Referat.me

Название: Умножение матрицы. Теория вероятности

Вид работы: контрольная работа

Рубрика: Математика

Размер файла: 48.09 Kb

Скачать файл: referat.me-215188.docx

Краткое описание работы: Преобразование матрицы: умножение, приведение коэффициентов на главной диагонали матрицы к 1. Решение системы уравнений методом Крамера. Определители дополнительных матриц. Определение вероятности события (теория вероятности), математическая статистика.

Умножение матрицы. Теория вероятности

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ"

ИНСТИТУТ ПЕРЕПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ

(кафедра)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Математика

Выполнил:

Специальность: ФиК

Группа: 08306

Проверил: ____________

НОВОСИБИРСК 2010

Задание 1

Выполнить умножение матриц АВ -1 С

Решение.

В определитель

2 -1 1

1 2 -1 = 17

-1 2 2

Допишем к исходной матрице единичную матрицу справа:

2 -1 1 1 0 0

1 2 -1 0 1 0

-1 2 2 0 0 1

Вычтем 1-ую строку из всех строк, которые находятся ниже неё.

Это действие не противоречит преобразованиям матрицы.


2 -1 1 1 0 0


1 2 -1 0 1 0

-1 2 2 0 0 1

Вычтем 2-ую строку из всех находящихся ниже неё

2 -1 1 1 0 0

0 2,5 -1,5 -0,5 1 0

0 1,5 2,5 0,5 0 1

Приведем все коэффициенты на главной диагонали матрицы к 1. Поделим каждую строку матрицы на коэффициент этой строки находящийся на главной диагонали, если он не равен 1.

Вычтем 3-ю строку из всех, что выше неё

1 -0,5 0 0,38 0,09 -0,15

0 1 0 -0,06 0,29 0,18

0 0 1 0,24 -0,18 0,29

Вычтем 2-ю

1 0 0 0,35 0,24 -0,06

0 1 0 -0,06 0,29 0,18

0 0 1 0,24 -0,18 0,29

Переместим единичную матрицу из правой части в левую


0,35 0,24 -0,06 обратная матрица


-0,06 0,29 0,18

0,24 -0,18 0,29

1

АВ

А (2×3) и В (3×3) → D (2×3)

D11 = (2) × (0,35) + (-1) × (-0,06) +0× (0,24) = 0,76

D12 = (2) × (0,24) + (-1) × (0,29) +0× (0,18) = 0, 19

D13 = (2) × (-0,06) + (-1) × (0,18) +0× (0,29) = - 0,3

D21 = (1) × (0,35) + (-2) × (-0,06) + (-1) × (0,24) = 0,23

D22 = (1) × (0,24) + (-2) × (0,29) + (-1) × (-0,18) = - 0,16

D23 = (1) × (-0,06) + (-2) × (0,18) + (-1) × (0,29) = - 0,71

D = 0,76 0,19 - 0,3

0,23 - 0,16 - 0,71

АВ -1 С

0,35 0,24 -0,06 обратная матрица

-0,06 0,29 0,18

0,24 -0,18 0,29

Е = (2×2)

Е11 = (0,76) × (-2) + (0, 19) × (-1) + (-0,3) × (2) = - 2,31

Е12 = (0,76) × (1) + (0, 19) × (2) + (-0,3) × (-1) = 1,44

Е21 = (0,23) × (-2) + (-0,16) × (-1) + (-0,71) × (2) = - 1,72

Е22 = (0,23) × (1) + (-0,16) × (2) + (-0,71) × (-1) = 0,62

Ответ: -2,31 1,44

-1,72 0,62

Задание 2

Решения системы уравнений методом Крамера

Решение.

Главный определитель

Найдем определитель трех дополнительных матриц.

1-й определитель для вычисления Х1

2-й определитель для вычисления Х2

3-й определитель для вычисления Х3

Х1 = Δ1/Δ ≈ 1

Х2 = Δ2/Δ ≈ 2

Х3 = Δ3/Δ ≈ - 2

Задание 3

Теория вероятности (события).

