Название: Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
Вид работы: статья
Рубрика: Математика
Размер файла: 192.65 Kb
Скачать файл: referat.me-218773.docx
Краткое описание работы: Рассмотрим линейное нагруженное уравнение третьего порядка.
Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
Об одной общей краевой задаче со смещением для нагруженного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками
Кодзодков А.Х.
Кафедра математического анализа.
Кабардино-Балкарский государственный университет
Рассмотрим линейное нагруженное уравнение третьего порядка:
(1)
в – области , ограниченной отрезками
прямых
соответственно при
и характеристиками
,
уравнения (1) при
;
;
– интервал
,
– интервал
.
Здесь положено, что:
1)
или 2) .
Пусть имеет место случай (1).
Задача . Найти функцию
со следующими свойствами: 1)
;
2) – регулярное решение уравнения (1) при
;
3) удовлетворяет краевым условиям
,
; (2)
,
, (3)
где ,
– аффиксы точек пересечения характеристик уравнения (1) при y < 0, выходящих из точки
с характеристиками АС и ВС соответственно;
,
,
.
Опираясь на однозначную разрешимость задачи Коши для уравнения (1) при y < 0 с начальными данными ,
, легко видеть, что если существует решение задачи
, то оно представимо в виде:
. (4)
Учитывая (4) в краевом условии (3), получаем:
, (5)
где .
Следуя [1], обозначим через первообразную функции
. Тогда уравнение (5) примет вид:
, (6)
, (7)
где .
Относительно коэффициентов уравнения (6) будем рассматривать аналогичные ситуации, приведенные в работе [1]:
1) , т.е.
;
2) , , т.е.
;
3), т.е.
;
4) ,
, т.е.
.
Пусть имеет место случай (1) и функции . Решение задачи (6), (7) в этом случае имеет вид:
, (8)
где .
Дифференцируя равенство (8) и делая несложные преобразования, получаем:
(9)
где ,
,
,
,
,
.
Переходя к пределу в уравнении (1) при , получаем функциональное соотношение между
и
, принесенное из области
, на линию
:
. (10)
В силу граничных условий (2) и равенства (9) получим нелокальную задачу для нагруженного неоднородного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами:
, (11)
, (12)
где
.
В начале положим, что , т.е.
,
, т.е.
.
В зависимости от значений корней характеристического уравнения
, (13)
соответствующего однородному уравнению (11) (), будем исследовать разрешимость задачи (11), (12).
Введем обозначение . Логически возможны три различных случая: 1) S>0, 2) S=0, 3) S<0.
Известно, что [2]: 1) если S>0, то уравнение (13) имеет только один действительный корень, а два остальных корня будут сопряженными чисто комплексными числами; 2) если S=0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем два из них равны; 3) если S<0, то все три корня уравнения (13) действительны, причем все они различны.
Пусть S=0, т.е. .
Общее решение уравнения (11) в этом случае имеет вид:
, (14)
где ,
.
Удовлетворяя (14) граничным условиям (12), получим линейную алгебраическую систему трех уравнений относительно с определителем:
.
Положим, что . Тогда
находят по формулам:
, (15)
, (16)
, (17)
где
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Учитывая (15) – (17) в (14), получаем:
,
где ,
,
,
или
, (18)
где .
Если считать функцию известной, то (18) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром относительно
. Обозначив
,
решение уравнения (18) будем искать в виде:
. (19)
После подстановки (19) в (18) имеем выражение:
.
Если , то
определяется по формуле:
. (20)
Учитывая (19), (20) в (18), получаем:
, (21)
где ,
.
В равенстве (21) учтем значение . В результате будем иметь:
, (22)
где ,
,
,
,
,
.
Перепишем уравнение (22) в виде:
, (23)
где .
В силу условий, наложенных на заданные функции , можем заключить, что
, следовательно
.
Обращая интегральное уравнение Вольтерра второго рода (23), получаем:
, (24)
где – резольвента ядра
. Заметим, что резольвента
обладает такими же свойствами, что и ядро
[3].
Заменяя в равенстве (24) функцию ее значением, получаем:
, (25)
где ,
.
Перепишем уравнение (25) в виде:
, (26)
где .
Решение уравнения (26) будем искать в виде:
, (27)
где .
Поступая аналогично предыдущему случаю, получим
, если
.
Таким образом, имеем:
|

где .
Уравнение (28) перепишем в виде:
, (29)
где .
Решение уравнения (29) ищем в виде:
, (30)
где .
