
КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ
Теорема . Рассмотрим конформное отображение f из области D в область G :
D а б в г д е ж з и к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f : D → G
G а б в г д е ж з и к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тогда на ∀ факультете ∃ пара такая, что отображение f ∃ и не единственно, более того, таких отображений ∃ минимум два.
Проверить самостоятельно.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
N-угольники в пространстве Зильберта
1. Регулярный одноугольник
Определение . Регулярный одноугольник – геометрическая фигура, (
состоящая из вершины (точки A ) и дуги (AA ):
Теорема (о длине дуги регулярного одноугольника)
Пусть γ – регулярный одноугольник с вершиной в точке A . Возь(
мём точку B ∈γ, B ≠ A . Тогда длина дуги AB равна
( B
l AB ( ) =∫d ξ.
A
Замечание . Если A =B , то длина дуги неопределена и условно
∞
считается равной .
8
Упражнение . Доказать эту теорему самостоятельно.
2. Пространство двуугольников, измеримых по Зильберту
Определение . Двуугольник называется измеримым по Зильберту , если у него 2 угла, причём один угол – первый, а другой – второй.
Примеры
1. Простой двуугольник
2. Прямой равноугольный двуугольник
3. Прямоугольный двуугольник
Замечание . Двуугольники бывают выпуклые и впуклые, например
Теорема
Впуклые двуугольники измеримыми по Зильберту не являются. Это следует из основной предельной теоремы Зильберта-Остроградского.
Теорема
В пространстве Зильберта Zn двуугольники, измеримые по Зильберту, можно дифференцировать, интегрировать и брать от них невязку ⇔ мат. ожидание косого геликоида, содержащего этот двуугольник, имеет предел, который сходится к константе Бернулли.
Доказательство . Клянусь Демидовичем!
3. Пространство треугольников, измеримых по Зильберту
Определение . Треугольник называется измеримым по Зильберту , если сумма его углов больше 1800 .
Примеры
1. Треугольник Зильберта
2. Треугольник Штрассермана (штреугольник) – имеет 3 прямых угла
3. А этот треугольник не измерим по Зильберту
4. Классификация одноугольников
Одноугольники могут иметь 1, 2 или 3 вершины, если дуга незамкнута и имеет самопересечения.
Примеры
Замечание . Если число вершин >3, одноугольник называется вырожденным . Точка тоже вырожденный случай. Такие одноугольники мы рассматривать не будем.
Пример
5. Шестиугольник ATBCEB
Теорема . Рассмотрим шестиугольник ATBCEB и расположим его стороны в порядке возрастания. Тогда сумма длин его сторон в пространстве Лобачевского, умноженная на cosecτ, где
τ∈ −( 4.7,18] – дискретная функция, которая принимает 2 значе-
ния: {1, 15} в зависимости от знака cosecτ.
Замечание . Эта теорема будет доказана на старших курсах.
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
Определение 1
.
Последовательность очень слабо сходится
к элементу ξ∈Z
(пространство Зильберта) ⇔ мы этого хотим слабо.
Определение 2
.
Последовательность очень сильно сходится
к элементу ξ∈Z
⇔ мы этого хотим сильно.
Теорема (Коклюшкина)
Определения 1 и 2 неэквивалентны.
Доказательство . Действительно, мы же не можем одновременно хотеть одного и того же слабо и сильно! Теорема доказана.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Рассмотрим сумму с коэффициентами c k , где
k −1
f c k = k −1 k |
k −1 −∑ |
f j ∏ i =0 x j − x i i ≠ j |
x
n
− x
i
∏(x
k
− x
l
) j
=0
i =0 i
и, пожалуй, хватит.
ЗАДАЧИ
1. Как доопределить остаточный член функции Зильберта в выколотой окрестности ∞, в точке {–6} так, чтобы относительно винтовой линии (n –3) порядка cosϕ и sinϕ были параллельны?
(Ответ – молча)
2. (Прикладная задача мат. статистики) Берём константу Бернулли и устремляем её на . Вопрос: как будет вести себя на беско-
нечности трансцендентная функция, умноженная на константу Бернулли? (Ответ – вызывающе)
3. Доказать, что в пространстве Зильберта Zn числитель и знаменатель ортогональны, а их нормы и невязки скрещиваются.
4. Попробуйте на досуге проаппроксимировать функцию Зильберта З(x ) константами Бернулли.
5. Введём в рассмотрение функцию Бюншмана Б (x )
n
Б ( )x = −|| f ∑c y k k ||
k =1
Вопрос: как теперь вывести её из рассмотрения?
6. Доказать, что у всех девушек волосы одного цвета. Решение (методом мат. индукции) .
10 . При n =1 утверждение верно: у одной девушки волосы одного цвета.
678k 678k
000...0014243 000...0014243
k +1 k +1
Рис. 1.
20 . Пусть утверждение верно при n =k . Докажем его для n =k +1. Внимательно рассмотрим k +1 девушку. У первых k девушек волосы одного цвета (по предположению), и у последних k девушек волосы одного цвета, значит, у k +1 девушки волосы одного цвета.
Утверждение доказано.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ :
1. В учебнике по теории функции Зильберта использованы конспекты студентов мех-мата по:
- матанализу,
- линейной алгебре,
- диффурам,
- теормеху,
- функану,
- теорверу,
- комплану,
- дифф. геометрии,
- теории управления, - численным методам, где все имена и теоремы вымышленные, любое сходство с уже существующими случайно.
2. Демидович Б. П. “Сборник задач и упражнений по математическому анализу”.
Также здесь фигурируют фразы и выражения некоторых преподавателей с мех-мата, кто знает, тот поймёт.
Тираж 600 экземпляров.
Цена 20 коп.
Похожие работы
-
Современные методы теории функции Зильберта
Министерство Образования и Науки Украины Харьковский национальный университет А.А. Тензор, В.В. Невязкин Современные методы теории функции Зильберта
-
Нелинейная теория функции Зильберта в частных производных
Министерство Образования и Науки Украины Харьковский национальный университет имени Н.Н. Зильберта А.А. Тензор, В.В. Невязкин Нелинейная теория функции Зильберта
-
Колебательно движение материальной точки
Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт имени В.Г. Плеханова (технический университет)
-
Модель гонки вооружений Ричардсона
Министерство образования и науки Украины Харьковский национальный университет радиоэлектроники Кафедра ЕК Курсовой проект по дисциплине «Моделирование экономической динамики»
-
Граничні теореми теорії ймовірностей
Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
-
Исследование математических операций
Министерство образования и науки Украины Днепропетровский Национальный Университет Факультет электроники, телекоммуникаций и компьютерных систем
-
Загальні положення теорії ймовірностей та математичної статистики
Реферат на тему: Загальні положення теорії ймовірностей та математичної статистики План Основні поняття та визначення: поняття стохастичної с-ми експерименту, ймовірності, випадкової величини.
-
Методика регрессионного анализа
Министерство науки и образования Украины Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт" Радиотехнический факультет
-
Анализ поведения функций при заданных значениях аргумента
Национальный Горный Университет Украины Контрольная работа по дисциплине «Использование вычислительной техники» Днепропетровск Используя приложение Excel пакета Microsoft Office (версии 95,97, 2000 или XP) рассчитать значения функций и построить графики.
-
Логика формальная и графическая модель описания изготовления винных изделий
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ Государственный университет информатики и искусственного интеллекта Кафедра системного анализа и моделирования