Название: Элементарная теория сумм Гаусса
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 75.55 Kb
Скачать файл: referat.me-217433.docx
Краткое описание работы: Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.
Элементарная теория сумм Гаусса
![]() |
Рассмотрим следующую сумму – сумму Гаусса :
где D – целое положительное и (a, D)= 1.
Покажем, что значение суммы будет одним и тем же, если х пробегает любую полную систему вычетов по модулю D.
Действительно, пусть х пробегает полную систему вычетов по модулю D. Тогда х=qD+k , где k =0, 1, …, D-1 , q є Z
![]() |
![]() |
Будем иметь :
![]() |
![]() |
что и требовалось.
Лемма 1.
![]() |
Пусть (a, D)=1. Тогда:
![]() |
Доказательство:
![]() |
По свойству модуля комплексного числа :
Имеем:
![]() |
Сделаем замену x = x + t . Когда х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D , от х и t пробегают независимо полные системы вычетов по модулю D.
Действительно, пусть х и х пробегают полную систему вычетов по модулю D . Тогда х = qD + k k=0, 1, …, D-1 , q є Z
х = pD + i i=0, 1, …, D-1 , p є Z
Следовательно, t = x – x = (q – p)D + (k – i) = l D + m , где m=0, 1, …, D-1 , l є Z
![]() |
а) Пусть D – нечетное, т.е. (2а, D)=1
![]() |
если D делит t.
![]() |
![]() |
Если же D не делит t, то последнюю сумму можно записать в виде :
![]() |
Получили :
Тогда
![]() |
Отсюда
![]() |
б) Пусть D делится на 4, т.е. возможно представление : D = 2D , где D – четное и ( a, D )=1 .
![]() |
![]() |
Получим :
![]() |
![]() |
Так как D четное, то
![]() |
Следовательно
в) Пусть D = 2 (mod 4) , т.е. D = 4q + 2 , q є Z
![]() |
Тогда из предыдущего случая имеем : D = 2 (2q+1)= 2D , D - нечетное. Имеем :
![]() |
![]() |
Что и требовалось.
Лемма 2.
Если D и D взаимно простые числа, то
![]() |
S ( aD1 , D2 ) S ( aD2 , D1 ) = S ( a , D1 D2 )
![]() |
Доказательство:
В этих суммах t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2. При этом D1 t1 + D2 t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1 D2 . Действительно , всего членов в сумме D1 D2 и никакие два несравнимы между собой. Действительно, предположим противное : пусть D1 t1 + D2 t2 = D1 t1 + D2 t2 ( mod D1 D2 )
Отсюда D1 (t1 – t1 ) = D2 (t2 – t2 ) (mod D1 D2 ) Тогда
D1 (t1 – t1 ) = D2 (t2 – t2 ) (mod D2 ) А так как D2 (t2 – t2 ) = 0 (mod D2 )
То по свойству сравнений имеем D1 (t1 – t1 ) = 0 (mod D2 ) Отсюда так как (D1 , D2 )=1 , то t1 – t1 = 0 (mod D2 ) Аналогично получим t2 – t2 = 0 (mod D1 )
Т.е. имеем t1 = t1 (mod D2 ) и t2 = t2 (mod D1 ) . Но это противоречит тому, что t1 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , а t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D2 , так как в полной системе вычетов любые два числа не сравнимы. Следовательно наше предположение было неверным и действительно D1 t1 + D2 t2 пробегает полную систему вычетов по модулю D1 D2 .
![]() |
Поэтому
Лемма 3.
![]() |
Пусть p простое нечетное число и не делит a . Тогда
![]() |
![]() |
Доказательство:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
что и требовалось доказать.
-6-
Лемма 4.
![]() |
Если р простое нечетное число , то
Доказательство :
Из леммы 3. получим
![]() |
Так как произведение сопряженных величин дает квадрат модуля, то
![]() |
Лемма 5.
Если р и q различные простые числа , то
![]() |
Доказательство :
Так как ( р, q )= 1 , мы можем воспользоваться леммой 2 : в нашем случае
![]() |
![]() |
![]() |
Итак , мы показали, что
![]() |
что и требовалось доказать.
Похожие работы
-
Доказательство теоремы о представлении дзета-функции Дедекинда
Теорема о представлении дзета-функции Дедекинда произведением L-рядов Дирихле, ее доказательство в виде произведения L-функций в разветвленном и неразветвленном случаях. Приложение теоремы: выведение функционального уравнения дзета-функции Дедекинда.
-
Теорема Дирихле
Содержание 1.1 Определение характера. Основные свойства характеров 3 1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности 6 1.3 Характеры Дирихле 8 Введение
-
Булевы Функции Функциональная полнота
Булевы Функции: Функциональная полнота. В алгебре булевых функций P2=<P2;S> S – Операцией является подстановка функции в функцию, суперпозиция.
-
Строение идеалов полукольца натуральных чисел
Министерство образования и науки РФ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Вятский государственный гуманитарный университет
-
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
-
Метод Гаусса
Методические рекомендации по выполнению заданий методом гауса. Примеры выполнения заданий.
-
Чтение и запись натуральных чисел
Для счета предметов применяют натуральные числа. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Эти цифры иногда по ошибке называют «арабскими».
-
по Алгебре и геометрие
Федеральное агентство связи Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики Межрегиональный центр переподготовки специалистов
-
Обратимые матрицы над кольцом целых чисел
Обратимые матрицы над полем Zp. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3. Общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp. Обратимые матрицы над Zn.
-
Теория остатков
История арифметики остатков. Понятие остатка, наибольшего общего делителя, расширенного алгоритма Евклида и применение его для решения линейных диофантовых уравнений. Алгебраический подход к делимости в кольцах и разложение чисел в цепные дроби.