Referat.me

Название: Основы теории вероятностей

Вид работы: контрольная работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 87.77 Kb

Скачать файл: referat.me-217623.docx

Краткое описание работы: Принципы решения задач по основным разделам теории вероятностей: случайные события и их допустимость, непроизвольные величины, распределения и числовые характеристики градировки, основные предельные теоремы для сумм независимых вероятностных величин.

Основы теории вероятностей

1. Пять студентов садятся в поезд, имеющий десять вагонов. Каждый из студентов с одинаковой вероятностью может сесть в любой из вагонов. Какова вероятность того, что двое студентов окажутся в одном вагоне, а остальные – в разных?

Решение

Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми 5 студентов может сесть в один из 10 вагонов, то есть:

Подсчитаем количество благоприятствующих исходов событию А:

Двое студентов из пяти сели в один вагон (из 10):

- возможных сочетаний 2 студентов из 5

- возможных исходов

Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 9 вагонов:

Количество студентов для перебора – 3.

Кол-во вагонов для перебора – 9.

Один из оставшихся студентов садится в один из оставшихся 8 вагонов:Количество студентов для перебора – 2.

Кол-во вагонов для перебора – 8.


Последний студентов садится в один из оставшихся 7 вагонов:

Количество студентов для перебора – 1.

Кол-во вагонов для перебора – 7.

Итого количество благоприятствующих исходов

Искомая вероятность:

Ответ: 0,15%

2. В одном альбоме из 100 марок 45 марок погашены. В другом альбоме, содержащем такое же число марок, погашенных нет. Из первого альбома во второй переложена марка. Какова вероятность того, что извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной?

Решение

Обозначим через А событие – "извлеченная наугад марка из второго альбома окажется непогашенной".

После того как из первого альбома переложили во второй одну марку, во второй урне оказалось две совокупности марок:

100 не погашенных марок, первоначально содержащихся в альбоме;

Одна марка, переложенная из первого альбома.

Вероятность появления непогашенной марки из первой совокупности равна , т.к. все марки, первоначально содержащиеся в альбоме, непогашенные, а из второй .

Вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит первой совокупности , где - кол-во вариантов благоприятствующих событию (100 марок в первой совокупности), и - общее кол-во вариантов (100 марок плюс одна переложенная из первого альбома). Аналогично вероятность того, что извлеченная наугад марка принадлежит второй совокупности

Используя формулу полной вероятности, получим:

Ответ:

3. Что вероятнее: при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной получить единицу, или при 24-х бросаниях двух игральных костей хотя бы раз получить две единицы?

Решение

Обозначим А событие – при бросании четырех игральных костей хотя бы на одной выпадет единица.

Вероятность выпадения единицы для всех костей одинакова и равна , соответственно вероятность выпадения другого числа равна .

Событие А подразумевает выпадение единицы на одной игральной кости или на двух, на трех, на четырех. Обратным для данного события будет событие, при котором ни на одной игральной кости не выпадет единицы. Найдем вероятность данного события. Выпадение числа отличного от единицы на каждом из 4ех кубиков это независимые события, поэтому применить теорему умножения, получим:

Вероятность события А равна:

Событие В – при 24х бросаниях 2х костей хотя бы раз выпадет две единицы.

Вероятность выпадения двух единиц равна , вероятность выпадения одной или нуля единиц равна .

Для вычисления вероятности появления события В так же удобно найти вероятность обратного события, т.е. вероятность события при котором ни в одном испытании не выпаде двух единиц. Для вычисления вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

Итак,


Вероятность события В равна:

Ответ: событие А вероятнее.

4. Каждый из пяти студентов может с одинаковой вероятностью сесть в любой из четырех идущих друг за другом автобусов. Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа студентов, севших в первый автобус. Найти вероятность того, что: а) в первый автобус сел хотя бы один студент, б) в первый автобус село не более трех студентов.

Решение

Вероятность студента сесть в один из 4х автобусов равна , вероятность для всех студентов одинакова, .

Построим ряд распределения случайной величины Х - число студентов, севших в первый автобус.

Вычислим вероятность для каждого , используя формулу Бернулли:


Построим ряд распределения случайной величины Х:

0 1 2 3 4 5
0,2373 0,3955 0,2637 0,0879 0,0146 0,001

Найдем математическое ожидание по формуле:

Дисперсию найдем по формуле:

Среднеквадратическое отклонение:

а) вероятность того, что в первый автобус сел хотя бы один студент:

сумма вероятностей ряда распределения равна единице, поэтому допустимо вычислить вероятность от обратного(в автобус не село ни одного студента).


б) вероятность того, что в первый автобус село не более трех студентов:можно рассмотреть событие: в автобус не село 4 или 5 студентов.

5. Распределение случайной величины X определяется плотностью распределения вероятностей (распределение Лапласа):. Найти функцию распределения вероятностей F(x) и построить графики функций f(x) и F(x). Найти M(X), D(X) и σ. Вычислить вероятность попадания случайной величины X в промежуток .

Решение

По определению функция распределения — это интеграл от плотности распределения:

Для интегрирования необходимо рассмотреть два случая: и


Графики функций для

Математическое ожидание и дисперсия

В показателе экспоненты функции плотности содержится модуль разности, поэтому интервал необходимо разбить на и . Интегралы берутся по частям, при подстановке бесконечностей рассматриваются пределы вида .

Мат. ожидание:

Дисперсия:


Вычислим вероятность попадания случайной величины X в промежуток :

Похожие работы

  • Шпаргалка по Теории Вероятности

    1) свойство вероятности: 20 стр. Свойство 1. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. Свойство 2. Вероятность достоверного события равна 1, т.е.

  • Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

    Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю нужным сказать о слабой сходимости. Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.)

  • Предельные теоремы. Характеристические функции

    Теория вероятностей и закономерности массовых случайных явлений. Неравенство и теорема Чебышева. Числовые характеристики случайной величины. Плотность распределения и преобразование Фурье. Характеристическая функция гауссовской случайной величины.

  • Моделирование дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения

    Распределение дискретной случайной величины по геометрическому закону распределения, проверка теоремы Бернулли на примере моделирования электрической схемы. Математическое моделирование в среде Turbo Pascal. Теоретический расчёт вероятности работы цепи.

  • Теория вероятностей

    Основы комбинаторики. Комбинаторика это раздел математики в котором изучается вопрос о том сколько различных комбинаций подчиненных тем или иным условиям можно составить из конечного числа различных элементов.

  • Теория вероятности и математическая статистика. Задачи

    Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.

  • Теория вероятности

    Определение числа всех равновероятных исходов испытания. Правило умножения вероятностей независимых событий, их полная система. Формула полной вероятности события. Построение ряда распределения случайной величины, ее математическое ожидание и дисперсия.

  • Основы теории вероятностей

    Закон распределения случайной величины Х, функция распределения и формулы основных числовых характеристик: математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Построение полигона частот и составление эмпирической функции распределения.

  • Вычисление случайных величин

    Задача №1. Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC: где S – площадь треугольника ABC.

  • Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал

    Определение вероятности появления события в каждом из независимых испытаний. Случайные величины, заданные функцией распределения (интегральной функцией), нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности), математического ожидания и дисперсии.