Referat.me

Название: Пифагор 3

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 95.31 Kb

Скачать файл: referat.me-218553.docx

Краткое описание работы: Бексултанова Дания Шокановна ОКШДС № 77 Г. Караганда Шокенова З.У. геометрия Пифагор. Теорема Пифагора. русский Требуется компьютер ПИФАГОР. ФИЛОСОФ И МАТЕМАТИК, ПОЛИТИК И РЕЛИГИОЗНЫЙ ЛИДЕР

Пифагор 3

1.

Бексултанова

2.

Дания

3.

Шокановна

4.

10 Г

5.

ОКШДС № 77

6.

Г. Караганда

7.

Шокенова З.У.

8.

геометрия

9.

Пифагор. Теорема Пифагора.

10.

русский

11.

Требуется компьютер

ПИФАГОР. ФИЛОСОФ И МАТЕМАТИК, ПОЛИТИК И РЕЛИГИОЗНЫЙ ЛИДЕР

Бексултанова Д.Ш.

10 Г , ОКШДС № 77, г. Караганда

рук. Шокенова З.У.

О Пифагоре : Пифагор жил в шестом веке до нашей эры, имел красивую внешность, носил длинную бороду, а на голове золотую диадему. Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью".) Своими речами приобрёл 2000 учеников, которые вместе со своими семьями образовали школу-государство, где действовали законы и правила Пифагора.

Он был первым человеком, который назвал себя философом. До него умные люди называли себя гордо и несколько высокомерно - мудрецами, что означало - человек, который знает. Пифагор же назвал себя философом - тем, кто пытается найти, выяснить. Слово "философ", как и слово "космос" достались нам от Пифагора. Всё в природе, говорил Пифагор, разделено на три части. Поэтому прежде чем решать любую проблему, её надо представить в виде треугольной диаграммы. "Узрите треугольник - и задача на две трети решена".Пифагор стоял у истока греческой науки, он был вынужден заниматься всем сразу: арифметикой и геометрией, астрономией и музыкой. Его целью было разобраться в строении Вселенной и человеческого общества (от движения звезд до политической борьбы).

Открытие Пифагора: Он первый заметил, что сила и единство науки основаны на работе с идеальными объектами. Например, прямая линия – это тетива натянутого лука и не луч света: ведь они имеют небольшую толщину, а линия толщины не имеет. Несовершенные природные тела являются лишь грубоватым подобием идеальных математических сущностей. Первая научная модель мира, предложенная Пифагором – все природные тела и процессы суть искаженные подобия идеальных тел и движений – а закономерности идеальных объектов выражаются с помощью чисел. «Числа правят миром через свойства геометрических фигур»

Теорема Пифагора (Пифагоровы штаны): Пифагоровы штаны - шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся разные стороны квадрата напоминали школьникам покрой мужских штанов, что породило следующее стихотворение : «Пифагоровы штаны – на все стороны равны».

Доказательство теоремы Пифагора:

Провели Δ АВС высоту С D , и образовал ось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC .

Древние египтяне более 2000 лет тому назад практически пользовались свойствами треугольника со сторонами 3, 4, 5 для построения прямого угла, т. е. фактически применяли теорему, обратную теореме Пифагора. Приведем доказательство этой теоремы, основанное на признаке равенства треугольников (т. е. такое, которое можно очень рано ввести в школе). Итак, пусть стороны треугольника ABC (рис. 24) связаны соотношением

c2 = a2 + b2 . (1)

Докажем, что этот треугольник прямоугольный. Построим прямоугольный треугольник A1 B1 C1 по двум катетам, длины которых равны длинам a и b катетов данного треугольника (рис. 25). Пусть длина гипотенузы построенного треугольника равна c1 . Так как построенный треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем: c1 2 = a2 + b2 . (2)

Сравнивая соотношения (1) и (2), получаем, что

c1 2 = c2 , или c1 = c.

Таким образом, треугольники – данный и построенный – равны, так как имеют по три соответственно равные стороны. Угол C1 прямой, поэтому и угол C данного треугольника тоже прямой.

Пифагорейцы:

Пифагорейцы образовали большое сообщество(их было более трёхсот), но она составляло лишь небольшую часть города, который уже не управлялся согласно тем же обычаям и нравам. Пифагорейцы приписывали числам различные свойства.Так, четные числа они называли женскими, нечетные (кроме 1) - мужскими. Число 5 - как сумма первого женского числа (2) и первого мужского (3) - считалось символом любви.Они же выделили понятие простого числа. Им были знакомы три вида пропорций:

арифметическая (a-b):(b-c)=a:a;

геометрическая (a-b):(b-c)=a:b;

гармоническая (a-b):(b-c)=а:c.

