Referat.me
/ / Неопределённые уравнения первой степени

Название: Неопределённые уравнения первой степени

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 22.23 Kb

Скачать файл: referat.me-215574.docx

Краткое описание работы: Введение в неопределённые уравнения. Метод спуска.

Неопределённые уравнения первой степени

Введение в неопределённые уравнения

Когда мы обдумываем решение той или иной задачи, необходимо обращать внимание на то, какие в ней используются величины. Целые или дробные? Положительные или отрицательные? Ведь незначительная деталь помогает не только устранить ошибку в решении той или иной задачи, но и найти само решение. Разберем это на примере.

Пусть у Миши (заранее извиняюсь, если посетитель сайта Михаил) есть пятирублёвые и ,допустим, восьмирублевые монеты. Всего их на сумму тридцать девять рублей. Сколько монет по пять рублей и сколько по восемь у Миши.

Кажется, что тут не хватает данных, если, например, через x обозначить кол-во 5-рублёвых монет, а за y - 8-рублёвых монет, то условие самой задачи позволяет написать одно единственное уравнение:

Эти и другие уравнения и их системы, в которых число неизвестных превышает число уравнений, называют неопределёнными.

Из условия видно, что кол-во монет не может измеряться нецелыми или отрицательными числами. Значит, если x - целое неотрицательное число, то и:

должно быть неотрицательным и целым. А значит, нужно, чтобы выражение 39 - 5x без остатка делилось на 8. С помощью подбора можно убедится, что это возможно при x = 3. Отсюда, y = 3.

Перебор вариантов не удобен, когда мы работаем с большими числами. Гораздо лучше воспользоваться методом рассевания или методом спуска, который придумали древнеиндийские математики. О методе спуска будет сказано чуть ниже.

Метод спуска (материал взят из энциклопедии Аванта+ "Математика")

Продолжим рассмотрение неопределённого уравнения вида:

где a, b, c - известные целые коэффициенты.

Разберём это всё на знакомом примере:

Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное:

Теперь выделим целую часть:

Всё число будет целым, если целым окажется значение (4 — 3у)/5. Это возможно лишь тогда когда число (4 — 3у) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее условие запишем в виде

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его теперь нужно относительно переменных y и z.

Продолжаем действовать всё по тому же принципу:

Для того чтобы у оказалось целым, необходимо, чтобы число 1 - 2z без остатка делилось на 3: 1 - 2z = 3u (вновь введена дополнительная переменная u, принимающая только целые значения). Отсюда по уже отработанной схеме получаем:

Продолжим... Число z будет целым, если число 1 - u без остатка делится на 2: 1 - u = 2v, где v — произвольное целое. Отсюда u =1 - 2v. Дробей больше нет, спуск закончен.

Осталось теперь благополучно «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом у и, наконец, х:

Формулы х = 3 + 8v, y = 3 - 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. А если нас интересуют только неотрицательные целые числа, то среди всех целых решений нужно выбрать такие, для которых

и, стало быть,

Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v = 0. В этом случае x = 3, y = 3. То есть у Миши было 3 5-рублёвые монеты и 3 8-рублёвые монеты.

Вообще, целые решения у уравнения вида

могут быть не всегда. Более того, если на НОД (наибольший общий делитель) a и b делится c, тогда и только тогда, уравнение разрешимо в целых числах.

Похожие работы

  • Метод бесконечного спуска

    Какое иррациональное число самое «старое»? Несомненно, √2. Мы не знаем точно, кто первый доказал иррациональность этого числа, однако мы убеждены, что сделано было это примерно так.

  • Методы спуска

    Решение задач безусловной минимизации методами спуска: метод градиентного и покоординатного спуска.

  • Уравнение Пуассона. Его применение для расчета полей в вакууме

    В задачах, решаемых аналитически, φ и ρ обычно зависят только от одной координаты. При интегрировании можно вычислять интегралы как неопределенные, не забывая выписывать +const, а затем отдельно находить эти константы.

  • Интегралы, объем тела вращения, метод наименьших квадратов

    Неопределенный интеграл. Объем тела вращения. Эмпирическая формула. Сходимость ряда. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Исследование на условную сходимость по признаку Лейбница.

  • Линейные диофантовы уравнения

    Нашей целью будет научиться находить решения неопределенного уравнения первой степени, если это решение имеется. Для этого, необходимо ответить на следующие вопросы: 1). Всегда ли ЛДУ имеет решений, найти условия существования решения. 2). Имеется ли алгоритм, позволяющий отыскать решение ЛДУ.

  • Решение математических уравнений и функций

    Вариант 1 Задание 1 Дан треугольник АВС: А(5;4), В(2;0), С(8;3). Найти: длину стороны АВ; внутренний угол А с точностью до градуса; уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

  • Решение дифференциальных уравнений 2

    Контрольная работа Вычислить предел функции. Вычислить производную функции. Исследовать функции f(х) и g(х) и построить графики. Вычислить неопределенные интегралы.

  • Теорема Ферма Бесконечный спуск для нечетных показателей n

    Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.

  • Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n

    Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.

  • Интеграл дифференциального уравнения

    Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.