Известно, что курс евро к рублю может возрасти с вероятностью 0,55, а курс доллара к рублю может возрасти с вероятностью 0,35. Вероятность того, что возрастут оба курса, составляет 0,3. Найти вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастёт.

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что курс евро по отношению к рублю возрастет, а событие В в том, что возрастет доллар.

Тогда:

Р (А) = 0,55; Р (В) = 0,35; Р (АзВ) = 0,3

Вероятность того, что курс евро или доллара по отношению к рублю возрастет по теореме сложения вероятностей составляет:

Р (АиВ) = Р (А) +Р (В) - Р (АзВ) = 0,55+0,35-0,3 = 0,6

Задание 4

Теория вероятности (события).

В специализированную больницу поступают в среднем 70% больных с заболеванием К, остальные - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,8, а болезни М равна 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Какова вероятность того, что он болел болезнью К?

Решение.

Пусть А событие состоящее в том, что выписанный болел болезнью К, а В - гипотеза, что он болел М.

70+30 = 100;

Р (В) = 30/100 = 0,3;

Р (А) = 70/100 = 0,7

Р = 0,3×0,9+0,7×0,8 = 0,27+0,56 = 0,83

Ответ: вероятность, что заболеваемость К = 0,83.

Задание 5

Теория вероятности (случайные величины).

В ящике 12 белых и 18 черных шаров. Составить закон распределения количества белых шаров среди четырех, вынутых наугад. Построить многоугольник распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение.

Р бел = 12/30 = 0,4;

Р черн = 18/30 = 0,6;

S = 0,4+0,6 = 1;

М (х) = (0,4) × (12) + (0,6) × (18) = 15,6;

2 2 2 2

D (х) = (0,4)×(12)+(0,6)×(18)- М(х) = 252-(15,6) = 8,64;

D(х) = 8,64

Задание 6

Математическая статистика.

Для 40 магазинов одной торговой сети, находящихся в разных населенных пунктах, определена стоимость корзины продуктов первой необходимости (в рублях):

125,2

120,2

131,3

121,6

107,8

143,8

111,5

124,8

117,3

127,5

114,6

118,2

128,7

115,6

109,1

119,8

125,9

112,3

119,6

125,7

104,4

123,9

118,1

123,7

110

114,6

115,2

111,4

113,2

102,6

112,1

109,4

113

114,5

109,5

125,9

120,2

148

114,7

109,7

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднюю стоимость корзины и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 95% и 99% для стоимости продуктовой корзины.

Решение.

Генеральная совокупность - все представители = 40 магазинов одной сети.

Выборочная совокупность:

(102,6→104,4→107,8→109,1→109,4→109,5→109,7→110) → (111,4→111,5→112,1→112,3→113→113,2→114,5→114,6→114,6→114,7→115,2→115,6→117,3) →118,1→118,2→119,6→119,8→120,2→120,2→121,6→123,7→123,9→124,8→125,2) → (125,7→125,9→125,9→127,5→128,7→131,3) → (143,8→148)

n = 40 - объем совокупности

когда изменчивость высокая создают искусственный шаг между классами, он называется классовый промежуток,

К = max - min / 6 = 7,6 - классовый интервальный промежуток.

интервал

Xi (полусумма между началом и концом интервала)

F (частота)

102,6 - 110,2

110,3 - 117,8

117,9 - 125,4

125,5 - 133

133,1 - 140,6

140,7 - 148,2

106,114,05

121,65

129,25

136,85

144,45

8

13

11

6

0

2


Хср = ∑х/n,

Если данные собраны в вариационный ряд, то среднее можно получить как:

Хср = FXi / n =

8×106,4+13×114,05+11×121,65+6×129,25+0×136,85+2×144,45 / 40 = 118,4, Х ср = 118,4.