Подберем теперь постоянную так, чтобы определенная формулой (30) функция
была решением интегрального уравнения (29). С этой целью внесем выражение (30) для
в левую часть (29). После простых вычислений получаем:
,
откуда
,
где положено, что
.
Таким образом, имеем:
. (31)
Полагая в равенстве , находим
,
если , т.е.
.
Пусть теперь имеет место случай 2), причем :
.
В этом случае уравнение (6) принимает вид:
, (32)
где .
Учитывая условие (7), из (32) получаем соотношение ,
. Подставляя это значение в (32), находим
. (33)
Подставляя (33) в (10), получаем нагруженное уравнение:
, (34)
где ,
,
,
с внутренне-краевыми условиями (12).
Рассмотрим частный случай, когда , т.е.
=
;
, т.е.
;
, т.е.
.
Тогда общее решение однородного уравнения
имеет вид [4]:
где .
Пусть . Методом вариации постоянных находим общее решение неоднородного уравнения (34) в виде:
, (35)
где ,
.
Удовлетворяя (35) условиям (12), получаем:
,
,
где
,
,
, причем выполняется условие
, т.е.
.
Равенство (35) перепишем в виде:
, (36)
где ,
.
Из (36) при , имеем
,
если выполняется условие , т.е.
.
Пусть имеет место случай 3), причем ,
. Тогда уравнение (6) принимает вид [1]:
. (37)
Полагая в равенстве (37) и, учитывая условия
, получим:
.
Следовательно, для имеем представление
, (38)
где .
Если выполняется условие 4) и функции , причем
, то имеем равенство
. (39)
Полагая в равенстве (39) и, учитывая условие
, находим
.
Таким образом, имеем, что
. (40)
Полагая в равенствах (38), (40) , найдем
, а затем, подставляя их в равенство (10), однозначно найдем неизвестную функцию
.
Случай исследуется аналогично.
После определения функций решение задачи
в области
задается формулой (4), а в области
приходим к задаче (1), (2),
.
Решение этой задачи дается формулой [5]:
, (41)
где
.
Отсюда, полагая в равенстве (41) , получаем систему интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода:
(42)
где ,
.
В силу свойств функции и ядер системы (42), нетрудно убедиться, что система уравнений (42) допускает единственное решение в пространстве
[3].
Список литературы
Наджафов Х.М. Об одной общей краевой задаче со смещением для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Известия КБНЦ РАН. Нальчик, №1(8), 2002.
Фадеев Д.К. Лекции по алгебре. М.1984.
Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Л.-М., Т.1, 1934.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.
Джураев Т.Б. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.
Похожие работы
-
Локальная и нелокальная задачи для уравнения смешанного типа второго порядка с оператором Геллестедта
Доказана однозначная разрешимость локальной и нелокальной краевых задач для нагруженных уравнений 2 порядка оператора Геллестедта.
-
Умножение “треугольником”
Предлагаю ознакомиться с новым способом умножения чисел. Схожесть образующейся при вычислении матрицы из цифр, с треугольником относительна, но все же есть, особенно при умножении трехзначных чисел и выше.
-
Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характерис
Езаова А.Г. Кафедра теории функций. Кабардино-Балкарский государственный университет В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.
-
Задача на собственные значения для вырождающегося уравнения смешанного типа
Сабитов К.Б., Бибакова С.Л. 1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнение: l - комплексный параметр, в области D, ограниченный при кривой с концами в точках B (1, 0) и K (0, 1/4), лежащей в первом квадранте, отрезком AK оси OY, где A=(0, 0), и характеристиками AC (
-
Метод Гаусса
Методические рекомендации по выполнению заданий методом гауса. Примеры выполнения заданий.
-
Трехмерность бытия и теоремы Ферма и Пифагора
Трехмерность бытия, Великая теорема Ферма и теорема Пифагора имеют логическую взаимосвязь. Эта взаимосвязь позволяет сформулировать еще один довод в пользу того, что существует только 3-мерный мир.
-
Контрольная работа
385. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. По определению несобственного интеграла имеем: Интеграл сходится. 301. Найти неопределенный интеграл.
-
Определители Решение систем линейных уравнений
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ Кафедра «Автоматизации управления войсками» Только для преподавателей "Утверждаю"
-
Интегралы. Функции переменных
Метод интегрирования по частям. Задача на нахождение частных производных 1-го порядка. Исследование на экстремум заданную функцию. Нахождение частных производных. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Условия признака Лейбница.
-
Численный расчет дифференциальных уравнений
Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера.