Название: Геометрическая алгебра: машина времени
Вид работы: доклад
Рубрика: Математика
Размер файла: 20.06 Kb
Скачать файл: referat.me-214844.docx
Краткое описание работы: Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне.
Геометрическая алгебра: машина времени
Египет, Вавилон.
Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось “длиной”, другое -”шириной”. Произведение неизвестных называли “площадью”. В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.
Однако нельзя позволить геометрическим терминам ввести нас в заблуждение. Вавилоняне мыслили, прежде всего, алгебраически. Хотя они изображали для наглядности неизвестные числа линиями и площадями, но последние всё же всегда оставались числами. Это проявлялось уже в том, что с неизвестными величинами, по названию имеющими различные измерения, обращались как с однородными: “площадь” складывали со “стороной”, от “объема” отнимали “площадь” и так далее.
Решение уравнений в Древнем Вавилоне.
Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно.
В одной из клинописных табличек встречается такая задача: “Я вычел из площади сторону моего квадрата, это 870” (нетрудно догадаться, что речь идет о квадратном уравнении x2 -x=870).
Решение его в табличке рекомендуется искать следующим образом: “Ты берешь 1, число. Делишь пополам 1, это. Умножаешь
на
, это
. Ты складываешь это с 870, и это есть
, что является квадратом для
.Ты складываешь
, которую ты умножал, с
, получаешь 30, сторона квадрата”.
Все числа в табличке записаны в 60-ричной системе счисления, а мы приводим их в десятичной записи. В привычных нам обозначениях предложенные действия принимают вид:. В этой записи угадывается формула вычисления корней приведенного квадратного уравнения.
Древняя Греция.
Совсем другой вид приняла алгебра в Древней Греции. После открытия пифагорейцами несоизмеримых величин чертежи из средства наглядности превратились в основной элемент алгебры.
Наиболее важным, среди приписываемых пифагорейцам 5 века до н.э. достижений, было открытие несоизмеримых отрезков.
Возникало оно, скорее всего, из попыток найти общую меру диагонали и стороны квадрата.
Это открытие потрясло основы пифагорейской философии. Ведь из него следует, что число не всемогуще, так как существуют отрезки, отношение которых не выражается отношением целых чисел (а других чисел пифагорейцы не знали).
Оказалось, что если не выходить за рамки пифагорейского учения о числе, то многие задачи, приводящие к квадратным уравнениям, вообще не имеют числового решения.
Даже такое простое уравнение, как x2 =2, не может быть решено ни в области целых чисел, ни даже в области отношений чисел. Но оно оказывалось вполне разрешимым в области прямолинейных отрезков: его решением являлось диагональ квадрата со стороной, равной единице.
Не решаясь изменить свою трактовку числа, пифагорейцы перешли из области чисел в область геометрических величин, построив соответствующее исчисление. Для построения такого исчисления пифагорейская математика располагала всем необходимым. Нужно было только изменить взгляд на роль чертежей, превратив их из средства наглядности в основной элемент алгебры, и логически расположить весь имеющийся материал.
Эта работа была выполнена пифагорейцами, а ее результаты впоследствии включены Евклидом во вторую книгу “Начал”. Новое исчисление получило впоследствии название “геометрической алгебры”. В этом исчислении величины стали изображаться с помощью отрезков и прямоугольников, а любые утверждения и доказательства имели право на существование только в том случае, если они давались на геометрическом языке. Древнегреческие математики работали не с числами, а с отрезками. Поэтому найти неизвестное для них означало построить искомый отрезок.
Арабские страны.
Выделение алгебры (как науки об уравнениях) в самостоятельную ветвь математики произошло в арабских странах, куда после распада Римской империи переместился центр научной деятельности.
В первой половине IX века в Багдаде работал Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми ал-Маджуси (Мухаммед сын Мусы из Хорезма из рода жрецов). Сохранились его сочинения по арифметики, алгебре, астрономии, географии и календарным расчетам. Наиболее значительным является трактат ал-Хорезми по алгебре, в котором он разработал правила преобразования уравнений. Уравнения, конечно, были с числовыми коэффициентами и выражались в словесной форме. Но на этих конкретных примерах ал-Хорезми показывает способы решения основных типов линейных и квадратных уравнений. В греческих традициях он строго геометрически обосновывает свои способы.
Вслед за ал-Хорезми решению уравнений посвящают свои труды многие арабские ученые ( Омар Хайям, ал-Бируни, ал-Каши и др.) Они изучали уравнения третьей и четвертой степени, корни которых находятся при помощи пересечения парабол, гипербол и окружностей. Таким способом решали задачи и греческие геометры. Но арабских ученых, чья математика тяготела к вычислениям, интересовало и численное значение корней.
Франция, Англия.
Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал дальнейшее развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадратные (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в этом случае могут быть только положительными числами. Наконец, вместо алгебраических преобразований приходилось производить геометрические построения, часто очень громоздкие. Чтобы построить неизвестное, иногда нужно было быть подлинным виртуозом - это шло на пользу геометрии, но не алгебре.
В первой половине XVII века значительный шаг вперед в арифметизации алгебры сделал французский ученый Рене Декарт. Он не отделял учение о числах от учения о величинах, не соблюдал принципа однородности и старался освободить алгебру от подчинения геометрии.
В трудах европейских ученых XVII-XVIII веков отчетливо проявляется арифметическое построение алгебры. И если во “Всеобщей арифметике” Ньютона большое место еще занимают геометрические приложения, то уже в “Началах алгебры” Клеро и “Универсальной арифметике” Эйлера все изложение алгебры носило чисто арифметический характер.
Похожие работы
-
Древнеегипетский календарь
Древние египтяне были земледельцами. Их хозяйственная жизнь зависела от разливов Нила, который является источником жизни в безводной пустыне. Поэтому перед ними ставилась задача научиться предсказывать начало разливов Нила.
-
Геометрическая пирамида и ее проекция
Презентацию готовили Ё Дасиева Роза, Ё Набоко Михаил, Ё Ибрагимова Карина, Ё Егизбаева Айнура, Ё Асанова Эльвира, Ё Ускенбаева Мадия. О слове пирамида.
-
Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени Валентин Подвысоцкий Уравнение: X4 + TX2 + PX + Q = 0 имеет четыре корня X1, X2, X3, X4.
-
Квадратные уравнения и уравнения высших порядков
История квадратных уравнений: уравнения в Древнем Вавилоне и Индии. Формулы четного коэффициента при х. Квадратные уравнения частного характера. Теорема Виета для многочленов высших степеней. Исследование биквадратных уравнений. Сущность формулы Кордано.
-
Графическое решение уравнений
График функции как множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции. Исследование графиков функций и графическое решение уравнений, их разновидности и особенности.
-
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
-
Алгебра
“ Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами”. И. Ньютон Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями.
-
Математика Древнего Египта
Достижения древнеегипетской математики. Источники, по которым можно судить об уровне знаний древних египтян. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии, нахождение числа Пи, подчёркивают практический и теоретический характер древней математики.
-
Контрольные билеты по алгебре
Алгебра и начала анализа. 11 класс. Билет №1. Функция y = sin x, ее свойства и график. Показательная функция, ее свойства для случая, когда основание больше единицы (доказательство одного из свойств по желанию ученика).
-
Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени
Типовые методы решения уравнений.