Referat.me
/ / Система Лотка-Вольтерра

Название: Система Лотка-Вольтерра

Вид работы: реферат

Рубрика: Математика

Размер файла: 69.05 Kb

Скачать файл: referat.me-217037.docx

Краткое описание работы: Вариант № 7 Задание: Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

Система Лотка-Вольтерра

Вариант № 7

Задание:

1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.

2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.

3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.

4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.

5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.

1. Вводим новые переменные x - Ax, y - By, t - Tt и переписываем систему:

2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы

2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)

2.2

P

2.3

Q

3. Характеристики неподвижных точек

Запишем Якобиан нашей системы

3.1

3.2

3.3

Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений .

а) точка О – сток, как было показано выше;

б) точка Р:

Область 1:

Область 2:

Точка Р – исток (неуст. узел)

Область 3:

Точка Р – седло

в) точка Q:

Область 1:

Область 2:

Область 3:

Точка Q – исток ( неустойчивый узел)

Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение

Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении были рассмотрены точки ()области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.

Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:

Область

Точка

 1 2 3 3 – 3’
O сток сток сток сток
P не сущ. исток седло седло
Q не сущ. не сущ. исток неуст. фокус

4.1 Параметрические области системы

4.2 Область 1:

4.3 Область 2:

4.3 Область 3’ :

4.5 Область 3 – 3’ :

5. Биологическая интерпретация модели.

Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).

Похожие работы

  • Математический анализ

    Исследование заданной функции и построение ее графика. Расчет объема тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями и осями координат. Вычисление интеграла при заданной силе. Работа, которую нужно совершить для сжатия пружины.

  • Корреляционно-регрессионный анализ

    ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Имени ЯРОСЛАВА МУДРОГО ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ Кафедра: Статистики и экономико-математических методов

  • Алгебра матриц. Системы линейных уравнений

    Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.

  • Математическое моделирование

    Математическое моделирование экономических параметров: определение вида и параметров функций спроса, затрат и производственной функции выпуска.

  • Синтез САУ

    Задание для курсовой работы по теории управления Исследовать систему, при обнаружении свойств, отрицательно влияющих на работоспособность системы, удалить их, или уменьшить их влияние. При необходимости обеспечить регулирование наилучшем регулятором.

  • Метод Крамера

    Министерство рыбного хозяйства Владивостокский морской колледж ТЕМА: “ Системы 2-х , 3-х линейных уравнений. Правило Крамера. ” г. Владивосток

  • Качественное исследование модели хищник-жертва

    Математическое моделирование динамики биологических видов (популяций) Т. Мальтусом. Параметры и основное уравнение модели "хищник-жертва", ее практическое применение. Качественное исследование элементарной и обобщенной модификаций модели В. Вольтерра.

  • Элементы алгебры и геометрии

    Решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей. Исследование системы на совместность, составление канонического уравнения эллипса. Изучение функции методами дифференциального исчисления, поиск точки разрыва функции.

  • Дифференциальные уравнения

    Вычисление первого и второго замечательных пределов, неопределенного и определенного интегралов, площади криволинейной трапеции, координат середин сторон треугольника с заданными вершинами. Определение критических точек и асимптот графика функции.

  • Решение дифференциальных уравнений 2

    Контрольная работа Вычислить предел функции. Вычислить производную функции. Исследовать функции f(х) и g(х) и построить графики. Вычислить неопределенные интегралы.