Referat.me / Математика / Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Название: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Вид работы: доклад

Размер файла: 17.74 Kb

Скачать файл: referat.me-217897.docx

Краткое описание работы: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени Валентин Подвысоцкий Уравнение: X4 + TX2 + PX + Q = 0 имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Валентин Подвысоцкий

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0

(1)

имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0,

(2)

X1X2 + X1X3 + X1X4 + X2X3 + X2X4 + X3X4 = T,

(3)

X1X2X3 + X1X2X4 + X1X3X4 + X2X3X4 = –P,

(4)

X1X2X3X4 = Q.

(5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1X2 + X3X4 = T + (X1 + X2)2,

(6)

(X1 + X2)(X1X2 – X3X4) = P.

(7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1X2+X3X4)Y + X1X2X3X4 = 0,

(8)

где Y1 = X1X2, Y2 = X3X4.

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2)2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1X2 = 1/2(T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2),

(9)

X3X4 = 1/2(T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2).

(10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1X2 – X3X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(11)

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1X2 – X3X4 = Р/А1/2.

(12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2.

(13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0.

(14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1+X2)2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2)X + X1X2 = 0,

(15)

X2 – (X3 + X4)X + X3X4 = 0.

(16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3+X4) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 – A1/2X + 1/2(T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0,

(17)

X2 + A1/2X + 1/2(T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2) = 0.

(18)

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

Похожие работы

Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.
Алгебраические тождества
Арифметические тождества, степени, дроби, логарифмы.
Приближенное вычисление корней в уравнения
Приближённое решение уравнений: метод хорд, метод касательных, комбинированный способ.
Существует ли тринадцатая планета солнечной системы?
Принимая массу Земли за единицу, можно приближенно представить массу всех больших планет Солнечной системы в виде геометрической прогрессии. Второй – пятый члены прогрессии нельзя отождествить с известными объектами Солнечной системы.
Существует ли ... тринадцатая планета Солнечной системы!
Оригинальная математическая гипотеза.
Решение нелинейных уравнений методом простых итераций
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Реферат на тему: «Решение нелинейных уравнений
Краткое доказательство гипотезы Билля
Гипотеза Билля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение: не имеет решения в целых положительных числах А, В, С, при условии, что больше 2.
Функционально-графический подход к решению задач с параметрами
Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.
Доказательство теоремы Ферма для n=4
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.
Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Типовые методы решения уравнений.