2 2 2 2 2 2 2 2

S = ∑FXi - (∑FXi) / n = 8×106,4+13×114,05+11×121,65+6×129,25+0×136,85+2×144,45 -

2

- 1 / n (8×106,4+13×114,05+11×121,65+6×129,25+0×136,85+2×144,45) = 564414,84 – 560837,124 = 3577,7;

S = 3577,7.

2

Варианта = S / n-1;

2

Вар. = √Вар, Вар.= √3577,7 / 39 = 9,6;

Доверительный интервал - границы прогноза

Хср - t × вар. / √n < Xср. ген. < Хср + t × вар. / √n;

По таблице:

Для n = 40 при вероятности р = 0,95 значение t - критерия Стьюдента = 2,022;

При р = 0,99, t = 2,708

Для р = 0,95:

118,4 - 2,022 × 9,6/√40 < Хср. ген. < 118,4+2,022 × 9,6/√40,115,3 < Хср. ген. < 121,5, 118,4 ± 3,1, Для р = 0,99:

118,4 - 2,708 × 9,6/√40 < Хср. ген. < 118,4+2,708 × 9,6/√40,114,3 < Хср. ген. < 122,5, 118,4 ± 4,1

Задание 7

Решить задачу линейного программирования.

Решение.

Избавимся от неравенств введя в ограничения 1,2,3 неотрицательные балансовые переменные S1,S2,S3.

2Х1 + Х2 + S1 = 4

Х1 + 2Х2 + S2 = 6

Х1 + Х2 + S3 = 3

Х1, Х2,S1,S2,S3 ≥ 0

Ищем в системе ограничений базисные переменные, это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Из последней системы ограничений можно выделить базисные переменные S1,S2,S3.

Теперь мы можем сформировать начальную симплекс-таблицу (расширенная матрица системы ограничений с некоторыми дополнительными столбами и строками.

Базисная

переменная

Х1

Х2

S1

S2

S3

Решение

Отношение

S1

2

1

1

0

0

4

4/2 = 2

S2

1

2

0

1

0

6

6/1 = 6

S3

1

1

0

0

1

3

3/1 = 3

Q

3

2

0

0

0

0

-------

Разрешающий столбец выбираем по max положительному коэффициенту строки Q, он соответствует переменной Х1 - она будет введена в базис в последующей итерации. (Итерация - одно из ряда повторений какой-либо математической операции, использующее результат предыдущей аналогичной операции)

Разрешающая строка выбирается по min из всех отношений, у нас она соответствует БП Х3, именно она будет выведена из базиса, её место займет Х1.

Для всех таблиц пересчет элементов таблицы делается аналогично, поэтому мы его опускаем.

Последняя итерация выглядит следующим образом:

Базисная

переменная

Х1

Х2

S1

S2

S3

Решение

Отношение

S2

0

0

1

1

-3

1

-------

Х1

1

0

1

0

-1

1

-------

Х2

0

1

-1

0

2

2

-------

Q

0

0

1

0

1

7

-------


Ответ: Оптимальное значение Q (X) = 7 достигается в точке с коэффициентами Х1 = 1; Х2 = 2.

Похожие работы

  • Системы линейных уравнений и неравенств

    Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.

  • Математика матрица

    Матрицы Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами. Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

  • Матрицы

    Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.

  • Основы высшей математики

    Понятие "матрица" в математике. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число. Операция и свойства умножения двух матриц. Транспонированная матрица – матрица, полученная из исходной матрицы с заменой строк на столбцы.

  • Решение матриц

    Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.

  • Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

    Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

  • Теория Матриц и Определителей

    Средняя школа № 45. Город Москва. Ученик 10 класса “Б” Горохов Евгений Курсовая работа (черновик). Введение в теорию матриц и определителей

  • Матрицы действия с ними

    Контрольная работа на тему: «Матрицы, действия с ними» Историческая справка Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами.

  • Теория вероятности и математическая статистика. Задачи

    Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.

  • Квадратные формы

    Лекция 10. Квадратичные формы и их связь с симметричными матрицами. Свойства собственных векторов и собственных чисел симметричной матрицы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.