Название: Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса
Вид работы: статья
Рубрика: Математика
Размер файла: 46.58 Kb
Скачать файл: referat.me-215280.docx
Краткое описание работы: Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре.
Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε = ε(r). Согласно теореме Гаусса,
qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er | (31) |
![]() |
(32) |
![]() |
(33) |
При наличии только объемного стороннего заряда ρ
![]() |
(34) |
В точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент "перехода" через заряженную сферу) соответствующая производная ε'(r) или qinside'(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет:
![]() |
(35) |
Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо σ' = 0.
Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r), φ(r) и σ ', если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ε.
Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1<r<R2: если раньше она была Dr = ε0Er, то теперь Dr = ε0ε Er. Это повлечет за собой некоторые изменения в формулах.
Как и раньше,
qinside = 4π r2 Dr(r) |
причем
qinside | = | 0 при r<R1 |
4πσ1R12 при R1<r<R2 | ||
4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2 |
Поле на каждом из участков будет
Er | = | 0 при r<R1 |
![]() |
||
![]() |
При вычислении потенциала мы должны вычислить . При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:
φ(r) | = | ![]() |
= | ![]() |
|
φ(r) | = | ![]() |
= | ![]() |
|
φ(r) | = | ![]() |
= | ![]() |
В некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина ε.
Для нахождения σ ' на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер:
![]() |
, | ![]() |
![]() |
, | ![]() |
Нулевые значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях r<R1 и r>R2. Сразу же находим и
(на других поверхностях никакого связанного заряда нет):
![]() |
= | ![]() |
![]() |
= | ![]() |
Легко проверить, что суммарный связанный заряд, то есть , равен нулю, как и должно быть.
Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ. Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ'(r), σ' на краю шара.
Ответ:
.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Похожие работы
-
Сегнетоэлектрики
Сегнетоэлектрики представляют собой специфический класс сред, характеризующийся высоким значением диэлектрической проницаемости (на основной кривой поляризации).
-
Метод изображений в электростатике
Задачи о нахождении электрического поля системы нескольких точечных зарядов или системы зарядов, равномерно распределенным по каким-либо поверхностям, решаются в электростатике без особых сложностей.
-
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений
Проводники в электрическом поле. Электростатический метод изображений. М.И. Векслер, Г.Г. Зегря Поле внутри проводника равно нулю, поэтому проводники геометрически ограничивают область, где должны решаться уравнения электростатики. На поверхности проводника φ = const (эквипотенциальность).
-
Потенциал поля
Работа сил электрического поля. Циркуляция вектора напряжённости электрического поля. Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов. Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Эквипотенциальные поверхности.
-
Расчет поля между эквипотенциальными поверхностями в неоднородной среде в отсутствие объемного заряда
Это типичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнение Пуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1, φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2) = &
-
Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.
Уравнения Максвелла и уравнение Пуассона применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что ε может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div.
-
Поток вектора через поверхность. Применение теоремы Гаусса как метод расчета полей в симметричных случаях
Для решения задач применяется выражение представляющее собой комбинацию уравнения Максвелла с теоремой Гаусса.
-
Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда
Cлучаи c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они "появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность поля и потенциала.
-
Закон Кулона. Поле и потенциал распределенной системы зарядов в вакууме
Пусть O - начало координат, P - точка, в которой ищется поле, A - точка, в которой расположен заряд q.
-
Шаровая молния
Шаровая молния (ШМ) существует без подвода энергии извне, т.е. энергия необходима только в начальный момент. После образования (например, в результате электрического разряда) ШМ существует без поглощения дополнительной энергии.