Пифагорейцы доказали, что сумма углов треугольника равна сумме двух прямых углов; установили, что плоскость можно "замостить" правильными многоугольниками так, что вокруг одной точки будут лежать или шесть треугольников, или четыре квадрата, или три шестиугольника.

Десять правил Пифагора:

-Отклоняйся от дорог исхоженных, используй нехоженые пути;

-Будь хозяином своему языку прежде всех других вещей, следуя при этом Богу;

- Дует ветер - поклоняйся шуму

- Помогай человеку в поднятии тяжести, но не помогай в сложении ее

- Выйдя из дома своего, - не возвращайся ..

- Не говори о делах учения без Света.

- Корми петуха, но не приноси его в жертву, поскольку он посвящен Солнцу и Луне

- Не позволяй ласточкам селиться в твоем доме

- Не протягивай охотно свою правую руку никому.

- Поднявшись с постели, - сгладь отпечатки тела.

На первый взгляд этот свод правил напоминает мистическое руководство из мира суеверий, но по всей видимости, слова Пифагора нельзя понимать буквально, в прямом смысле. За каждым из изречений стоит скрытый тайный смысл, а какой пусть каждый решит для себя сам.

Теорема Пифагора в стереометрии:

1)В стереометрии известен аналог теоремы Пифагора для треугольного параллелепипеда d²=a²+b²+c², где d- диагональ параллелепипеда a,b,c – величина трех его измерений.

2)В прямоугольной пирамиде квадрат площади гипотенузы равен сумме квадратов площадей катетов.

Следствия теоремы Пифагора:

1)В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

2)В прямоугольном пирамиде площадь любого из катетов меньше площади гипотенузы.

3)Если прямоугольном треугольнике АВС, к гипотенузе проведена высота СD=h,делящая её на отрезки x и y,то H²=xy.

4) В прямоугольной пирамиде аналог высоты это треугольник СОН (СН ┴ АВ), Н²= XYsinφ.

5)Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

6)Объем прямоугольной пирамиды равняется 1/6√a²b²c², где а=ОА, b=OB, c=OC.ребра треугольной пирамиды ОАВС, у которой все плоские углы, при вершине О прямые.

Прямоугольный треугольник и прямоугольная пирамида

Возьмем в пространстве произвольный треугольник АВС и ортогонально спроектируем его на плоскость β, проходящую через одну из его сторон, например сторону АВ. Пусть угол между плоскостями АВС и β равен φ (рис. 1.)

Тогда не трудно доказать, что

S∆ABC = S∆ABC cosφ (1)

Формула (1) позволяет определить тригонометрические функции двугранного угла, не сводя их к тригонометрическим функциям плоского угла.

Заметим, что прямоугольном треугольнике ВСО (∟О = 90˚) верно равенство ВО=ВСсоsφ (2)

Формулы (1) и (2) похожи, только в первом случае мы брали треугольник и его проекцию, а во втором – гипотенузу и катет, прилежащий к углу α. Эти формулы приводят к мысли, что прямоугольный треугольник ВСО аналогичен пирамиде ОАВС.

При встрече с прямоугольным треугольником сразу же вспоминается теорема Пифагора. Выясним, справедлива ли подобная теорема для прямоугольной пирамиды.

Замечание. В стереометрии известен аналог теоремы Пифагора для прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c², где d – диагональ параллелепипеда, а a,b,c – величины трех его измерений.

В прямоугольной пирамиде ОАВС АО=а, ВО=b, СО=с. По аналогии с теоремой Пифагора должно выполняться следующее равенство:

S²∆ABC = S²∆COA + S²∆COB +S²∆AOB.

Представив в эту формулу равенство (1) и сделав некоторые преобразования, получим

S²∆AOB · tg²φ = S²∆COA + S²∆COB (3).

В прямоугольном треугольнике СОН tgφ = СО/ОН, по условию СО=с, а ОН найдем из треугольников АОВ и АНО. В одном sinα = ОВ/АВ? А на другом sinα = ОН/АО. Таким образом получаем равенство ОВ/АВ = ОН/АО, откуда ОН = ОВ·АО/АВ.

В прямоугольном треугольнике АОВ АВ = √a² + b².Остальные даные есть в условии, в результате ОН = ab/√a² + b², а tgφ = c/√a² + b²/ab.

Площади прямоугольных треугольников АОВ, СОА и СОВ равны соответственно ab/2, aс/2 и bс/2. В результате формула (3) приобретает вид

a²b² / 4 · с²( a²+b²) / a²b² = a²с² /4 + b²с²/4;

преобразовав её, получим

с²( a²+b²) = с²( a²+b²).

Последнее выражение является верным равенством, поэтому можно сделать вывод: первоначальное предположение было верным и верна теорема.

Теорема. В прямоугольной пирамиде квадрат площади гипотенузы равен сумме квадратов площадей катетов.

Следствие теоремы Пифагора и её анализ

- В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.

В прямоугольной пирамиде площадь любого из катетов меньше площади гипотенузы.

- Если в прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена высота СD = h, делящая её на отрезки x и y h² = хỵ

В прямоугольной пирамиде (рис.2) аналог высоты - это треугольник СОН (СН ┴АВ). Обозначим S∆COН =Н, S∆CАН = Х, S∆CBН = У.

Тогда Н² = ¼ ОН² · ОС².

Заменим, ОН² на произведение АН и НВ, а ОС² - на sinφ ·CH² и получим

Н² = 1/2 АН² · СН1/2 НВ · СН · sin²φ.

В результате выражение принимает вид

Н² = Х · У · sin²φ.

- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т.е. S =1/2ab. Чтобы получить аналог этого свойства, выразим объем прямоугольной пирамиды через произведение площадей её катетов. Для удобства примем за основание пирамиды грань АОВ, тогда

V = 1/3·ab/2·c = 1/6abc = 1/6√a²b²c² = 2√2/6·√ab/2·bc/2·ac/2

V = √2/2·√ S∆AOB · S∆BOC · S∆АОС

- Аналог теоремы косинусов для прямоугольной пирамиды: в прямо-угольной пирамиде ОАВС выполняется равенство (рис.2)

S²∆AОС + S²∆ВОС = S²∆АВС + S²∆AOB - 2S²∆·S²∆AOB cos φ (4),

где φ – это двугранный угол между гранями АВС и АОВ.

Литература:

1. « Краткий справочник школьника»;

2. Глейзер Г.И. « История математики в школе» ,1982;

3. Еленьский Щ. «По следам Пифагора», 1961.

4. Погорелов А.В. «Геометрия 7-11 класс», 1992.

Похожие работы

  • Античная астрономия

    Античная астрономия занимает в истории науки особое место. Именно в Древней Греции были заложены основы современного научного мышления. За семь с половиной столетий от Фалеса и Анаксимандра, сделавших первые шаги в осм

  • Теорема Пифагора

    Ученик 8 В класса Моусош № 6 Скворцов Сергей Пифагор "Следует избегать всеми средствами, отсекая огнем и мечом, и всем, чем только можно, от тела - болезнь, от души - невежество, от желудка - излишнего, от города - смуту, от дома - раздоры, и от всего вместе - неумеренность."

  • Биография Пифагора

    Биография Пифагора ифагор Самосский (ок. 580 - ок. 500 до н. э.) древнегреческий математик и философ-идеалист. Родился на острове Самос. Получил хорошее образование. По преданию Пифагор, чтобы ознакомиться с мудростью восточных ученых, выехал в Египет и как будто прожил там 22 года. Хорошо овладев всеми науками египтян, в том числе и математикой, он переехал в Вавилон, где прожил 12 лет и ознакомился с научными знаниями вавилонских жрецов.

  • Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора

    Доказательство теоремы Пифагора методами элементарной алгебры: методом решения параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Существование бесконечного количества троек пифагоровых чисел и, соответственно, прямоугольных треугольников.

  • Как начиналась геометрия

    Принято думать, что это сделали греки. Быть может, прославленные египетские жрецы или не менее прославленные халдейские маги суть истинные отцы этой науки. Но они не озаботились тем, чтобы оставить для потомков труды, подтверждающие их приоритет.

  • Теорема Пифагора

    Теорема Пифагора и различные алгебраические и неалгебраические способы ее доказательства.

  • Зенон Элейский, его парадоксы и понятия бесконечности

    З Е Н О Н Э Л Е Й С К И Й , Е Г О П А Р А Д О К С Ы И П О Н Я Т И Е Б Е С К О Н Ч Н О С Т И Пифагорийская школа. Пифагор основал братство религилзного, философского и научного характера с политическим уклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400 г. до н. э .

  • Жизнь Пифагора

    Когда Мнесарх, отец Пифагора, был в Дельфах по своим торговым делам, он и его жена Партенис решили спросить у Дельфийского оракула, будет ли Судьба благоприятствовать им во время обратного путешествия в Сирию. Пифия (прорицательница Аполлона), сидя на золотом триподе над зияющим отверстием оракула, не ответила на их вопрос, но сказала Мнесарху, что его жена носит в себе дитя и что у них родится сын, который превзойдет всех людей в красоте и мудрости и который много потрудится в жизни на благо человечества.

  • Формулы, возможно неизвестные, для решений уравнения Пифагора

    Выведены формулы, возможно ранее неизвестные, для решений уравнения Пифагора, Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян.

  • История математики: Классическая Греция

    С точки зрения XX в. родоначальниками математики явились греки классического периода (VI-IV вв. до н.э.). Математика, существовавшая в более ранний период, была набором эмпирических заключений.